Числовые ряды: определения, свойства, признаки сходимости, признак Даламбера, Коши, Раабе и др.

Числовые ряды: определения, свойства, признаки сходимости, примеры, решения

    Данная статья представляет собой структурированную и подробную информацию, которая может пригодиться во время разбора упражнений и задач. Мы рассмотрим тему числовых рядов.

    Данная статья начинается с основных определений и понятий. Далее мы стандартные варианты и изучим основные формулы. Для того, чтобы закрепить материал, в статье приведены основные примеры и задачи.

    Базовые тезисы

    Для начала представим систему: a1, a2..., an,... , где akR, k=1,2....

    Для примера, возьмем такие числа, как: 6,3,-32,34,38,-316,... .

    Определение 1

    Числовой ряд – это сумма членов akk=1=a1+a2+...+an+... .

    Чтобы лучше понять определение, рассмотрим данный случай, в котором q = -0.5: 8-4+2-1+12-14+...=k=1(-16)·-12k .

    Определение 2

    ak является общим или k–ым членом ряда.

    Он выглядит примерно таким образом -16·-12k .

    Определение 3

    Частичная сумма ряда выглядит примерно таким образом Sn=a1+a2+...+an , в которой n –любое число. Sn является n-ой суммой ряда.

    Например, k=1(-16)·-12k есть S4=8-4+2-1=5 .

    S1,S2,...,Sn,... образуют бесконечную последовательность числового ряда.

    Для ряда n –ая сумму находится по формуле Sn=a1·(1-qn)1-q=8·1--12n1--12=163·1--12n . Используем следующую последовательность частичных сумм: 8,4,6,5,...,163·1--12n,... .

    Определение 4

    Ряд k=1ak является сходящимся тогда, когда последовательность обладает конечным пределом S=lim Snn+ . Если предела нет или последовательность бесконечна, то ряд k=1ak называется расходящимся.

    Определение 5

    Суммой сходящегося ряда k=1ak является предел последовательности k=1ak=lim Snn+=S .

    В данном примере lim Snn+=lim 163т+·1-12n=163·lim n+1--12n=163 , ряд k=1(-16)·-12k сходится. Сумма равна 163: k=1(-16)·-12k=163 .

    Пример 1

    В качестве примера расходящегося ряда можно привести сумму геометрической прогрессии со знаменателем большем, чем единица: 1+2+4+8+...+2n-1+...=k=12k-1.

    n-ая частичная сумма определяется выражением Sn=a1·(1-qn)1-q=1·(1-2n)1-2=2n-1, а предел частичных сумм бесконечен: limn+Sn=limn+(2n-1)=+.

    Еще одим примером расходящегося числового ряда является сумма видаk=15=5+5+.... В этом случае n-ая частичная сумма может быть вычислена как Sn=5n. Предел частичных сумм бесконечен limn+Sn=limn+5n=+.

    Определение 6

    Сумма подобного вида как k=1=1+12+13+...+1n+... – это гармонический числовой ряд.

    Определение 7

    Сумма k=11ks=1+12s+13s+...+1ns+... , где s –действительное число, является обобщенно гармоническим числовым рядом.

    Определения, рассмотренные выше, помогут вам для решения большинства примеров и задач.

    Для того, чтобы дополнить определения, необходимо доказать определенные уравнения.

    1. k=11k – расходящийся.

    Действуем методом от обратного. Если он сходится, то предел конечен. Можно записать уравнение как limn+Sn=S и limn+S2n=S . После определенных действий мы получаем равенство limn+(S2n-Sn)=0 .

    Напротив,

    S2n-Sn=1+12+13+...+1n+1n+1+1n+2+...+12n--1+12+13+...+1n=1n+1+1n+2+...+12n

    Справедливы следующие неравенства 1n+1>12n, 1n+1>12n,..., 12n-1>12n . Получаем, что S2n-Sn=1n+1+1n+2+...+12n>12n+12n+...+12n=n2n=12 . Выражение S2n-Sn>12 указывает на то, что limn+(S2n-Sn)=0 не достигается. Ряд расходящийся.

    1. b1+b1q+b1q2+...+b1qn+...=k=1b1qk-1

    Необходимо подтвердить, что сумма последовательности чисел сходится при q<1 , и расходится при q1 .

    Согласно приведенным выше определениям, сумма n членов определяется согласно формуле Sn=b1·(qn-1)q-1 .

    Если q<1 верно 

     limn+Sn=limn+b1·qn-1q-1=b1·limn+qnq-1-limn+1q-1==b1·0-1q-1=b1q-1

    Мы доказали, что числовой ряд сходится.

    При q = 1 b1+b1+b1+...k=1b1 . Суммы можно отыскать с использованием формулы Sn=b1·n , предел бесконечен limn+Sn=limn+b1·n=. В представленном варианте ряд расходится.

    Если q = -1, то ряд выглядит как b1-b1+b1-...=k=1b1(-1)k+1 . Частичные суммы выглядят как Sn=b1 для нечетных n, и Sn=0 для четных n. Рассмотрев данный случай, мы удостоверимся, что предела нет и ряд является расходящимся.

    При q>1 справедливо limn+Sn=limn+b1·(qn-1)q-1=b1·limn+qnq-1-limn+1q-1==b1·-1q-1=

    Мы доказали, что числовой ряд расходится.

    1. Ряд k=11ks сходится, если s > 1 и расходится, если s 1 .

    Для s = 1 получаем k=11k , ряд расходится.

    При s < 1 получаем 1ks1k для k, натурального числа. Так как ряд является расходящимся k=11k , то предела нет. Следуя этому, последовательность k=11ks неограниченна. Делаем вывод, что выбранный ряд расходится при s < 1.

    Необходимо предоставить доказательства, что ряд k=11ks сходится при s > 1.

    Представим S2n-1-Sn-1 :

    S2n-1-Sn-1=1+12s+13s+...+1(n-1)s+1ns+1(n+1)s+...+1(2n-1)s--1+12s+13s+...+1(n-1)s=1ns+1(n+1)s+...+1(2n-1)s

    Допустим, что 1(n+1)s<1ns, 1(n+2)s<1ns, ..., 1(2n-1)s<1ns , тогда S2n-1-Sn-1=1ns+1(n+1)s+...+1(2n-1)s<<1ns+1ns+...+1ns=nns=1ns-1

    Представим уравнение для чисел, которые являются натуральными и четными n=2:   S2n-1-Sn-1=S3-S1=12s+13s<12s-1n=4:   S2n-1-Sn-1=S7-S3=14s+15s+16s+17s<14s-1=12s-12n=8:  S2n-1-Sn-1=S15-S7=18s+19s+...+115s<18s-1=12s-13...

    Получаем:

    k=11ks=1+12s+13s+14s+...+17s+18s+...+115s+...==1+S3-S1+S7-S3+S15+S7+...<<1+12s-1+12s-12+12s-13+...

    Выражение 1+12s-1+12s-12+12s-13+... – это сумма геометрической прогрессии q=12s-1 . Согласно исходным данным при s>1, то0<q<1 . Получаем, k=1<1+12s-1+12s-12+12s-13+...=11-q=11-12s-1 . Последовательность ряда при s > 1 увеличивается и ограничивается сверху 11-12s-1 . Представим, что есть предел и ряд является сходящимся k=11ks .

    Определение 8

    Ряд k=1ak знакоположителен в том случае, если его члены >0 ak>0, k=1,2,... .

    Ряд k=1bk знакочередующийся, если знаки чисел отличаются. Данный пример представлен какk=1bk=k=1(-1)k·ak или k=1bk=k=1(-1)k+1·ak , где ak>0, k=1,2, ... .

    Ряд k=1bk знакопеременный, так как в нем множество чисел, отрицательных и положительных.

    Второй вариант ряд – это частный случай третьего варианта.

    Приведем примеры для каждого случая соответственно:

     6+3+32+34+38+316+...6-3+32-34+38-316+...6+3-32+34+38-316+...

    Для третьего варианта также можно определить абсолютную и условную сходимость.

    Определение 9

    Знакочередующийся ряд k=1bk абсолютно сходится в том случае, когда k=1bk также считается сходящимся.

    Подробно разберем несколько характерных вариантов

    Пример 2

    Если ряды 6-3+32-34+38-316+... и 6+3-32+34+38-316+... определяются как сходящиеся, то верно считать, что 6+3+32+34+38+316+...

    Определение 10

    Знакопеременный ряд k=1bk считается условно сходящимся в том случае, если k=1bk – расходящийся, а ряд k=1bk считается сходящимся.

    Пример 3

    Подробно разберем вариант k=1(-1)k+1k=1-12+13-14+... . Ряд k=1(-1)k+1k=k=11k , который состоит из абсолютных величин, определяется как расходящийся. Этот вариант считается сходящимся, так как это легко определить. Из данного примера мы узнаем, что ряд k=1(-1)k+1k=1-12+13-14+... будет считаться условно сходящимся.

    Особенности сходящихся рядов

    Проанализируем свойства для определенных случаев

    1. Если k=1ak будет сходится, то и ряд k=m+1ak также признается сходящимся. Можно отметить, что ряд без m членов также считается сходящимся. В случае, если мы добавляем к k=m+1ak несколько чисел, то получившийся результат также будет сходящимся.
    2. Если k=1ak сходится и сумма = S, то сходится и ряд k=1A·ak , k=1A·ak=A·S , где A –постоянная.
    3. Если k=1ak и k=1bk являются сходящимися , суммы A и B тоже, то и ряды k=1ak+bk и k=1ak-bk также сходятся . Суммы будут равняться A + B и A - B соответственно.
    Пример 4

    Определить, что ряд сходится k=123k·k3 .

    Изменим выражение k=123k·k3=k=123·1k43 . Ряд k=11k43 считается сходящимся, так как ряд k=11ks сходится при s > 1. В соответствии со вторым свойством, k=123·1k43 .

    Пример 5

    Определить, сходится ли ряд n=13+nn52 .

    Преобразуем изначальный вариант n=13+nn52=n=13n52+nn2=n=13n52+n=11n2 .

    Получаем сумму n=13n52 и n=11n2 . Каждый ряд признается сходящимся согласно свойству. Так, как ряды сходятся, то исходный вариант тоже.

    Пример 6

    Вычислить, сходится ли ряд 1-6+12-2+14-23+18-29+... и вычислить сумму.

    Разложим исходный вариант:

     1-6+12-2+14-23+18-29+...==1+12+14+18+...-2·3+1+13+19+...==k=112k-1-2·k=113k-2

    Каждый ряд сходится, так как является одним из членов числовой последовательности. Согласно третьему свойству, мы можем вычислить, что исходный вариант также является сходящимся. Вычисляем сумму: Первый член ряда k=112k-1 =1 , а знаменатель =0.5, за этим следует, k=112k-1=11-0.5=2 . Первый член k=113k-2=3, а знаменатель убывающей числовой последовательности=13. Получаем:k=113k-2=31-13=92 .

    Используем выражения, полученные выше, для того, чтобы определить сумму 1-6+12-2+14-23+18-29+...=k=112k-1-2·k=113k-2=2-2·92=-7

    Необходимое условие для определения, является ли ряд сходящимся

    Определение 11

    Если ряд k=1ak является сходящимся, то предел его k-ого члена =0: limk+ak=0 .

    Если мы проверим любой вариант, то нужно не забывать о непременном условии. Если оно не выполняется, то ряд расходится. Если limk+ak0 , то ряд расходящийся.

    Следует уточнить, что условие важно, но не достаточно. Если равенство limk+ak=0 выполняется , то это не гарантирует, что k=1ak является сходящимся.

    Приведем пример. Для гармонического ряда k=11k условие выполняется limk+1k=0 , но ряд все равно расходится.

    Пример 7

    Определить сходимость n=1n21+n .

    Проверим исходное выражение на выполнение условияlimn+n21+n=limn+n2n21n2+1n=limn+11n2+1n=1+0+0=+0

    Предел n-ого члена не равен 0. Мы доказали, что данный ряд расходится.

    Как определить сходимость знакоположительного ряда.

    Если постоянно пользоваться указанными признаками, придется постоянно вычислять пределы. Данный раздел поможет избежать сложностей во время решения примеров и задач. Для того, чтобы определить сходимость знакоположительного ряда, существует определенное условие.

    Для сходимости знакоположительного k=1ak, ak>0 k=1,2,3,... нужно определять ограниченную последовательность сумм.

    Как сравнивать ряды

    Существует несколько признаков сравнения рядов. Мы сравниваем ряд, сходимость которого предлагается определить, с тем рядом, сходимость которого известна.

    Первый признак

    k=1ak иk=1bk - знакоположительные ряды. Неравенство akbk справедливо для k = 1, 2, 3, ... Из этого следует, что из ряда k=1bk мы можем получитьk=1ak . Так как k=1ak расходится, то рядk=1bk можно определить как расходящийся.

    Данное правило постоянно используется для решения уравнений и является серьезным аргументом, которое поможет определить сходимость. Сложности могут состоять в том, что подобрать подходящий пример для сравнения можно найти далеко не в каждом случае. Довольно часто ряд выбирается по принципу, согласно которому показатель k-ого члена будет равняться результату вычитания показателей степеней числителя и знаменателя k-ого члена ряда. Допустим, что ak=k2+34k2+5 , разность будет равна 2  3 = -1. В данном случае можно определить, что для сравнения необходим ряд с k-ым членом bk=k-1=1k , который является гармоническим.

    Для того, чтобы закрепить полученный материал, детально рассмотрим пару типичных вариантов.

    Пример 8

    Определить, каким является ряд k=11k-12 .

    Так как предел =0 limk+1k-12=0 , мы выполнили необходимое условие. Неравенство будет справедливым1k<1k-12 для k, которые являются натуральными. Из предыдущих пунктов мы узнали, что гармонический ряд k=11k – расходящийся. Согласно первому признаку, можно доказать, что исходный вариант является расходящимся.

    Пример 9

    Определить, является ряд сходящимся или расходящимсяk=11k3+3k-1 .

    В данном примере выполняется необходимое условие, так как limk+1k3+3k-1=0 . Представляем в виде неравенства 1k3+3k-1<1k3 для любого значения k. Ряд k=11k3 является сходящимся, так как гармонический ряд k=11ks сходится при s > 1. Согласно первому признаку, мы можем сделать вывод, что числовой ряд является сходящимся.

    Пример 10

    Определить, является каким является ряд k=31kln(ln k) .limk+1kln(ln k)=1++=0 .

    В данном варианте можно отметить выполнение нужного условия. Определим ряд для сравнения. Например, k=11ks . Чтобы определить, чему равна степень, расммотрим последовательность {ln(ln k)},  k=3,4,5.... Члены последовательности ln (ln 3),   ln (ln 4),   ln (ln 5), ... увеличивается до бесконечности. Проанализировав уравнение, можно отметить, что, взяв в качестве значения N = 1619, то члены последовательности >2. Для данной последовательности будет справедливо неравенство 1kln(ln k)<1k2 . Ряд k=N1k2 сходится согласно первому признаку, так как ряд k=11k2 тоже сходящийся. Отметим, что согласно первому признаку ряд k=N1kln(ln k) сходящийся. Можно сделать вывод, что ряд k=31kln(ln k) также сходящийся.

    Второй признак

    Допустим, что k=1ak и k=1bk - знакоположительные числовые ряды.

    Если limk+akbk , то ряд k=1bk сходится, и k=1ak сходится также.

    Если limk+akbk0 , то так как ряд k=1bk расходится, то k=1ak также расходится.

    Если limk+akbk и limk+akbk0 , то сходимость или расходимость ряда означает сходимость или расходимость другого.

    Рассмотрим k=11k3+3k-1 с помощью второго признака. Для сравнения k=1bk возьмем сходящийся рядk=11k3 . Определим предел: limk+akbk=limk+1k3+3k-11k3=limk+k3k3+3k-1=1

    Согласно второму признаку можно определить, что сходящийся рядk=11k3 означается, что первоначальный вариант также сходится.

    Пример 11

    Определить, каким является ряд n=1k2+34k3+5 .

    Проанализируем необходимое условие limkk2+34k3+5=0 , которое в данном варианте выполняется. Согласно второму признаку, возьмем ряд k=11k. Ищем предел: limk+k2+34k3+51k=limk+k3+3k4k3+5=14

    Согласно приведенным выше тезисам, расходящийся ряд влечет собой расходимость исходного ряда.

    Третий признак

    Рассмотрим третий признак сравнения.

    Допустим, что k=1ak и _k=1bk - знакоположительные числовые ряды. Если условие выполняется для некого номера ak+1akbk+1bk , то сходимость данного рядаk=1bk означает, что ряд k=1ak также является сходящимся. Расходящийся ряд k=1ak влечет за собой расходимость k=1bk .

    Признак Даламбера

    Представим, что k=1ak - знакоположительный числовой ряд. Если limk+ak+1ak<1, то ряд является сходящимся, если limk+ak+1ak>1 , то расходящимся.

    Замечание 1

    Признак Даламбера справедлив в том случае, если предел бесконечен.

    Если limk+ak+1ak=- , то ряд является сходящимся, если limkak+1ak=+ , то расходящимся.

    Если limk+ak+1ak=1 , то признак Даламбера не поможет и потребуется провести еще несколько исследований.

    Пример 12

    Определить, является ряд сходящимся или расходящимся k=12k+12k по признаку Даламбера.

    Необходимо проверить, выполняется ли необходимое условие сходимости. Вычислим предел, воспользовавшись правилом Лопиталя: limk+2k+12k==limk+2k+1'2k'=limk+22k·ln 2=2+·ln 2=0

    Мы можем увидеть, что условие выполняется. Воспользуемся признаком Даламбера: limk+=limk+2(k+1)+12k+12k+12k=12limk+2k+32k+1=12<1

    Ряд является сходящимся.

    Пример 13

    Определить, является ряд расходящимся k=1kkk! .

    Воспользуемся признаком Даламбера для того, чтобы определить рассходимость ряда: limk+ak+1ak=limk+(k+1)k+1(k+1)!kkk!=limk+(k+1)k+1·k!kk·(k+1)!=limk+(k+1)k+1kk·(k+1)==limk+(k+1)kkk=limk+k+1kk=limk+1+1kk=e>1

    Следовательно, ряд является расходящимся.

    Радикальный признак Коши

    Допустим, что k=1ak - это знакоположительный ряд. Еслиlimk+akk<1 , то ряд является сходящимся, если limk+akk>1 , то расходящимся.

    Замечание 2

    Данный признак будет считаться справедливым только в том случае, если предел бесконечен. Другими словами, если limk+akk=-, то ряд сходится, если limk+akk=+ , то ряд расходится.

    Еслиlimk+akk=1 , то данный признак не дает никакой информации – требуется проведение дополнительного анализа.

    Данный признак может быть использован в примерах, которые легко определить. Случай будет характерным тогда, когда член числового ряда – это показательно степенное выражение.

    Для того, чтобы закрепить полученную информацию, рассмотрим несколько характерных примеров.

    Пример 14

    Определить, является ли знакоположительный ряд k=11(2k+1)k на сходящимся.

    Нужное условие считается выполненным, так как limk+1(2k+1)k=1++=0 .

    Согласно признаку, рассмотренному выше, получаем limk+akk=limk+1(2k+1)kk=limk+12k+1=0<1 . Данный ряд является сходимым.

    Пример 15

    Сходится ли числовой ряд k=113k·1+1kk2 .

    Используем признак, описанный в предыдущем пункте limk+13k·1+1kk2k=13·limk+1+1kk=e3<1 , следовательно, числовой ряд сходится.

    Интегральный признак Коши

    Допустим, что k=1ak является знакоположительным рядом. Необходимо обозначить функцию непрерывного аргумента y = f(x), которая совпадаетan= f(n) . Если y = f(x) больше нуля, не прерывается и убывает на [a; +) , где a1

    , то в случае, если несобственный интеграл a+f(x)dx является сходящимся, то рассматриваемый ряд также сходится. Если же он расходится, то в рассматриваемом примере ряд тоже расходится.

    При проверке убывания функции можно использовать материал, рассмотренный на предыдущих уроках.

    Пример 16

    Рассмотреть пример k=21k·ln k на сходимость.

    Условие сходимости ряда считается выполненным, так как limk+1k·ln k=1+=0 . Рассмотрим y=1x·ln x . Она больше нуля, не прерывается и убывает на [2; +) . Первые два пункта доподлинно известны, а вот на третьем следует остановиться подробнее. Находим производную: y'=1x·ln x'=x·ln x'x·ln x2=ln x+x·1xx·ln x2=-ln x+1x·ln x2 . Она меньше нуля на [2; +) . Это доказывает тезис о том, что функция является убывающей.

    Собственно, функция y=1x·ln x соответствует признакам принципа, который мы рассматривали выше. Воспользуемся им: 2+dxx·ln x=limA+2Ad(ln x)ln x=limA+ln(ln x)2A==limA+(ln(ln A)-ln(ln 2))=ln(ln(+))-ln(ln 2)=+

    Согласно полученным результатам, исходный пример расходится, так как несобственный интеграл является расходящимся.

    Пример 17

    Докажите сходимость ряда k=11(10k-9)(ln(5k+8))3 .

    Так как limk+1(10k-9)(ln(5k+8))3=1+=0 , то условие считается выполненным.

    Начиная с k=4, верное выражение 1(10k-9)(ln(5k+8))3<1(5k+8)(ln(5k+8))3 .

    Если рядk=41(5k+8)(ln(5k+8))3 будет считаться сходящимся, то, согласно одному из принципов сравнения, ряд k=41(10k-9)(ln(5k+8))3 также будет считаться сходящимся. Таким образом, мы сможет определить, что исходное выражение также является сходящимся.

    Перейдем к доказательству k=41(5k+8)(ln(5k+8))3 .

    Так как функция y=15x+8(ln(5x+8))3 больше нуля, не прерывается и убывает на [4; +) . Используем признак, описанный в предыдущем пункте:

    4+dx(5x+8)(ln(5x+8))3=limA+4Adx(5x+8)(ln(5x+8))3==15·limA+4Ad(ln(5x+8)(ln(5x+8))3=-110·limA+1(ln(5x+8))2|4A==-110·limA+1(ln(5·A+8))2-1(ln(5·4+8))2==-110·1+-1(ln 28)2=110·ln 282

    В полученном сходящемся ряде, 4+dx(5x+8)(ln(5x+8))3 , можно определить, что k=41(5k+8)(ln(5k+8))3 также сходится.

    Признак Раабе

    Допустим, что k=1ak - знакоположительный числовой ряд.

    Если limk+k·akak+1<1 , то ряд расходится, еслиlimk+k·akak+1-1>1 , то сходится.

    Данный способ определения можно использовать в том случае, если описанные выше техники не дают видимых результатов.

    Исследование на абсолютную сходимость

    Для исследования берем k=1bk . Используем знакоположительный k=1bk . Мы можем использовать любой из подходящих признаков, которые мы описывали выше. Если ряд k=1bk сходится, то исходный ряд является абсолютно сходящимся.

    Пример 18

    Исследовать ряд k=1(-1)k3k3+2k-1 на сходимость k=1(-1)k3k3+2k-1=k=113k3+2k-1 .

    Условие выполняется limk+13k3+2k-1=1+=0 . Используем k=11k32 и воспользуемся вторым признаком: limk+13k3+2k-11k32=13 .

    Ряд k=1(-1)k3k3+2k-1 сходится. Исходный ряд также абсолютно сходящийся.

    Расходимость знакопеременных рядов

    Если ряд k=1bk – расходящийся, то соответствующий знакопеременный ряд k=1bk либо расходящийся, либо условно сходящийся.

    Лишь признак Даламбера и радикальный признак Коши помогут сделать выводы о k=1bk по расходимости из модулей k=1bk . Ряд k=1bk также расходится, если не выполняется необходимое условие сходимости, то есть, если limk+bk0 .

    Пример 19

    Проверить расходимость 17,272,-673,2474,12075-72076, ... .

    Модуль k-ого члена представлен как bk=k!7k .

    Исследуем ряд k=1bk=k=1k!7k на сходимость по признаку Даламбера: limk+bk+1bk=limk+(k+1)!7k+1k!7k=17·limk+(k+1)=+ .

    k=1bk=k=1k!7k расходится так же, как и исходный вариант.

    Пример 20

    Является ли k=1(-1)k·k2+1ln(k+1) сходящимся.

    Рассмотрим на необходимое условие limk+bk=limk+k2+1ln(k+1)==limk+=k2+1'(ln(k+1))'==limk+2k1k+1=limk+2k(k+1)=+ . Условие не выполнено, поэтому k=1(-1)k·k2+1ln(k+1) ряд расходящийся. Предел был вычислен по правилу Лопиталя.

    Признаки для условной сходимости

    Признак Лейбница

    Определение 12

    Если величины членов знакочередующегося ряда убывают b1>b2>b3>...>... и предел модуля =0 при k+ , то ряд k=1bk сходится.

    Пример 17

    Рассмотреть k=1(-1)k2k+15k(k+1) на сходимость.

    Ряд представлен как k=1(-1)k2k+15k(k+1)=k=12k+15k(k+1) . Нужное условие выполняется limk+=2k+15k(k+1)=0 . Рассмотрим k=11k по второму признаку сравнения limk+2k+15k(k+1)1k=limk+2k+15(k+1)=25

    Получаем, что k=1(-1)k2k+15k(k+1)=k=12k+15k(k+1) расходится. Ряд k=1(-1)k2k+15k(k+1) сходится по признаку Лейбница: последовательность2·1+15·1·11+1=310, 2·2+15·2·(2+1)=530, 2·3+15·3·3+1, ... убывает и limk+=2k+15k(k+1)=0 .

    Ряд условно сходится.

    Признак Абеля-Дирихле

    Определение 13

    k=1+uk·vk сходится в том случае, если {uk} не возрастает, а последовательность k=1+vk ограничена.

    Пример 17

    Исследуйте 1-32+23+14-35+13+17-38+29+... на сходимость.

    Представим

    1-32+23+14-35+13+17-38+29+...=1·1+12·(-3)+13·2+14·1+15·(-3)+16·=k=1uk·vk

    где {uk}=1, 12, 13, ... - невозрастающая, а последовательность {vk}=1, -3 , 2, 1, -3, 2, ... ограничена {Sk}=1, -2, 0, 1, -2, 0, ... . Ряд сходится.

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
    Средняя оценка статьи
    4,9 из 5 (14 голосов)