Нахождение длины вектора: примеры и решения, формулы и теоремы

Нахождение длины вектора, примеры и решения

    Длина вектора - основные формулы

    Длину вектора a будем обозначать a. Данное обозначение аналогично модулю числа, поэтому длину вектора также называют модулем вектора.

    Для нахождения длины вектора на плоскости по его координатам, требуется рассмотреть прямоугольную декартову систему координат Oxy. Пусть в ней задан некоторый вектор a с координатами ax;ay. Введем формулу для нахождения длины (модуля) вектора a через координаты ax и ay.

    От начала координат отложим вектор OA=a. Определим соответственные проекции точки A на координатные оси как Ax и Ay . Теперь рассмотрим прямоугольник OAxAAy с диагональю OA.

    Из теоремы Пифагора следует равенство OA2=OAx2+OAy2, откуда OA=OAx2+OAy2. Из уже известного определения координат вектора в прямоугольной декартовой системе координат получаем, что OAx2=ax2 и OAy2=ay2, а по построению длина OA равна длине вектора OA, значит, OA=OAx2+OAy2.

    Отсюда получается, что формула для нахождения длины вектора a=ax;ay имеет соответствующий вид: a=ax2+ay2.

    Если вектор a дан в виде разложения по координатным векторам a=ax·i+ay·j, то вычислить его длину можно по той же формуле a=ax2+ay2, в данном случае коэффициенты ax и ay выступают в роли координат вектора a в заданной системе координат.

    Пример 1

    Вычислить длину вектора a=7;e, заданного в прямоугольной системе координат.

    Решение

    Чтобы найти длину вектора, будем использовать формулу нахождения длины вектора по координатамa=ax2+ay2a=72+e2=49+e

    Ответ: a=49+e.

    Формула для нахождения длины вектора a=ax;ay;az по его координатам в декартовой системе координат Oxyz в пространстве, выводится аналогично формуле для случая на плоскости (см. рисунок ниже)

    Нахождение векторв

    В данном случае OA2=OAx2+OAy2+OAz2 (так как ОА – диагональ прямоугольного параллелепипеда), отсюда OA=OAx2+OAy2+OAz2. Из определения координат вектора можем записать следующие равенства OAx=ax; OAy=ay; OAz=az; , а длина ОА равна длине вектора, которую мы ищем, следовательно, OA=OAx2+OAy2+OAz2.

    Отсюда следует, что длина вектора a=ax;ay;az равна a=ax2+ay2+az2.

    Пример 2

    Вычислить длину вектора a=4·i-3·j+5·k, где i,j,k - орты прямоугольной системы координат.

    Решение

    Дано разложение вектора a=4·i-3·j+5·k, его координаты равны a=4,-3,5. Используя выше выведенную формулу получим a=ax2+ay2+az2=42+(-3)2+52=52.

    Ответ:a=52.

    Длина вектора через координаты точек его начала и конца

    Выше были выведены формулы, позволяющие находить длины вектора по его координатам. Мы рассмотрели случаи на плоскости и в трехмерном пространстве. Воспользуемся ими для нахождения координат вектора по координатам точек его начала и конца.

    Итак, даны точки с заданными координатами A(ax;ay) и B(bx;by), отсюда вектор AB имеет координаты (bx-ax; by-ay)значит, его длина может быть определена по формуле: AB=(bx-ax)2+(by-ay)2

    А если даны точки с заданными координатами A(ax;ay;az) и B(bx;by;bz) в трехмерном пространстве, то длину вектора AB можно вычислить по формуле

    AB=(bx-ax)2+(by-ay)2+(bz-az)2

    Пример 3

    Найти длину вектора AB, если в прямоугольной системе координат A1, 3, B-3, 1.

    Решение

    Используя формулу нахождения длины вектора по координатам точек начала и конца на плоскости, получим AB=(bx-ax)2+(by-ay)2: AB=(-3-1)2+(1-3)2=20-23.

    Второй вариант решения подразумевает под собой применение данных формул по очереди: AB=(-3-1; 1-3)=(-4; 1-3); AB=(-4)2+(1-3)2=20-23.-

    Ответ: AB=20-23.

    Пример 4

    Определить, при каких значениях  длина вектора AB равна 30, еслиA(0, 1, 2); B(5, 2, λ2) .

    Решение

    Для начала распишем длину вектора AB по формуле: AB=(bx-ax)2+(by-ay)2+(bz-az)2=(5-0)2+(2-1)2+(λ2-2)2=26+(λ2-2)2

    Затем полученное выражение приравняем к 30, отсюда найдем искомые λ:

     26+(λ2-2)2=3026+(λ2-2)2=30(λ2-2)2=4λ2-2=2 или λ2-2=-2  λ1=-2, λ2=2, λ3=0.

    Ответ: λ1=-2, λ2=2, λ3=0.

    Нахождение длины вектора по теореме косинусов

    Увы, но в задачах не всегда бывают известны координаты вектора, поэтому рассмотрим другие способы нахождения длины вектора.

    Пусть заданы длины двух векторов AB, AC и угол между ними (или косинус угла), а требуется найти длину вектора BC или CB. В таком случае, следует воспользоваться теоремой косинусов в треугольнике ABC, вычислить длину стороны BC, которая и равна искомой длине вектора.

    Рассмотрим такой случай на следующем примере.

    Пример 5

    Длины векторов AB и AC равны 3 и 7 соответственно, а угол между ними равен π3. Вычислить длину вектора BC.

    Решение

    Длина вектора BC в данном случае равна длине стороны BC треугольника ABC. Длины сторон AB и AC треугольника известны из условия (они равны длинам соответствующих векторов), также известен угол между ними, поэтому мы можем воспользоваться теоремой косинусов:BC2=AB2+AC2-2·AB·AC·cos(AB,AC)=32+72-2·3·7·cosπ3=37 BC=37 Таким образом, BC=37.

    Ответ:BC=37.

    Итак, для нахождения длины вектора по координатам существуют следующие формулы a=ax2+ay2 или a=ax2+ay2+az2, по координатам точек начала и конца вектора AB=(bx-ax)2+(by-ay)2 или AB=(bx-ax)2+(by-ay)2+(bz-az)2, в некоторых случаях следует использовать теорему косинусов.

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter