Компланарные векторы и условие компланарности, определение, примеры решения
Мы помогаем студентам с дипломными, курсовыми, контрольными Узнать стоимость

Компланарные векторы и условие компланарности

    В данной статье мы рассмотрим такие темы, как:

    • определение компланарных векторов;
    • условия компланарности векторов;
    • примеры задач на компланарность векторов.

    Определение компланарных векторов

    Определение 1

    Компланарные векторы — это векторы, которые параллельны одной плоскости или лежат на одной плоскости. 

    Примечание

    Два любых вектора всегда компланарны, поскольку всегда можно найти плоскости параллельные 2-м произвольным векторам.

    Условия компланарности векторов

    • Для 3-х векторов выполняется условие: если смешанное произведение 3-х векторов равно нулю, то эти три вектора компланарны.
    • Для 3-х векторов выполняется условие: если три вектора линейно зависимы, то они компланарны.
    • Для n-векторов выполняется условие: если среди векторов не более 2-х линейно независимых векторов, то они компланарны.

    Примеры решения задач на компланарность векторов

    Пример 1

    Исследуем на компланарность векторы

    a¯=(1;2;3), b=(1;1;1) и c¯=(1;2;1)

    Как решить?

    Векторы будут являться компланарными, если их смешанное произведение равно нулю, поэтому вычисляем смешанное произведение заданных векторов. Для этого составляем определитель, по строкам которого записываются координаты векторов-сомножителей:

    (a¯,b¯,c¯)=123111121==1×1×1+1×2×3+2×1×1-1×1×3-2×1×1-1×2×1=20

    Отсюда следует, что смешанное произведение не равняется нулю, поэтому векторы не являются компланарными.

    Ответ: векторы не являются компланарными.

    Пример 2

    Докажем, что три вектора

    a¯=(1;-1;2), b=(0;1;-1) и c¯=(2;-2;4) компланарны.

    Как решить?

    Находим смешанное произведение данных векторов:

    (a¯,b¯,c¯)=1-1201-12-24==1×1×4+0×(-2)×2+(-1)×(-1)××2-2×1×2-(-2)×(-1)×1-0×(-1)

    Из данного примера видно, что смешанное произведение равняется нулю.

    Ответ: векторы являются компланарными. 

    Пример 3

    Проверим, компланарны ли векторы

    a¯={1;1;1}, b¯={1;2;0), c¯={0;-1;1}, d¯={3;3;3}.

    Как решить?

    Необходимо найти количество линейно независимых векторов: записываем значения векторов в матрицу и выполняем элементарные преобразования:

    1111200-11333~

    Из 2-ой строки вычитаем 1-ю, из 4-ой вычитаем 1-ю, умноженную на 3:

    1111-12-10-10-113-33-33-3~11101-10-11000~

    К 3-ей строке прибавляем 2-ю:

    11101-10+0-1+11+(-1)3-33-33-3~11101-1000000

    Поскольку в матрице только две ненулевые строки, делаем вывод, что среди них всего два линейно независимых вектора.

    Ответ: векторы являются компланарными, поскольку среди них всего два линейно независимых вектора. 

     

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
    Средняя оценка статьи
    4,4 из 5 (8 голосов)