Равносильные неравенства, преобразование неравенств

Равносильные неравенства, преобразование неравенств

    В процессе решения неравенств зачастую происходит переход от заданного неравенства к неравенствам иного вида, имеющим то же решение, но определяемое проще. Иными словами, в результате преобразований заданное неравенство возможно заменить равносильным ему, облегчающим поиск решения. Данная статья посвящена способам равносильных преобразований. Сформулируем определение, рассмотрим основные виды преобразований.

    Равносильные неравенства: определение, примеры

    Определение 1

    Равносильные неравенства – неравенства, имеющие одни и те же решения. В частном случае, неравенства, не имеющие решений, тоже называются равносильными.

    Иными словами, если неравенства равносильны и имеют решения, то любое решение первого будет являться и решением второго. Ни одно из равносильных неравенств не имеет решений, не являющихся решениями других, равносильных ему неравенств.

    Приведем пример:

    Пример 1

    Даны три равносильных неравенства: x > 2, 2·x:2 > 2 и x>3-1. В самом деле, множества решений этих неравенств одинаковые, решение каждого их них – числовой промежуток (2, +).

    Неравенства х6-2 и |х+7|< 0 являются равносильными, поскольку оба не имеют решений.

    Неравенства х>3 и х3 – не равносильные: х=3 служит решением второго из этих равенств, но не служит решением первого.

    Отметим, что указанное определение относится к неравенствам как с одной переменной, так и с двумя, тремя и более.

    Равносильные преобразования неравенств

    Возможно совершить некоторые действия с правой и левой частью неравенств, что даст возможность получать новые неравенства, имеющие решения, как и у исходного.

    Определение 2

    Равносильное преобразование неравенства – это замена исходного неравенства равносильным ему, т.е. таким, которое имеет то же множество решений. Сами действия-преобразования, приводящие к равносильному неравенству, тоже называют равносильными преобразованиями.

    Равносильные преобразования дают возможность находить решения неравенств, преобразуя заданное неравенство в равносильное ему, но более простое и удобное для решения.

    Рассмотрим основные виды равносильных преобразований: по сути без них не обходится решение ни одного неравенства. Отметим также, что равносильные преобразования неравенств очень похожи на равносильные преобразования уравнений. Схожи и принципы доказательства, только, конечно, в данном случае доказательства будут строиться на основе свойств числовых неравенств.

    Итак, перечислим основные виды равносильных преобразований неравенств:

    1. Замена выражений в обоих частях неравенства тождественно равными выражениями на области допустимых значений (ОДЗ) переменных заданного неравенства есть равносильное преобразование неравенства.
    Доказательство 1

    Докажем утверждение. Пусть дано неравенство с одной переменной A(x)<B(x), где A(x) и B(x)  - некие выражения с переменной x. Допустим, выражение C(x) является тождественно равным выражению A(x), а выражение D(x) является тождественно равным B(x) на ОДЗ заданного неравенства. Найдем доказательство, что неравенство C(x)<D(x) служит равносильным неравенству A(x)<B(x). С этой целью нам нужно продемонстрировать тот факт, что любое решение q заданного неравенства будет также решением неравенства C(x)<D(x), и наоборот: любое решение неравенства C(x)<D(x) будет решением заданного неравенства A(x)<B(x).

    Мы приняли, что q – решение неравенства A(x)<B(x), тогда верным будет числовое неравенство A(q)<B(q). Отсюда по разностному определению неравенства выводим, что A(q)B(q)<0.

    Выражение A(q)B(q) можно записать в виде A(q)+(C(q)C(q))B(q)+(D(q)D(q)), что является тем же самым, (A(q)C(q))+C(q)(B(q)D(q))D(q).  Выражения A(x) и C(x)B(x) и D(x) по условию тождественно равны, тогда: A(q)=C(q) и B(q)=D(q), откуда A(q)C(q)=0 и  B(q)D(q)=0. Таким образом, (A(q)C(q))+C(q)(B(q)D(q))D(q)=0+C(q)0D(q)=C(q)D(q). Мы продемонстрировали, что значение выражения A(q)B(q) равно значению выражения C(q)D(q), а поскольку A(q)B(q)<0, то и C(q)D(q)<0. Отсюда делаем вывод, что C(q)<D(q). И крайнее неравенство означает, что q – решение неравенства C(x)<D(x).

    Таким же образом доказывается, что любое решение неравенства C(x)<D(x) будет решением и неравенства A(x)<B(x), тем самым будет доказано и исходное утверждение.

    Подобные преобразования не должны сужать ОДЗ заданного неравенства, тогда возможно совершать тождественные преобразования обеих сторон неравенства.

    Покажем пример использования.

    Пример 2

    Рассмотрим неравенство x>2+6. В правой части возможно заменить сумму значением так, чтобы получилось равносильное неравенство x>8.

    В неравенстве 3·(x+1)2·x+112·y+3·(y+1)+x, в обоих его частях мы раскроем скобки и приведем подобные слагаемые, получив в итоге равносильное неравенство x+145·y+3+x. Если детально разобрать наши действия, то мы заменили левую часть данного неравенства тождественно равным ей выражением x+14, а правую часть – тождественно равным ей выражением 5·y+3+x на области допустимых значений переменных x и y заданного неравенства.

    Еще раз особенно укажем, как важен учет ОДЗ (область допустимых значений) при совершении замены частей неравенства тождественными выражениями. В случае, когда ОДЗ нового неравенства будет отлична от ОДЗ исходного, неравенство не может считаться равносильным. Это крайне важный аспект, пренебрежение им приводит к неверным ответам при решении неравенств. 

    1. Прибавление или вычитание из обеих частей неравенства одного и того же числа является равносильным преобразованием.
    Доказательство 2

    Приведем обоснование указанного утверждения. Допустим, задано неравенство A(x)<B(x) и некое число c. Необходимо доказать, что заданному равносильно неравенство A(x)+c<B(x)+c, которое мы получим, прибавив к обеим частям исходного неравенства число c. Продемонстрируем, что любое решение q заданного неравенства будет также и решением неравенства A(x)+c<B(x)+c, и наоборот.

    Мы приняли, что q – решение неравенства A(x)<B(x), тогда верно следующее: A(q)<B(q). Из свойств числовых неравенств следует, что к обеим частям верного числового неравенства можно прибавить любое число. Мы прибавим число c к обеим частям крайнего неравенства, получим A(q)+c<B(q)+c, и это означает, что q служит решением неравенства A(x)+c<B(x)+c.

    Подобным же образом можно доказать, что любое решение неравенства A(x)+c<B(x)+c будет являться и решением неравенства A(x)<B(x). Мы приняли, что q - решение неравенства A(x)+c<B(x)+c, тогда A(q)+c<B(q)+c, из обеих частей вычтем число c, получим A(q)<B(q), где q – решение неравенства A(x)<B(x).

    Таким образом, неравенства A(x)<B(x) и A(x)+c<B(x)+c являются равносильными. Для наглядности укажем пример: x>2 и x5>25 – равносильные неравенства, а, учитывая рассматриваемое выше утверждение, равносильным им является и неравенство x5>3.

    1. Свойство, которое мы доказали выше, возможно расширить: прибавив к левой и правой частям неравенства одно и то же выражение с учетом соблюдения ОДЗ данного неравенства, получим равносильное неравенство.
    Пример 3

    Исходному неравенству x<7 будет равносильно неравенство x+(12·x1)<7+(12·x1).

    1. Указанные выше равносильные преобразования дают как следствие еще одно действие, пожалуй, основное в процессе преобразования неравенств: перенос любого слагаемого из одной части неравенства в другую с противоположным знаком служит равносильным преобразованием.
    Пример 4

    Исходному неравенству 3·x5·y>12 равносильно неравенство 3·x>12+5·y.

    1. Равносильным преобразованием также является умножение или деление обеих частей неравенства на одно и то же положительное число. И, умножив (или разделив) обе части неравенства на одно и то же отрицательное число, поменяв при этом знак неравенства на противоположный (< на >, > на <, на , а на ), получим равносильное неравенство.
    Доказательство 3

    Докажем сначала первую часть утверждения. Допустим, задано неравенство A(x)<B(x) и c – некое положительное число. Приведем доказательство, что A(x)<B(x) и A(x)·c<B(x)·c - равносильные неравенства. Примем q как решение заданного неравенства, в таком случае верным будет числовое неравенство A(q)<B(q). Опираясь на свойства числовых неравенств, можем утверждать, что, умножив обе части верного числового неравенства на положительное число, получим верное числовое неравенство. Производим умножение на заданное число c, что дает нам A(q)·c<B(q)·c. Это значит, что q - решение неравенства A(x)·c<B(x)·c.

