Решение уравнений высших степеней

Решение уравнений высших степеней

    В общем случае уравнение, имеющее степень выше 4, нельзя разрешить в радикалах. Но иногда мы все же можем найти корни многочлена, стоящего слева в уравнении высшей степени, если представим его в виде произведения многочленов в степени не более 4-х. Решение таких уравнений базируется на разложении многочлена на множители, поэтому советуем вам повторить эту тему перед изучением данной статьи.

    Чаще всего приходится иметь дело с уравнениями высших степеней с целыми коэффициентами. В этих случаях мы можем попробовать найти рациональные корни, а потом разложить многочлен на множители, чтобы потом преобразовать его в уравнение более низкой степени, которое будет просто решить. В рамках этого материала мы рассмотрим как раз такие примеры.

    Уравнения высшей степени с целыми коэффициентами

    Все уравнения, имеющие вид anxn+an-1xn-1+...+a1x+a0=0, мы можем привести к уравнению той же степени с помощью умножения обеих частей на ann-1 и осуществив замену переменной вида y=anx:

    anxn+an-1xn-1+...+a1x+a0=0ann·xn+an-1·ann-1·xn-1++a1·(an)n-1·x+a0·(an)n-1=0y=anxyn+bn-1yn-1++b1y+b0=0

    Те коэффициенты, что получились в итоге, также будут целыми. Таким образом, нам нужно будет решить приведенное уравнение n-ной степени с целыми коэффициентами, имеющее вид xn+anxn-1++a1x+a0=0.

    Схема решения уравнения

    Вычисляем целые корни уравнения. Если уравнение имеет целые корни, нужно искать их среди делителей свободного члена a0. Выпишем их и будем подставлять в исходное равенство по очереди, проверяя результат. Как только мы получили тождество и нашли один из корней уравнения, то можем записать его в виде x-x1·Pn-1(x)=0. Здесь x1 является корнем уравнения, а Pn-1(x) представляет собой частное от деления xn+anxn-1++a1x+a0 на x-x1.

    Подставляем остальные выписанные делители в Pn-1(x)=0, начав с x1, поскольку корни могут повторяться. После получения тождества корень x2 считается найденным, а уравнение может быть записано в виде (x-x1)(x-x2)·Pn-2(x)=0.Здесь Pn-2(x) будет частным от деления Pn-1(x) на x-x2.

    Продолжаем и дальше перебирать делители. Найдем все целые корни и обозначим их количество как m. После этого исходное уравнение можно представить как x-x1x-x2··x-xm·Pn-m(x)=0. Здесь Pn-m(x) является многочленом n-m-ной степени. Для подсчета удобно использовать схему Горнера.

    Если у нас исходное уравнение имеет целые коэффициенты, мы не можем получить в итоге дробные корни.

    У нас в итоге получилось уравнение Pn-m(x)=0, корни которого могут быть найдены любым удобным способом. Они могут быть иррациональными или комплексными.

    Покажем на конкретном примере, как применяется такая схема решения.

    Пример 1

    Условие: найдите решение уравнения x4+x3+2x2-x-3=0.

    Решение

    Начнем с нахождений целых корней.

    У нас есть свободный член, равный минус трем. У него есть делители, равные 1, -1, 3 и -3. Подставим их в исходное уравнение и посмотрим, какие из них дадут в итоге тождества.

    При x, равном единице, мы получим 14+13+2·12-1-3=0, значит, единица будет корнем данного уравнения.

    Теперь выполним деления многочлена x4+x3+2x2-x-3 на (х-1) в столбик:

    Значит, x4+x3+2x2-x-3=x-1x3+2x2+4x+3.

    Перебираем возможные делители дальше, но подставляем их в равенство x3+2x2+4x+3=0:

    13+2·12+4·1+3=100(-1)3+2·(-1)2+4·-1+3=0

    У нас получилось тождество, значит, мы нашли еще один корень уравнения, равный -1.

