Нахождение координат середины отрезка: примеры, решения, как найти середину отрезка по координатам

Нахождение координат середины отрезка: примеры, решения

    В статье ниже будут освещены вопросы нахождения координат середины отрезка при наличии в качестве исходных данных координат его крайних точек. Но, прежде чем приступить к изучению вопроса, введем ряд определений.

    Определение 1

    Отрезок – прямая линия, соединяющая две произвольные точки, называемые концами отрезка. В качестве примера пусть это будут точки A и B и соответственно отрезок AB.

    Если отрезок AB продолжить в обе стороны от точек A и B, мы получим прямую AB. Тогда отрезок AB – часть полученной прямой, ограниченный точками A и B. Отрезок AB объединяет точки A и B, являющиеся его концами, а также множество точек, лежащих между. Если, к примеру, взять любую произвольную точку K, лежащую между точками A и B, можно сказать, что точка K лежит на отрезке AB.

    Определение 2

    Длина отрезка – расстояние между концами отрезка при заданном масштабе (отрезке единичной длины). Длину отрезка AB обозначим следующим образом: AB.

    Определение 3

    Середина отрезка – точка, лежащая на отрезке и равноудаленная от его концов. Если середину отрезка AB обозначить точкой C, то верным будет равенство: AC=CB

    И далее мы рассмотрим, как же определять координаты середины отрезка (точки C) при заданных координатах концов отрезка (A и B), расположенных на координатной прямой или в прямоугольной системе координат.

    Середина отрезка на координатной прямой

    Исходные данные: координатная прямая Ox и несовпадающие точки на ней: A и B. Этим точкам соответствуют действительные числа xA и xB. Точка C – середина отрезка AB: необходимо определить координату xC.

    Поскольку точка C является серединой отрезка АВ, верным будет являться равенство: |АС| = |СВ|.

    Поскольку точка C является серединой отрезка АВ, верным будет являться равенство: |АС| = |СВ|. Расстояние между точками определяется модулем разницы их координат, т.е.

    |АС| = |СВ|xC-xA=xB-xC

    Тогда возможно два равенства: xC-xA=xB-xC и xC-xA=-(xB-xC)

    Из первого равенства выведем формулу для координаты точки C : xC=xA+xB2 (полусумма координат концов отрезка).

    Из второго равенста получим: xA=xB , что невозможно, т.к. в исходных данных - несовпадающие точки. Таким образом, формула для определения координат середины отрезка AB с концами A(xA) и B(xB):

    xA+xB2

    Полученная формула будет основой для определения координат середины отрезка на плоскости или в пространстве.

    Середина отрезка на плоскости

    Исходные данные: прямоугольная система координат на плоскости Оxy, две произвольные несовпадающие точки с заданными координатами AxA, yA и  BxB, yB . Точка C – середина отрезка AB. Необходимо определить координаты xC и yC для точки C.

    Возьмем для анализа случай, когда точки A и B не совпадают и не лежат на одной координатной прямой или прямой, перпендикулярной одной из осей.Ax, Ay ; Bx, By и Cx ,Cy - проекции точек A, B и C на оси координат (прямые Ох и Оy).

    Совокупно с этим по теореме Фалеса из равенства АС = СВ следуют равенства: АxСx = СxВx и АyСy = СyВy

    Согласно построению прямые AAx, BBx, CCx параллельны; прямые также параллельны между собой. Совокупно с этим по теореме Фалеса из равенства АС = СВ следуют равенства: АxСx = СxВx и АyСy = СyВy, и они в свою очередь свидетельствуют о том, что точка Сx – середина отрезка АxВx, а Сy – середина отрезка АyВy. И тогда, опираясь на полученную ранее формулу, получим:

    xC=xA+xB2 и yC=yA+yB2

    Этими же формулами можно воспользоваться в случае, когда точки A и B лежат на одной координатной прямой или прямой, перпендикулярной одной из осей. Проводить детальный анализ этого случая не будем, рассмотрим его лишь графически:

    xC=xA+xB2 yC=yA+yB2

    Резюмируя все выше сказанное, координаты середины отрезка AB на плоскости с координатами концов A (xA,yA) и B (xB, yB) определяются как:

    (xA+xB2, yA+yB2)

    Середина отрезка в пространстве

    Исходные данные: система координат Оxyz и две произвольные точки с заданными координатами A(xA, yA, zA) и B (xB, yB, zB). Необходимо определить координаты точки C, являющейся серединой отрезка AB.

