Операции над n-мерными векторами: векторное произведение в двухмерном пространстве, сумма двух векторов

Операции над n-мерными векторами: сложение, умножение, свойства

    В статьях ранее мы рассматривали понятие вектора как элемента плоскости или пространства, т.е. геометрического объекта, имеющего конкретные очертания. Однако также возможно взглянуть на понятие с алгебраической точки зрения, когда вектор - уже не отрезок с заданным направлением, а упорядоченный комплекс чисел с определенными свойствами.

    Определение 1

    n-вектор – упорядоченный набор n действительных чисел.

    Записывается в виде строки a=(a1,a2,...,an) или столбца a=a1a2an, где

    ai – координаты n-вектора, обозначаемые латинскими буквами и записываемые в скобках.

    Определение 2

    Размерность n-вектора – это количество его координат. Например, задан n-мерный вектор b с координатами (2, -5, 3, 9). Заданный вектор является четырёхмерным.

    Определение 3

    Равные n-векторыn-векторы, имеющие одну и ту же размерность, а также равенство одноименных координат.

    Определение 4

    Нулевой вектор – вектор, у которого все координаты равны нулю: 0=(0,0,..,0)

    Определение 5

    Противоположные векторы – векторы с координатами, равными по модулю, но противоположными по знаку. Например,

    a=(a1,a2,...,an)

    -a=(-a1,-a2,...,-an)

    Над n-мерными векторами возможно проведение операций сложения и умножения на число.

    Сложение n-векторов

    Определение 6

    Результатом сложения двух n-мерных векторов будет вектор, координаты которого являются суммой соответствующих координат заданных векторов.

    Операции сложения подлежат векторы одинаковой размерности.

    Исходные данные: a=(a1,a2,...,an) и a=(b1,b2,...,bn) .

    Результатом будет вектор a+b=(a1+b1, a2+b2,..., an+bn) .

    Операция вычитания отдельно не рассматривается, поскольку по сути разностью векторов a и b является сумма векторов а и b.

    Умножение n-вектора на число

    Определение 7

    Результатом умножения заданного вектора на действительное или комплексное число будет вектор, каждая из координат которого определяется умножением исходной координаты на заданное число.

    Исходные данные: a=(a1,a2,...,an) и число λ .

    Результатом произведения будет:

    λ·a=(λ·a1, λ·a2,..., λ·an)

    Множество всех n-векторов с производимыми действиями умножения на число и сложения составляют линейное пространство.

    Операции над 2-мерными и 3-мерными векторами

    Операции над 2-мерными и 3-мерными векторами полностью сопоставимы с аналогичными операциями над векторами-геометрическими объектами. По сути координаты двухмерных и трехмерных векторов являются координатами вектора на плоскости или в пространстве в прямоугольной системе координат.

    Свойства операций над n-мерными векторами

    Исходные данные: векторы a=(a1,a2,...,an) , b=(b1,b2,...,bn), c=(c1,c2,...,cn)и действительные или комплексные числа λ, μ .

    1. Свойство коммутативности: a + b = b + a.
    2. Свойство ассоциативности: (a + b) + c = a + (b + c).
    3. Свойство использования нейтрального элемента по сложению (нулевой вектор): a + 0 = a.
    4. Свойство использования нейтрального элемента по умножению (число, равное 1): 1 · а = а

    Определение 7

    Любой ненулевой вектор а имеет противоположный вектор -а и верным является равенство:

    а + (-а) = 0.

    Сочетательное свойство умножения: (λ·μ)·a=λ·(μ·a).

    Первое распределительное свойство: (λ+μ)·a=λ·a+μ·a .

    Второе распределительное свойство: λ·(a+b)=λ·a+λ·b .

    Рассмотри некоторые примеры по теме.

    Пример 1

    Исходные данные: векторы a=(1, 2, 7, 0) , b=(12, -1, ln5, 2.3)

    Необходимо найти сумму и разность векторов.

    Решение

    Заданные вектора имеют одинаковую размерность, следовательно, операция сложения выполнима. Для этого найдем сумму координат векторов:

    a+b=(1, 2, 7, 0)+(12, -1, ln5, 2.3)==(1+12, 2+(-1), 7+ln5, 0+2.3)==(32, 2-1, 7+ln5, 2.3)

    Разницей исходных векторов будет являться сумма векторов a и b·(-1):

    a-b=a+(-1)·b=(1, 2, 7, 0)+(-1)·(12, -1, ln5, 2.3)

    Выполним умножение вектора на число:

    a-b=(1, 2, 7, 0)+(-1)·(12, -1, ln5, 2.3)==(1, 2, 7, 0)+((-1)·12, (-1)·(-1), (-1)·ln5, (-1)·2.3)==(1, 2, 7, 0)+(-12, 1, ln15, -2.3)

    И совершим действие сложения:

    a-b=(1, 2, 7, 0)+(-12, 1, ln15, -2.3)==(1+(-12), 2+1, 7+ln15, 0+(-2.3))==(12, 2+1, 7+ln15, -2.3)

    Ответ:

    a+b=(32, 2-1, 7+ln15, 2.3)a-b=(12, 2+1, 7+ln15, -2.3)

    Пример 2

    Исходные данные: векторы a=(1, 2, 7, 0) , b=(12, -1, ln5, 2.3)

    Необходимо найти вектор: a-2·(b+3·a)

    Решение

    Упростим выражение, опираясь на свойства операций над векторами:

    a-2·(b+3·a)=a-2·b-6·a=-5·a+(-2)·b

    Определим координаты полученного вектора:

    -5·a+(-2)·b==-5·(1, 2, 7, 0)+(-2)(12, -1, ln5, 2.3)==((-5)·1, (-5)·2, (-5)·7, (-5)·0)++((-2)·12, (-2)·(-1), (-2)·ln5, (-2)·2.3)==(-5, -52, -35, 0)+(-1, 2, ln125, -4.6)==(-5+(-1), -52+2, -35+ln125, 0+(-4.6))==(-6, -52+2, -35+ln125, -4.6)

    Ответ:

    a-2·(b+3·a)=(-6, -52+2, -35+ln125, -4.6)

    Пример 3

    Исходные данные: векторы с=12-3, d=003, e=-1-11

    Необходимо определить координаты вектора: c+d+2e

    Решение

    Выполним операцию умножения вектора е на число 2, а затем найдем сумму:

    c+d+2·e=12-3+003+2·-1-11==12-3+003+2·(-1)2·(-1)2·1==12-3+003+-2-22==1+0+(-2)2+0+(-2)-3+3+2=-102

    Ответ: c+d+2·e=-102

    Пример 4

    Исходные данные: векторы a=(1, 2, 7, 0), b=(12, -1, ln5, 2.3), f=(4, 11, 21)

    Необходимо найти вектор: 3·a+2·b-7·(a+f)

    Решение

    Исходные векторы имеют разную размерность (а и f), поэтому выполнить необходимые операции не представляется возможным.

    Ответ: невозможно выполнить указанные действия с заданными векторами.

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter