Ортогональные векторы и условие ортогональности: определение, примеры решения задач

Ортогональные векторы и условие ортогональности

    В данной статье мы расскажем, что такое ортогональные векторы, какие существуют условия ортогональности, а также приведем подробные примеры для решения задач с ортогональными векторами.

    Ортогональные векторы: определение и условие

    Определение 1

    Ортогональные векторы — это векторы a¯ и b¯, угол между которыми равен 900.

    Примечание

    Необходимое условие для ортогональности векторов — два вектора a¯ и b¯ являются ортогональными (перпендикулярными), если их скалярное произведение равно нулю.

    a¯ × b¯=0

    Примеры решения задач на ортогональность векторов

    Плоские задачи на ортогональность векторов

    Если дана плоская задача, то ортогональность для векторов a¯={ax×ay} и b¯={bx×by} записывают следующим образом:

    a¯×b¯=ax×bx + ay×by=0

    Пример 1

    Задача 1.  Докажем, что векторы a¯={1;2} и b¯={2;-1} ортогональны.

    Как решить?

    Находим скалярное произведение данных векторов:

    a¯×b¯=1×2+2×(-1)=2-2=0

    Ответ: поскольку произведение равняется нулю, то векторы являются ортогональными.

    Пример 2

    Задача 2. Докажем, что векторы a¯={3;-1} и b¯={7;5} ортогональны.

    Как решить?

    Находим скалярное произведение данных векторов:

    a¯×b¯=3×7+(-1)×5=21-5=16

    Ответ: поскольку скалярное произведение не равняется нулю, то и векторы не являются ортогональными.

    Пример 3

    Задача 3. Найдем значение числа n, при котором векторы a¯={2;4} и b¯={n;1} будут ортогональными.

    Как решить?

    Найдем скалярное произведение данных векторов:

    a¯×b¯=2×n+4×1=2n+42n+4=02n=-4n=-2

    Ответ: векторы являются ортогональными при значении n=2.

    Примеры пространственных задач на ортогональность векторов

    При решении пространственной задачи на ортогональность векторов a¯={1;2;0} и b¯={2;-1;10} условие записывается следующим образом: a¯×b¯=ax×bx+ay×by+az×bz=0.

    Пример 4

    Задача 4. Докажем, что векторы a¯={1;2;0} и b¯={2;-1;10} являются ортогональными.

    Как решить?

    Находим скалярное произведение данных векторов:

    a¯×b¯=1×2+2×(-1)+0×10=2-2=0

    Ответ: поскольку произведение векторов  равняется нулю, то они являются ортогональными.

    Пример 5

    Задача 5. Найдем значение числа n, при котором векторы a¯={2;4;1} и b¯={n;1;-8} будут являться ортогональными.

    Как решить?

    Находим скалярное произведение данных векторов:

    a¯×b¯=2×n+4×1+1×(-8)=2n+4-8=2n-42n-4=02n=4n=2

    Ответ: векторы a¯ и b¯ будут ортогональными при значении n=2.

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
    Средняя оценка статьи
    5,0 из 5 (6 голосов)