    Делим многочлен x3+2x2+4x+3 на (х+1) в столбик:

    Получаем, что 

    x4+x3+2x2-x-3=(x-1)(x3+2x2+4x+3)==(x-1)(x+1)(x2+x+3)

    Подставляем очередной делитель в равенство x2+x+3=0, начиная с -1:

    -12+(-1)+3=3032+3+3=150(-3)2+(-3)+3=90

    Равенства, полученные в итоге, будут неверными, значит, у уравнения больше нет целых корней.

    Оставшиеся корни будут корнями выражения x2+x+3.

    D=12-4·1·3=-11<0

    Из этого следует, что у данного квадратного трехчлена нет действительных корней, но есть комплексно сопряженные: x=-12±i112.

    Уточним, что вместо деления в столбик можно применять схему Горнера. Это делается так: после того, как мы определили первый корень уравнения, заполняем таблицу.

    xi коэффициенты многочлена
      1 1 2 -1 -3
    1 1 1+1·1=2 2+2·1=4 -1+4·1=3 -3+3·1=0

    В таблице коэффициентов мы сразу можем увидеть коэффициенты частного от деления многочленов, значит, x4+x3+2x2-x-3=x-1x3+2x2+4x+3.

    После нахождения следующего корня, равного -1, мы получаем следующее:

    xi коэффициенты многочлена
      1 2 4 3
    1 1 2+1·(-1)=1 4+1·(-1)=3 3+3·(-1)=0

    Далее мы приходим к разложению x-1x+1x2+x+3=0. Потом, проверив оставшиеся делители равенства x2+x+3=0, вычисляем оставшиеся корни.

    Ответ: х=-1, х=1, x=-12±i112.

    Пример 2

    Условие: решите уравнение x4-x3-5x2+12=0.

    Решение 

    У свободного члена есть делители 1, -1, 2, -2, 3, -3, 4, -4, 6, -6, 12, -12.

    Проверяем их по порядку:

    14-13-5·12+12=70(-1)4-(-1)3-5·(-1)2+12=9024·23-5·22+12=0

    Значит, x=2 будет корнем уравнения. Разделим x4-x3-5x2+12 на х-2, воспользовавшись схемой Горнера:

    xi коэффициенты многочлена
      1 -1 -5 0 12
    2 1 -1+1·2=1 -5+1·2=-3 0-3·2=3 12-6·2=0

    В итоге мы получим x-2(x3+x2-3x-6)=0.

    Проверяем делители дальше, но уже для равенства x3+x2-3x-6=0, начиная с двойки.

    23+22-3·2-6=0

    Значит, 2 опять будет корнем. Разделим x3+x2-3x-6=0 на x-2:

    xi коэффициенты многочлена
      1 1 -3 -6
    2 1 1+1·2=3 -3+3·2=3 -6+3·2=0

    В итоге получим (x-2)2·(x2+3x+3)=0.

    Проверка оставшихся делителей смысла не имеет, поскольку равенство x2+3x+3=0 быстрее и удобнее решить с помощью дискриминанта.

    Решим квадратное уравнение:

    x2+3x+3=0D=32-4·1·3=-3<0

    Получаем комплексно сопряженную пару корней: x=-32±i32.

    Ответ: x=-32±i32.

    Пример 3

    Условие: найдите для уравнения x4+12x3-52x-3=0 действительные корни.

    Решение

    x4+12x3-52x-3=02x4+x3-5x-6=0

    Выполняем домножение 23обеих частей уравнения:

    2x4+x3-5x-6=024·x4+23x3-20·2·x-48=0

    Заменяем переменные y=2x:

    24·x4+23x3-20·2·x-48=0y4+y3-20y-48=0

    В итоге у нас получилось стандартное уравнение 4-й степени, которое можно решить по стандартной схеме. Проверим делители, разделим и получим в итоге, что оно имеет 2 действительных корня y=-2, y=3 и два комплексных. Решение целиком здесь мы не будем приводить. В силу замены действительными корнями данного уравнения будут x=y2=-22=-1 и x=y2=32.

    Ответ: x1=-1x2=32

    Советуем также ознакомиться с материалами, посвященными решению кубических уравнений и уравнений четвертой степени.

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter