Равносильные системы неравенств, преобразование систем, определение

Равносильные системы неравенств, преобразование систем, определение

    Продолжаем обсуждать термин "равносильные системы". Мы уже обсудили, что он означает применительно к уравнениям. В этой статье мы попробуем разобрать его применительно к неравенствам. План материала выглядит следующим образом: сначала мы введем основные определения, потом преобразуем их возможными способами, а в конце докажем, что получившаяся в итоге преобразований система равносильна той, что была взята первоначально.

    Определение равносильной системы неравенств

    Понятие равносильной системы неравенств в учебниках алгебры встречается нечасто. Почему-то применительно к уравнениям это термин более употребим. При этом мы можем встретить, что решения систем неравенств записываются следующим образом:

    2·x-1>6,5-3·x>-13,2·x>7,-3·x>-18,x>3,5,x<6.

    Аналогично определению системы равносильных уравнений мы можем сформулировать схожее и для неравенств. При этом изначальные системы неравенств можно заменить на равносильные, но более простые для понимания. Итак, определение:

    Определение 1

    Равносильные системы неравенств - это такие системы, у которых одни и те же решения (или эти решения одинаково отсутствуют).

    Как понять, равносильны ли данные системы неравенств?

    Если мы знаем все решения систем, то можно сразу дать ответ - да или нет, исходя из указанного выше определения.

    Пример 1

    Допустим, мы знаем, что:

    2·x>2,x4-2 - решений не имеет.

    Для системы x>5,x<-1- аналогично.

    Если обе системы не имеют решения, то они равносильны.

    А если мы не знаем решений? Логично вычислить их и определить это. Но есть способ обойтись и без предварительных расчетов. Для этого нам надо будет провести так называемые равносильные преобразования. Давайте разберем подробнее, что же это такое.

    Что такое равносильные преобразования систем неравенств

    Для уравнений существует довольно много преобразований, которые могут быть полезны на практике, но для неравенств же их заметно меньше. Разберем два основных способа, которые применяются для решения задач чаще всего:

    1. перестановка компонентов системы неравенств;
    2. замена одного из неравенств системы на равносильное ему.

    Также указанные выше понятия можно называть свойствами систем неравенств. Попробуем определить данные свойства.

    Определение 2

    1) Если мы поменяем местами неравенства, входящие в систему, то итоговая и исходная системы будут равносильны.

    Это утверждение логично и не нуждается в обоснованиях: ведь позиция компонента в системе никак не влияет на его решение, следовательно, и на решение всей системы тоже.

    Пример 2

    Разберем один несложный пример. У нас есть 2 системы неравенств:

    x+y>3,2·x+y2+x·y1,x2-y2<12 и  2·x+y2+x·y1,x2-y2<12,x+y>3

    Они являются равносильными, поскольку вся разница между ними состоит в порядке записи компонентов.

    Какова же польза первого свойства на практике? Мы можем с его помощью передвинуть наверх то неравенство, решения у которого очевидно нет. Тогда мы сразу же можем подытожить, что вся система неравенств решения не имеет, ведь это следует из их базового определения.

    Определение 3

    2) Если заменить одно из неравенств системы равносильным ему, что система, получившаяся в итоге, равносильна изначальной.

    Это утверждение также не вызывает вопросов. Если системы, являющиеся равносильными, имеют в итоге одинаковые решения, то упомянутые в формулировке второго свойства системы также решаются одинаково.

    Для чего нам может пригодиться такое преобразование? Благодаря ему мы можем работать по отдельности с любым компонентом системы.

    Пример 3

    Так, возьмем первое из следующей системы:

    2·x2+3·x-2·x-x2-x2>3-2,4·x-90

    Заменим его равносильным неравенством, используя способ приведения подобных слагаемых, и в итоге получим более легкую систему:

    x>1,4·x-90

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
    Средняя оценка статьи
    4,1 из 5 (10 голосов)