Нахождение координат вектора через координаты точек. Как найти вектор по двум точкам

Нахождение координат вектора через координаты точек

    Отложим от начала координат единичные векторы, то есть векторы, длины которых равны единице. Направление вектора i должно совпадать с осью Ox, а направление вектора j с осью Oy.

    Определение 1

    Векторы i и j называют координатными векторами.

    Координатные векторы неколлинеарны. Поэтому любой вектор p можно разложить по векторам p=xi+yj. Коэффициенты x и y определяются единственным образом. Коэффициенты разложения вектора p по координатным векторам называются координатами вектора p в данной системе координат.

    Координаты вектора записываются в фигурных скобках px; y. На рисунке вектор OA имеет координаты 2; 1, а вектор b имеет координаты 3;-2. Нулевой вектор представляется в виде 00; 0.

    Если векторы a и b равны, то и y1=y2. Запишем это так: a=x1i+y1j=b=x2i+y2j, значит x1=x2, y1=y2 .

    Таким образом, координаты равных векторов соответственно равны.

    Если точка координат не совпадает с его началом системы координат, тогда рассмотрим задачу. Пусть в декартовой системе координат на Oxy заданы координаты точек начала и конца AB: Axa, ya, Bxb, yb. Найти координаты заданного вектора.

    Изобразим координатную ось.

    Из формулы сложения векторов имеем OA+AB=OB, где O – начало координат. Отсюда следует, что AB=OB-OA.

    OA и OB – это радиус-векторы заданных точек А и В, значит координаты точек имеют значения OA=xa, ya, OB=xb, yb.

    По правилу операций над векторами найдем AB=OB-OA=xb-xa, yb-ya.

    Нахождение в трехмерном пространстве проходит по такому же принципу, только для трех точек.

    Для нахождения координат вектора, необходимо найти разность его точек конца и начала.

    Пример 1

    Найти координаты OA и AB при значении координат точек A(2,-3), B(-4,-1).

    Решение

    Для начала определяется радиус-вектор точки A. OA=(2,-3). Чтобы найти AB, нужно вычесть значение координат точек начала из координат точек конца.

    Получаем: AB=(-4-2,-1-(-3))=(-6, 2).

    Ответ: OA=(2,-3), AB=(-6,-2).

    Пример 2

    Задано трехмерное пространство с точкой A=(3, 5, 7), AB=(2, 0,-2). Найти координаты конца AB.

    Решение

    Подставляем координаты точки A: AB=(xb-3, yb-5, zb-7).

    По условию известно, что AB=(2, 0,-2).

    Известно, что равенство векторов справедливо тогда, когда координаты равны соответственно. Составим систему уравнений: xb-3=2yb-5=0zb-7=-2

    Отсюда следует, что координаты точки B ABравны: xb=5yb=5zb=5 

    Ответ:  B(5, 5, 5).

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
    Средняя оценка статьи
    4,7 из 5 (9 голосов)