    Ax, Ay, Az ; Bx, By,Bz и Cx, Cy, Cz - проекции всех заданных точек на оси системы координат.

    Ax, Ay, Az ; Bx, By,Bz и Cx, Cy, Cz - проекции всех заданных точек на оси системы координат.

    Согласно теореме Фалеса верны равенства: AxCx=CxBx, AyCy=CyBy,AzCz=CzBz

    Следовательно, точки Cx, Cy,Cz являются серединами отрезков AxBx, AyBy, AzBz соответственно. Тогда, для определения координат середины отрезка в пространстве верны формулы:

    xC=xA+xB2, yc=yA+yB2, zc=zA+ZB2

    Полученные формулы применимы также в случаях, когда точки A и B лежат на одной из координатных прямых; на прямой, перпендикулярной одной из осей; в одной координатной плоскости или плоскости, перпендикулярной одной из координатных плоскостей.

    Определение координат середины отрезка через координаты радиус-векторов его концов

    Формулу для нахождения координат середины отрезка также можно вывести согласно алгебраическому толкованию векторов.

    Исходные данные: прямоугольная декартова система координат Oxy, точки с заданными координатами A(xA,yA) и B(xB, xB) . Точка C – середина отрезка AB.

    Согласно геометрическому определению действий над векторами верным будет равенство: OC=12·OA+OB . Точка C в данном случае – точка пересечения диагоналей параллелограмма, построенного на основе векторов OA и OB , т.е. точка середины диагоналей.Координаты радиус-вектора точки равны координатам точки, тогда верны равенства: OA=(xA, yA), OB=(xB,yB) . Выполним некоторые операции над векторами в координатах  и получим: 

    OC=12·OA+OB=xA+xB2, yA+yB2

    Следовательно, точка C имеет координаты:

    xA+xB2, yA+yB2

    По аналогии определяется формула для нахождения координат середины отрезка в пространстве:

    C(xA+xB2, yA+yB2, zA+zB2)

    Примеры решения задач на нахождение координат середины отрезка

    Среди задач, предполагающих использование полученных выше формул, встречаются, как и те, в которых напрямую стоит вопрос рассчитать координаты середины отрезка, так и такие, что предполагают приведение заданных условий к этому вопросу: зачастую используется термин «медиана», ставится целью нахождение координат одного из концов отрезка, а также распространены задачи на симметрию, решение которых в общем также не должно вызывать затруднений после изучения настоящей темы. Рассмотрим характерные примеры.

    Пример 1

    Исходные данные: на плоскости – точки с заданными координатами А (-7,3) и В (2,4). Необходимо найти координаты середины отрезка АВ.

    Решение 

    Обозначим середину отрезка AB точкой C. Координаты ее буду определяться как полусумма координат концов отрезка, т.е. точек A и B.

    xC=xA+xB2=-7+22=-52yC=yA+yB2=3+42=72

    Ответ: координаты середины отрезка АВ -52, 72.

    Пример 2

    Исходные данные: известны координаты треугольника АВС: А (-1,0), В (3,2), С (9,-8). Необходимо найти длину медианы АМ.

    Решение

    1. По условию задачи AM – медиана, а значит M является точкой середины отрезка BC. В первую очередь найдем координаты середины отрезка BC, т.е. точки M:

    xM=xB+xC2=3+92=6yM=yB+yC2=2+(-8)2=-3

    1. Поскольку теперь нам известны координаты обоих концов медианы (точки A и М), можем воспользоваться формулой для определения расстояния между точками и посчитать длину медианы АМ:

    AM=(6-(-1))2+(-3-0)2=58

    Ответ: 58

    Пример 3

    Исходные данные: в прямоугольной системе координат трехмерного пространства задан параллелепипед ABCDA1B1C1D1 . Заданы координаты точки C1(1, 1, 0), а также определена точка M, являющаяся серединой диагонали BD1 и имеющая координаты M (4, 2, -4) . Необходимо рассчитать координаты точки А.

    Решение

    Диагонали параллелепипеда имеют пересечение в одной точке, которая при этом является серединой всех диагоналей. Исходя из этого утверждения, можно иметь в виду, что известная по условиям задачи точка М является серединой отрезка АС1. Опираясь на формулу для нахождения координат середины отрезка в пространстве, найдем координаты точки А: xM=xA+xC12 xA=2·xM-xC1=2·4-1+7yM=yA+yC12yA=2·yM-yC1=2·2-1=3zM=zA+zC12zA=2·zM-zC1=2·(-4)-0=-8

    Ответ: координаты точки А (7,3,-8).

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter