Координаты вектора в декартовой системе координат: векторные координаты, радиус вектор

Координаты вектора в декартовой системе координат (ДСК)

    Для начала дадим определение координат вектора в заданной системе координат. Чтобы ввести данное понятие, определим что мы называем прямоугольной или декартовой системой координат.

    Определение 1

    Прямоугольная система координат представляет из себя прямолинейную систему координат с взаимно перпендикулярными осями на плоскости или в пространстве.

    С помощью введения прямоугольной системы координат на плоскости или в трехмерном пространстве становится возможным описывание геометрических фигур вместе с их свойствами при помощи уравнений и неравенств, то есть использовать алгебраические методы при решении геометрических задач.

    Тем самым, мы можем привязать к заданной системе координат векторы. Это значительно расширит наши возможности при решении определенных задач

    Прямоугольная система координат на плоскости обычно обозначается Oxy, где Ox и Oy – оси коорднат. Ось Ox называют осью абсцисс, а ось Oy – осью ординат (в пространстве появляется ещё одна ось Oz, которая перпендикулярна и Ox и Oy).

    Пример 1

    Итак, нам дана прямоугольная декартова система координат Oxy на плоскости если мы отложим от начала координат векторы i и j , направление которых соответственно совпадет с положительными направлениями осей Ox и Oy , и их длина будет равна условной единице, мы получим координатные векторы. То есть в данном случае i и j являются координатными векторами.

    Координатные векторы

    Определение 2

    Векторы i и j называются координатными векторами для заданной системы координат.

    Пример 2

    Откладываем от начала координат произвольный вектор a . Опираясь на геометрическое определение операций над векторами, вектор a может быть представлен в виде a=ax·i+ay·j , где коэффициенты ax и ay - единственные в своем роде, их единственность достаточно просто доказать методом от противного.

    Разложение вектора

    Определение 3

    Разложением вектора a по координатным векторам i и j на плоскости называется представление вида a=ax·i+ay·j.

    Определение 4

    Коэффициенты ax и ay называются координатами вектора в данной системе координат на плоскости.

    Координаты вектора в данной системе координат принято записывать в круглых скобках, через запятую, при этом заданные координаты следует отделять от обозначения вектора знаком равенства. К примеру, запись a=(2;-3) означает, что вектор a имеет координаты (2;-3) в данной системе координат и может быть представлен в виде разложения по координатным векторам i и j какa=2·i-3·j.

    Замечание

    Следует обратить внимание, что порядок записи координат, имеет важное значение, если вы запишите координаты вектора в другом порядке, вы получите совершенно другой вектор.

    Опираясь на определения координат вектора и их разложения становится очевидным, что единичные векторы i и j имеют координаты (1;0) и (0;1) соответственно, и они могут быть представлены в виде следующих разложений i=1·i+0·j; j=0·i+1·j.

    Также имеет место быть нулевой вектор 0 с координатами (0;0) и разложением 0=0·i+0·j.

    Равные и противоположные векторы

    Определение 5

    Векторыaиbравны тогда, когда их соответствующие координаты равны.

    Определение 6

    Противоположным вектором называется вектор противоположный данному.

    Отсюда следует, что координаты такого вектора будут противоположны координатам данного вектора, то есть, -a=(-ax;-ay).

    Все вышеизложенное можно аналогично определить и для прямоугольной системы координат, заданной в трехмерном пространстве. В такой системе координат имеет место быть тройка координатных векторов i,j,k, а произвольный вектор a раскладывается не по двум, а уже по трем координатам, причем единственным образом и имеет вид a=ax·i+ay·j+az·k, а коэффициенты этого разложения (ax;ay;az) называются координатами вектора в данной (трехмерной) системе координат.

    Следовательно, координатные векторы в трехмерном пространстве принимают также значение 1 и имеют координаты i=(1;0;0) ,   j=(0;1;0),   k=(0;0;1), координаты нулевого вектора также равны нулю 0=(0;0;0) , и в таком случае два вектора будут считаться равными, если все три соответствующие координаты векторов между собой равныa=bax=bx, ay=by, az=bz , и координаты противоположного вектора a противоположны соответствующим координатам вектора a , то есть,-a=(-ax;-ay; -az) .

    Координаты радиус-вектора точки

    Чтобы ввести данное определение, требуется показать в данной системе координат связь координат точки и координат вектора.

    Пусть нам дана некоторая прямоугольная декартова система координат Oxy и на ней задана произвольная точка M с координатами M(xM;yM).

    Определение 7

    Вектор OM называется радиус-вектором точки M.

    Определим, какие координаты в данной системе координат имеет радиус-вектор точки

    Вектор OM имеет вид суммы OM=OMx+OMy=xM·i+yM·j, где точки Mx и My это проекции точки М на координатные прямые Ox и Oy соответственно (данные рассуждения следуют из определения проекция точки на прямую), а i и j - координатные векторы, следовательно, вектор OM имеет координаты (xM;yM) в данной системе координат.

    Иначе говоря, координаты радиус-вектора точки М равны соответствующим координатам точки М в прямоугольной декартовой системе координат.

    Аналогично в трехмерном пространстве радиус-вектор точки M(xM;yM;zM) разлагается по координатным векторам как OM=OMx+OMy+OMz=xM·i+yM·j+zM·k, следовательно, OM=(xM;yM;zM).

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter