Метод математической индукции

Метод математической индукции

    Математическая индукция лежит в основе одного из самых распространенных методов математических доказательств. С его помощью можно доказать большую часть формул с натуральными числами n, например, формулу нахождения суммы первых членов прогрессии Sn=2a1+n-1d2·n, формулу бинома Ньютонаa+bn=Cn0·an·Cn1·an-1·b+...+Cnn-1·a·bn-1+Cnn·bn.

    В первом пункте мы разберем основные понятия, потом рассмотрим основы самого метода, а затем расскажем, как с его помощью доказывать равенства и неравенства.

    Понятия индукции и дедукции

    Для начала рассмотрим, что такое вообще индукция и дедукция.

    Определение 1

    Индукция – это переход от частного к общему, а дедукция наоборот – от общего к частному.

    Например, у нас есть утверждение: 254 можно разделить на два нацело. Из него мы можем сделать множество выводов, среди которых будут как истинные, так и ложные. Например, утверждение, что все целые числа, которые имеют в конце цифру 4, могут делиться на два без остатка – истинное, а то, что любое число из трех знаков делится на 2 – ложное.

    В целом можно сказать, что с помощью индуктивных рассуждений можно получить множество выводов из одного известного или очевидного рассуждения. Математическая индукция позволяет нам определить, насколько справедливы эти выводы.

    Допустим, у нас есть последовательность чисел вида 11·2, 12·3, 13·4, 14·5,..., 1n(n+1), где n обозначает некоторое натуральное число. В таком случае при сложении первых элементов последовательности мы получим следующее:

    S1=11·2=12, S2=11·2+12·3=23, S3=11·2+12·3+13·4=34,S4=11·2+12·3+13·4+14·5=45,...

    Используя индукцию, можно сделать вывод, что Sn=nn+1. В третьей части мы докажем эту формулу.

    В чем заключается метод математической индукции

    В основе этого метода лежит одноименный принцип. Он формулируется так:

    Определение 2

    Некое утверждение будет справедливым для натурального значения n тогда, когда 1) оно будет верно при n=1 и 2) из того, что это выражение справедливо для произвольного натурального n=k, следует, что оно будет верно и при n=k+1.

    Применение метода математической индукции осуществляется в 3 этапа:

    1. Для начала мы проверяем верность исходного утверждения в случае произвольного натурального значения n (обычно проверка делается для единицы).
    2. После этого мы проверяем верность при n=k.
    3. И далее доказываем справедливость утверждения в случае, если n=k+1.

    Как применять метод математической индукции при решении неравенств и уравнений

    Возьмем пример, о котором мы говорили ранее.

    Пример 1

    Докажите формулу Sn=11·2+ 12·3+...+1n(n+1)=nn+1.

    Решение

    Как мы уже знаем, для применения метода математической индукции надо выполнить три последовательных действия.

    1. Для начала проверяем, будет ли данное равенство справедливым при n, равном единице. Получаем S1=11·2=11+1=12. Здесь все верно.
    2. Далее делаем предположение, что формула Sk=kk+1 верна.
    3. В третьем шаге нам надо доказать, что Sk+1=k+1k+1+1=k+1k+2, основываясь на справедливости предыдущего равенства.

    Мы можем представить k+1 в качестве суммы первых членов исходной последовательности и k+1:

    Sk+1=Sk+1k+1(k+2)

    Поскольку во втором действии мы получили, что Sk=kk+1, то можно записать следующее:

    Sk+1=Sk+1k+1(k+2).

    Теперь выполняем нужные преобразования. Нам потребуется выполнить приведение дроби к общему знаменателю, приведение подобных слагаемых, применить формулу сокращенного умножения и сократить то, что получилось:

    Sk+1=Sk+1k+1(k+2)=kk+1+1k+1(k+2)==k(k+2)+1k+1(k+2)=k2+2k+1k+1(k+2)=(k+1)2k+1(k+2)=k+1k+2

    Таким образом, мы доказали равенство в третьем пункте, выполнив все три шага метода математической индукции.

    Ответ: предположение о формуле Sn=nn+1 является верным.

    Возьмем более сложную задачу с тригонометрическими функциями.

    Пример 2

    Приведите доказательство тождества cos2α·cos4α·...·cos2nα=sin 2n+1α2nsin 2α.

    Решение

    Как мы помним, первым шагом должна быть проверка верности равенства при n, равном единице. Чтобы это выяснить, нам надо вспомнить основные тригонометрические формулы.

    cos 21=cos 2αsin 21+1α21sin 2α=sin 4α2sin 2α=2sin 2α·cos 2α2sin 2α=cos 2α

    Следовательно, при n, равном единице, тождество будет верным.

    Теперь предположим, что его справедливость сохранится при n=k, т.е. будет верно, что cos 2α·cos 4α·...·cos 2kα=sin 2k+1α2ksin 2α.

    Доказываем равенство cos 2α·cos 4α·...·cos 2k+1α=sin 2k+2α2k+1sin 2α для случая, когда n=k+1, взяв за основу предыдущее предположение.

    Согласно тригонометрической формуле,

    sin 2k+1α·cos 2k+1α==12(sin(2k+1α+2k+1α)+sin(2k+1α-2k+1α))==12sin(2·2k+1α)+sin 0=12sin 2k+2α

    Следовательно,

    cos 2α·cos 4α·...·cos 2k+1α==cos 2α·cos 4α·...·cos 2kα·cos 2k+1α==sin 2k+1α2k sin 2α·cos 2k+1α=12·sin 2k+1α2ksin 2α=sin 2k+2α2k+1sin 2α

    Ответ:  На этом тождество можно считать доказанным. Мы успешно применили для этого метод математической индукции. Точно так же мы можем доказать справедливость формулы бинома Ньютона.

    Пример решения задачи на доказательство неравенства с применением этого метода мы привели в статье о методе наименьших квадратов. Прочтите тот пункт, в котором выводятся формулы для нахождения коэффициентов аппроксимации.

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
    Нужна работа по МАТЕМАТИКЕ?
    Узнай стоимость