Нахождение координат вектора через координаты точек. Как найти вектор по двум точкам
Мы помогаем студентам с дипломными, курсовыми, контрольными Узнать стоимость

Нахождение координат вектора через координаты точек

    Отложим от начала координат единичные векторы, то есть векторы, длины которых равны единице. Направление вектора i должно совпадать с осью Ox, а направление вектора j с осью Oy.

    Определение 1

    Векторы i и j называют координатными векторами.

    Координатные векторы неколлинеарны. Поэтому любой вектор p можно разложить по векторам p=xi+yj. Коэффициенты x и y определяются единственным образом. Коэффициенты разложения вектора p по координатным векторам называются координатами вектора p в данной системе координат.

    Координаты вектора записываются в фигурных скобках px; y. На рисунке вектор OA имеет координаты 2; 1, а вектор b имеет координаты 3;-2. Нулевой вектор представляется в виде 00; 0.

    Если векторы a и b равны, то и y1=y2. Запишем это так: a=x1i+y1j=b=x2i+y2j, значит x1=x2, y1=y2 .

    Таким образом, координаты равных векторов соответственно равны.

    Если точка координат не совпадает с его началом системы координат, тогда рассмотрим задачу. Пусть в декартовой системе координат на Oxy заданы координаты точек начала и конца AB: Axa, ya, Bxb, yb. Найти координаты заданного вектора.

    Изобразим координатную ось.

    Из формулы сложения векторов имеем OA+AB=OB, где O – начало координат. Отсюда следует, что AB=OB-OA.

    OA и OB – это радиус-векторы заданных точек А и В, значит координаты точек имеют значения OA=xa, ya, OB=xb, yb.

    По правилу операций над векторами найдем AB=OB-OA=xb-xa, yb-ya.

    Нахождение в трехмерном пространстве проходит по такому же принципу, только для трех точек.

    Для нахождения координат вектора, необходимо найти разность его точек конца и начала.

    Пример 1

    Найти координаты OA и AB при значении координат точек A(2,-3), B(-4,-1).

    Решение

    Для начала определяется радиус-вектор точки A. OA=(2,-3). Чтобы найти AB, нужно вычесть значение координат точек начала из координат точек конца.

    Получаем: AB=(-4-2,-1-(-3))=(-6, 2).

    Ответ: OA=(2,-3), AB=(-6,-2).

    Пример 2

    Задано трехмерное пространство с точкой A=(3, 5, 7), AB=(2, 0,-2). Найти координаты конца AB.

    Решение

    Подставляем координаты точки A: AB=(xb-3, yb-5, zb-7).

    По условию известно, что AB=(2, 0,-2).

    Известно, что равенство векторов справедливо тогда, когда координаты равны соответственно. Составим систему уравнений: xb-3=2yb-5=0zb-7=-2

    Отсюда следует, что координаты точки B ABравны: xb=5yb=5zb=5 

    Ответ:  B(5, 5, 5).

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
    Средняя оценка статьи
    4,7 из 5 (9 голосов)