    Теперь в обратную сторону: примем q как решение неравенства A(x)·c<B(x)·c, в таком случае: A(q)·c<B(q)·c. Разделим обе части этого числового неравенства на положительное число c (опираясь на свойства числовых неравенств), что даст нам верное числовое неравенство A(q)<B(q). Отсюда можно сделать вывод, что q - решение неравенства A(x)<B(x). Так, мы доказали, что при положительном числе c неравенства A(x)<B(x) и A(x)·c<B(x)·c являются равносильными.

    Таким же образом приводится доказательство второй части утверждения. Здесь можно опереться на свойство умножения и деления числовых неравенств на отрицательное число при смене знака неравенства на противоположный.

    Пример 5

    Задано неравенство 2·x5. Умножим его левую и правую части на положительное число 3, что даст нам равносильное неравенство 6·x15.

    Пример 6

    Задано неравенство -23·z<1. Разделим левую и правую его части на отрицательное число -23, сменив знак неравенства. Получим z>-112 - неравенство, равносильное заданному.

    Расширим и это свойство неравенств:

    • умножив обе части заданного неравенства на одно и то же выражение, положительное при любых значениях переменных из ОДЗ заданного неравенства, не изменяющее ОДЗ, получим равносильное неравенство;
    • умножив обе части неравенства на одно и то же выражение, отрицательное при любых значениях переменных из ОДЗ заданного неравенства и не изменяющее ОДЗ, а также изменив знак равенства на противоположный, получим равносильное неравенство.
    Пример 7

    Задано неравенство x>1. Умножим его правую и левую части на выражение x2+1, положительное на всей ОДЗ, и получим равносильное неравенство x·(x2+1)>1·(x2+1).

    В целом, есть и другие равносильные преобразования, однако, они не так распространены и скорее имеют отношение к конкретному виду неравенств, например, к логарифмическим неравенствам. Познакомиться с ними можно подробнее в соответствующей теме.

    Результат неравносильных преобразований неравенств

    Сколь уж существуют равносильные преобразования, имеют место и неравносильные. Такие действия приводят к искажению заданного неравенства и дают в итоге решение, не являющееся истинным для исходного неравенства. Случается, что и при неравносильных преобразованиях получается верный ответ, но это не более чем случайность.

    Собственно, вывод очевиден: решая неравенства, производить только равносильные преобразования.

    Разберем примеры для лучшего понимания теории.

    Пример 8

    Пусть заданы неравенства  x>2 и 1x-1x+x>-2. Решением первого будет числовой промежуток (2, +), а второго – множество -2, 00, +.

    Пусть необходимо решить второе неравенство.

    Пример 9

    Конечно, сазу приходит мысль об упрощении левой части приведением слагаемых, произведя замену просто на х, что даст переход к простому неравенству x>2. Однако мы намеренно не учтем, что переход надо осуществить на ОДЗ переменной х (х0), тогда предложенное выше преобразование даст нам неравносильное неравенство  x>2, а следовательно – неверный ответ (2, +) взамен нужного -2, 00, +.

    Посмотрим с другой стороны:

    Пример 10

    Мы решим неравенство x>2. При этом нам захотелось заменить его якобы равносильным неравенством 1x-1x+x>-2. Однако оно не является таковым: нуль не служит его решением, однако служит решением исходного неравенства. Суть в том, что выражение в его левой части тождественно равно не на всей области допустимых значений исходного неравенства: когда х=0, неравенство не равно x (при х=0 оно не определено). Совершенные действия приведут нас к неверному ответу -2, 00, + взамен правильного (2, +).

    Признак вероятного неравносильного преобразования – сужение области допустимых значений. Вновь обратимся к примеру выше: когда мы производили переход от неравенства  x>2 к неравенству 1x-1x+x>-2, произошло сужение ОДЗ со всего множества действительных чисел до множества без нуля. Такое положение вещей точно указывает на то, что полученное в итоге неравенство никак не будет равносильным исходному, т.е. такой переход не приведет к необходимому верному результату.

    Неравносильные преобразования чаще всего происходят при невнимательном использовании свойств корней, логарифмов и модуля. Эти моменты будут детально рассмотрены в темах о решении неравенств соответствующих видов.

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter