Формулы двойного угла в тригонометрии, синус косинус двойного угла, вывод формул двойного угла

Формулы двойного угла в тригонометрии

    Формулы двойного угла служат для выражения синусов, косинусов, тангенсов, котангенсов угла со значением 2α, используя тригонометрические функции угла α. Данная статья познакомит со всеми формулами двойного угла с доказательствами. Будут рассмотрены примеры применения формул. В заключительной части будут показаны формулы тройного, четверного углов.

    Список формул двойного угла

    Для преобразования формул двойного угла следует помнить о том, что углы в тригонометрии имеют вид nα записи, где n является натуральным числом, значение выражение записывается без скобок. Таким образом, считается, что запись sin nαимеет то же значение, что и sin (nα). При обозначении sinn α имеем аналогичную запись(sin α)n. Использование записи применимо для всех тригонометрических функций со степенями n.

    Ниже приведены формулы двойного угла:

    sin 2α=sin α·cos αcos 2α=cos2 α-sin2 α,   cos 2α=1-2·sin2 α, cos 2α=2·cos2 α-1tg 2α=2·tg α1-tg2 αctg 2α-ctg2 α-12·ctg α

    Отметим, что данные формулы sin и cos применимы с любым значением угла α. Формула тангенса двойного угла справедлива при любом значении α, где tg 2α имеет смысл, то есть απ4+π2·z, z является любым целым числом. Котангенс двойного угла существует при любом α, где ctg 2α определен на απ2·z.

    Косинус двойного угла имеет тройную запись двойного угла. Все они являются применимыми.

    Доказательство формул двойного угла

    Доказательство формул берет начало из формул сложения. Применим формулы синуса суммы:

    sin (α+β)=sin α ·cos β+cos α·sin βи косинуса суммы cos (α+β)=cos α ·cos β-sin α·sin β. Предположим, что β=α, тогда получим, что

    sin (α+α)=sin α ·cos α+cos α·sin α=2·sin α·cos α и cos (α+α)=cos α ·cos α-sin α·sin α=cos2α-sin2α

    Таким образом доказываются формулы синуса и косинуса двойного угла sin 2α= 2·sin α·cos α и cos 2α=cos2α-sin2α.

    Остальные формулы cos 2α=1-2·sin2 α и cos 2α=2·cos2 α-1 приводят к виду cos 2α=cos 2α=cos2 α-sin2 α, при замене 1 на сумму квадратов по основному тождествуsin2 α+cos2 α=1. Получаем, что sin2 α+cos2 α=1.  Так 1-2·sin2 α=sin2 α+cos2 α-2·sin2 α=cos2 α-sin2 α и 2·cos2 α-1=2·cos2 α-(sin2 α+ cos2 α)=cos2 α-sin2 α.

    Для доказательства формул двойного угла тангенса и котангенса применим равенства tg 2α=sin 2αcos 2α и ctg 2α=cos 2αsin 2α. После преобразования получим, что tg 2α=sin 2αcos 2α=2·sin α·cos αcos2 α-sin2 α и ctg 2α=cos 2αsin 2α=cos2 α-sin2 α2·sin α·cos α. Разделим выражение на cos2 α, где cos2 α0 с любым значением α, когда tg α определен. Другое выражение поделим на sin2 α, где sin2 α0 с любыми значениями α, когда ctg 2α имеет смысл. Чтобы доказать формулу двойного угла для тангенса и котангенса, подставим и получим:

    tg 2α=sin 2αcos 2α=2·sin α·cos αcos2 α-sin2 α=2·sin α·cos αcos2 αcos2 α-sin2 αcos2 α=2·sin2 αcos2 α1-sin2 αcos2 α=2·tg α1-tg2 αctg 2α=cos 2αsin 2α=cos2 α-sin2 α2·sin α·cos=cos2 α-sin2 αsin2 α2·sin α·cos αsin2 α=cos2 αsin2 α-12·cos αsin α=ctg2 α-12·ctg α

    Примеры использования формул двойного угла

    Данный пункт показывает несколько примеров решения с формулами двойного угла. Конкретные примеры помогут глубже понять изучаемый материал. Чтобы убедиться в справедливости формул 2α для α=30°, применим значения тригонометрических функций для этих углов. Если α=30°, тогда 2α=60°. Проверим значения sin 60°=2·sin 30°·cos 30°, cos 60°=cos2 30°-sin2 30°.

    Подставив значения, получим tg 60°= 2·tg 30°1-tg2 30° и ctg 60°=ctg230°-12·ctg 30°..

    Известно, что sin 30°=12, cos 30°=32, tg 30°=33, ctg 30°=3 и

    sin 60°=32, cos 60°=12, tg 60°=3, ctg 60°=33, тогда отсюда видим, что

    2·sin 30°·cos 30°=2·12·32=32, cos230°-sin230°=(32)2-(12)2=12,2·tg 30°1-tg230°=2·321-(33)=3 

    и  ctg230°-12·ctg 30°=(3)2-12·3=33

    Проведя вычисления, можно сделать вывод, что справедливость для α=30° подтверждена.

    Основное использование тригонометрических формул двойного угла – это преобразования тригонометрических выражений. Рассмотрим пример применения двойного угла, года имеем угол, отличный от 2α. В примере допускается применение формулы двойного угла 3π5. Тогда его необходимо преобразовать, в результате чего получим α=3π5:2=3π10. Отсюда следует, что формула двойного угла для косинуса будет иметь видcos3π5=cos23π10-sin23π10.

    Пример 1

    Представить sin 2α3 через тригонометрические функции, при α6.

    Решение

    Заметим, что из условия имеем 2α3=4·α6. Тогда использовав 2 раза формулу двойного угла, выразим sin2α3 через тригонометрические функции угла α6. Применяя формулу двойного угла, получим sin 2α3=2·sin α3·cos α3. После чего к функциям sin α3 и cos α3применим формулы двойного угла: sin 2α2=2·sin α3·cosα3=2·(2·sinα5·cosα6)·(cos2α6-sinα6)==4·sinα6·cos3α6-4·sin3α6·cosα6

    Ответ: sin2α3=4·sinα6·cos3α6-4·sin3α6·cosα6.

    Формулы тройного, четверного и т.д. угла

    Таким же образом выводятся формулы тройного, четверного и т.д. углов. Формулы тройного угла можно вывести из формул сложения двойного угла.

    sin 3α=sin(2α+α)=sin 2α·cos α+cos 2α·sin α=2·sin α·cosα·cos α+ (cos2 α-sin2α)·sin α==3·sin α·cos2α-sin3 α

    При замене cos2α на 1-sin2α из формулы sin 3α=3·sin α·cos2α-sin3α, она будет иметь вид sin 3α=3·sin α-4·sin3 α.

    Так же приводится формула косинуса тройного угла:

    cos 3α=cos (2α+α)=cos 2α·cos α-sin 2α·sin α==(cos2 α-sin2 α)·cos α-2·sin α·cos α·sin α=cos3α-3·sin2α·cos α

    При замене sin2 α на 1-cos2 α получим формулу вида cos 3α=-3·cos α+4·cos3 α.

    При помощи полученных формул преобразуем формулу тройного угла для тангенса и котангенса тройного угла:

    tg 3α=sin 3αcos 3α=3·sin α·cos2 α-sin3 αcos3α-3·sin2α·cos α=3·sin α·cos2α-sin3αcos3αcos3α-3·sin2α·cos αcos3α==3·sin αcos α-sin3αcos3α1-3·sin2 αcos2 α=3·tg α-tg3α1-3·tg2α;ctg 3α=cos 3αsin 3α=cos3 α-3·sin2α·cosα3·sin α·cos2α-sin3α=cos3α-3·sin2α·cosαsin3α3·sin α·cos2α-sin3αsin3α==cos3αsin3α-3·cos αsin α3·cos2αsin2α-1=ctg3α-3·ctgα3·ctg2α-1

    Чтобы выводить формулы четвертой степени, имеет смысл представить 4α как 2·2α, тогда имеет место использование формулы двойного угла два раза. Для выводы формулы 5 степени, представляем 5α в виде 3α+2α, что позволит применить формулы тройного и двойного углов для ее преобразования. Таким же образом делаются преобразования разных степеней тригонометрических функций. Их применение достаточно редкое в тригонометрии.

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter