Операции над векторами и их свойства: умножение, сложение векторов по правилу многоугольника

Операции над векторами и их свойства: сложение и умножение

    Прежде чем приступить к тематике статьи, напомним основные понятия.

    Определение 1

    Вектор – отрезок прямой, характеризующийся численным значением и направлением. Вектор обозначается строчной латинской буквой со стрелкой сверху. При наличии конкретных точек границ обозначение вектора выглядит как две прописные латинские буквы (маркирующие границы вектора) также со стрелкой сверху.

    Определение 2

    Нулевой вектор – любая точка плоскости, обозначается как нуль со стрелкой сверху.

    Определение 3

    Длина вектора – величина, равная или большая нуля, определяющая длину отрезка, составляющего вектор.

    Определение 4

    Коллинеарные векторы – лежащие на одной прямой или на параллельных прямых. Не выполняющие это условие векторы называют неколлинеарными.

    Сложение двух векторов

    Определение 5

    Исходные данные: векторы a и b . Для выполнения над ними операции сложения необходимо из произвольной точки undefined отложить вектор AB, равный вектору а; из полученной точки undefined – вектор ВС, равный вектору b. Соединив точки undefined и C, получаем отрезок (вектор) АС, который и будет являться суммой исходных данных. Иначе описанную схему сложения векторов называют правилом треугольника.

    Геометрически сложение векторов выглядит так:

    - для неколлинеарных векторов:

    - для коллинеарных (сонаправленных или противоположнонаправленных) векторов:

    Сложение нескольких векторов

    Взяв за основу описанную выше схему, мы получаем возможность произвести операцию сложения векторов в количестве более 2: поочередно прибавляя каждый последующий вектор.

    Определение 6

    Исходные данные: векторы a , b, c,d. Из произвольной точки А на плоскости необходимо отложить отрезок (вектор), равный вектору a; затем от конца полученного вектора откладывается вектор, равный вектору b; далее – по тому же принципу откладываются последующие векторы. Конечной точкой последнего отложенного вектора будет точка B, а полученный отрезок (вектор) AB – суммой всех исходных данных. Описанную схему сложения нескольких векторов называют также правилом многоугольника .

    Геометрически оно выглядит следующим образом:

    Определение 7

    Отдельной схемы действия по вычитанию векторов нет, т.к. по сути разность векторов aи bесть сумма векторов a и - b.

    Умножение вектора на число

    Определение 8

    Чтобы произвести действие умножения вектора на некое число k, необходимо учитывать следующие правила:
    - еслиk>1, то это число приведет к растяжению вектора в k раз;
    - если 0<k<1, то это число приведет к сжатию вектора в 1k раз;
    - если k<0, то это число приведет к смене направления вектора при одновременном выполнении одного из первых двух правил;
    - если k=1, то вектор остается прежним;
    - если одно из множителей – нулевой вектор или число, равное нулю, результатом умножения будет нулевой вектор.

    Исходные данные:
    1) вектор aи число k=2;
    2) вектор bи число k=-13.

    Геометрически результат умножения в соответствии с указанными выше правилами будет выглядеть следующим образом:

    Свойства операций над векторами

    Описанным выше операциям над векторами присущи свойства, некоторые из которых очевидны, а прочие можно обосновать геометрически.

    Исходные данные: векторы a, b, cи произвольные действительные числа λ и μ.

    1. Свойство коммутативности: a+b=b+a .
    2. Свойство ассоциативности: (a+b)+c=a+(b+c) .
    3. Свойство использования нейтрального элемента по сложению (нулевой вектор 0 ⃗). Это очевидное свойство: a+0=a
    4. Свойство использования нейтрального элемента по умножению (число, равное единице): 1·a=a. Это очевидное свойство, не предполагающее никаких геометрических преобразований.
    5. Любой ненулевой вектор a имеет противоположный вектор -a и верным является равенство: a+(-a)=0. Указанное свойство - очевидное.
    6. Сочетательное свойство операции умножения: ( λ · µ ) · a = λ · ( µ·a ). Например, растяжение вектора при умножении на число 10 можно произвести, сначала растянув вектор в 2 раза, а затем полученный результат еще в 5 раз. Также возможен вариант умножения на число 10 при сжатии вектора в 5 раз и последующего растяжения полученного результата в 50 раз.
    7. Первое распределительное свойство (очевидно): ( λ + µ ) · a = λ ·a + µ · a.
    8. Второе распределительное свойство: λ · (a +b) = λ ·a + λ · b .
      Геометрически это свойство определяется подобием треугольников:

    Свойства коммутативности и ассоциативности дают возможность складывать векторы в произвольном порядке.

    Перечисленные свойства операций позволяют осуществлять необходимые преобразования векторно-числовых выражений аналогично привычным числовым. Рассмотрим это на примере.

    Пример 1

    Задача: упростить выражение a-2·(b+3·a)
    Решение
    - используя второе распределительное свойство, получим: a-2·(b+3·a)=a-2·b-2·(3·a)
    - задействуем сочетательное свойство умножения, выражение приобретет следующий вид: a-2·b-2·(3·a)=a-2·b-(2·3)·a=a-2·b-6·a
    - используя свойство коммутативности, меняем местами слагаемые:a-2·b-6·a=a-6·a-2·b
    - затем по первому распределительному свойству получаем:a-6·a-2·b=(1-6)·a-2·b=-5·a-2·bКраткая запись решения будет выглядеть так:a-2·(b+3·a)=a-2·b-2·3·a=5·a-2·b
    Ответ: a-2·(b+3·a)=-5·a-2·b

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter