Таблица производных. Доказательство формул

Таблица производных. Доказательство формул

    Приведем сводную таблицу для удобства и наглядности при изучении темы.

    Константа y=C

    (C)'=0

    Степенная функция y=xp

    (xp)'=p·xp-1

    Показательная функция y=ax

    (ax)'=ax·ln a

    В частности, при a=e  имеем  y=ex

    (ex)'=ex

    Логарифмическая функция

    (logax)'=1x·ln a

    В частности, при a=e  имеем  y=ln x

    (ln x)'=1x

    Тригонометрические функции

    (sin x)'=cos x(cos x)'=-sin x(tgx)'=1cos2x(ctgx)'=-1sin2x

    Обратные тригонометрические функции

    (arcsin x)'=11-x2(arccos x)'=-11-x2(arctg x)'=11+x2(arcctg x)'=-11+x2

    Гиперболические функции

    (shx)'=chx(chx)'=shx(thx)'=1ch2x(cthx)'=-1sh2x

    Разберем, каким образом были получены формулы указанной таблицы или, иначе говоря, докажем вывод формул производных для каждого вида функций.

    Производная постоянной

    Доказательство 1

    Для того, чтобы вывести данную формулу, возьмем за основу определение производной функции в точке. Используем x0=x, где x принимает значение любого действительного числа, или, иначе говоря, x является любым числом из области определения функции f(x)=C. Составим запись предела отношения приращения функции к приращению аргумента при x0:

    limx0f(x)x=limx0C-Cx=limx00x=0

    Обратите внимание, что под знак предела попадает выражение 0x. Оно не есть неопределенность «ноль делить на ноль», поскольку в числителе записана не бесконечно малая величина, а именно нуль. Иначе говоря, приращение постоянной функции всегда есть нуль.

    Итак, производная постоянной функции f(x)=C равна нулю на всей области определения.

    Пример 1

    Даны постоянные функции:

    f1(x)=3,f2(x)=a, aR,f3(x)=4.13722,f4(x)=0,f5(x)=-87

    Необходимо найти их производные.

    Решение

    Опишем заданные условия. В первой функции мы видим производную натурального числа 3. В следующем примере необходимо брать производную от а, где а - любое действительное число. Третий пример задает нам производную иррационального числа 4.13722, четвертый - производную нуля (нуль – целое число). Наконец, в пятом случае имеем производную рациональной дроби -87.

    Ответ: производные заданных функций есть нуль при любом действительном x (на всей области определения)

    f1'(x)=(3)'=0,f2'(x)=(a)'=0, aR,f3'(x)=4.13722'=0,f4'(x)=0'=0,f5'(x)=-87'=0

    Производная степенной функции

    Переходим к степенной функции и формуле ее производной, имеющей вид: (xp)'=p·xp-1, где показатель степени p является любым действительным числом.

    Доказательство 2

    Приведем доказательство формулы, когда показатель степени – натуральное число: p=1, 2, 3, 

    Вновь опираемся на определение производной. Составим запись предела отношения приращения степенной функции к приращению аргумента:

    (xp)'=limx0=(xp)x=limx0(x+x)p-xpx

    Чтобы упростить выражение в числителе, используем формулу бинома Ньютона:

    (x+x)p-xp=Cp0+xp+Cp1·xp-1·x+Cp2·xp-2·(x)2+...++Cpp-1·x·(x)p-1+Cpp·(x)p-xp==Cp1·xp-1·x+Cp2·xp-2·(x)2+...+Cpp-1·x·(x)p-1+Cpp·(x)p

    Таким образом:

    (xp)'=limx0(xp)x=limx0(x+x)p-xpx==limx0(Cp1·xp-1·x+Cp2·xp-2·(x)2+...+Cpp-1·x·(x)p-1+Cpp·(x)p)x==limx0(Cp1·xp-1+Cp2·xp-2·x+...+Cpp-1·x·(x)p-2+Cpp·(x)p-1)==Cp1·xp-1+0+0+...+0=p!1!·(p-1)!·xp-1=p·xp-1

    Так, мы доказали формулу производной степенной функции, когда показатель степени – натуральное число.

    Доказательство 3

    Чтобы привести доказательство для случая, когда p - любое действительное число, отличное от нуля, используем логарифмическую производную (здесь следует понимать отличие от производной логарифмической функции). Чтобы иметь более полное понимание желательно изучить производную логарифмической функции и дополнительно разобраться с производной неявно заданной функции и производной сложной функции.

    Рассмотрим два случая: когда x положительны и когда x отрицательны.

    Итак, x>0. Тогда: xp>0. Логарифмируем равенство y=xp по основанию e и применим свойство логарифма:

    y=xpln y=ln xpln y=p·ln x

    На данном этапе получили неявно заданную функцию. Определим ее производную:

    (ln y)'=(p·ln x)1y·y'=p·1xy'=p·yx=p·xpx=p·xp-1

    Теперь рассматриваем случай, когда xотрицательное число.

    Если показатель p есть четное число, то степенная функция определяется и при x<0, причем является четной: y(x)=-y((-x)p)'=-p·(-x)p-1·(-x)'==p·(-x)p-1=p·xp-1

    Тогда xp<0 и возможно составить доказательство, используя логарифмическую производную.

    Если p есть нечетное число, тогда степенная функция определена и при x<0, причем является нечетной: y(x)=-y(-x)=-(-x)p. Тогда xp<0, а значит логарифмическую производную задействовать нельзя. В такой ситуации возможно взять за основу доказательства правила дифференцирования и правило нахождения производной сложной функции:

    y'(x)=(-(-x)p)'=-((-x)p)'=-p·(-x)p-1·(-x)'==p·(-x)p-1=p·xp-1

    Последний переход возможен в силу того, что если p - нечетное число, то p-1 либо четное число, либо нуль (при p=1), поэтому, при отрицательных x верно равенство (-x)p-1=xp-1.

    Итак, мы доказали формулу производной степенной функции при любом действительном p.

    Пример 2

    Даны функции:

    f1(x)=1x23,f2(x)=x2-14,f3(x)=1xlog712

    Определите их производные.

    Решение

    Часть заданных функций преобразуем в табличный вид y=xp, опираясь на свойства степени, а затем используем формулу:

    f1(x)=1x23=x-23f1'(x)=-23·x-23-1=-23·x-53f2'(x)=x2-14=2-14·x2-14-1=2-14·x2-54f3(x)=1xlog712=x-log712f3'(x)=-log712·x-log712-1=-log712·x-log712-log77=-log712·x-log784

    Производная показательной функции

    Доказательство 4

    Выведем формулу производной, взяв за основу определение:

    (ax)'=limx0ax+x-axx=limx0ax(ax-1)x=ax·limx0ax-1x=00

    Мы получили неопределенность. Чтобы раскрыть ее, запишем новую переменную z=ax-1 (z0 при x0). В таком случае ax=z+1x=loga(z+1)=ln(z+1)ln a. Для последнего перехода использована формула перехода к новому основанию логарифма.

    Осуществим подстановку в исходный предел:

    (ax)'=ax·limx0ax-1x=ax·ln a·limx011z·ln(z+1)==ax·ln a·limx01ln(z+1)1z=ax·ln a·1lnlimx0(z+1)1z

    Вспомним второй замечательный предел и тогда получим формулу производной показательной функции:

    (ax)'=ax·ln a·1lnlimz0(z+1)1z=ax·ln a·1ln e=ax·ln a

    Пример 3

    Даны показательные функции:

    f1(x)=23x,f2(x)=53x,f3(x)=1(e)x

    Необходимо найти их производные.

    Решение

    Используем формулу производной показательной функции и свойства логарифма:

    f1'(x)=23x'=23x·ln23=23x·(ln 2-ln 3)f2'(x)=53x'=53x·ln 513=13·53x·ln 5f3'(x)=1(e)x'=1ex'=1ex·ln1e=1ex·ln e-1=-1ex

    Производная логарифмической функции

    Доказательство 5

    Приведем доказательство формулы производной логарифмической функции для любых x в области определения и любых допустимых значениях основания а логарифма. Опираясь на определение производной, получим:

    (logax)'=limx0loga(x+x)-logaxx=limx0logax+xxx==limx01x·loga1+xx=limx0loga1+xx1x==limx0loga1+xx1x·xx=limx01x·loga1+xxxx==1x·logalimx01+xxxx=1x·logae=1x·ln eln a=1x·ln a

    Из указанной цепочки равенств видно, что преобразования строились на основе свойства логарифма. Равенство limx01+xxxx=e является верным в соответствии со вторым замечательным пределом.

    Пример 4

    Заданы логарифмические функции:

    f1(x)=logln3 x,f2(x)=ln x

    Необходимо вычислить их производные.

    Решение

    Применим выведенную формулу:

    f1'(x)=(logln3 x)'=1x·ln(ln 3);f2'(x)=(ln x)'=1x·ln e=1x

    Итак, производная натурального логарифма есть единица, деленная на x.

    Производные тригонометрических функций

    Доказательство 6

    Используем некоторые тригонометрические формулы и первый замечательный предел, чтобы вывести формулу производной тригонометрической функции.

    Согласно определению производной функции синуса, получим:

    (sin x)'=limx0sin (x+x)-sin xx

    Формула разности синусов позволит нам произвести следующие действия:

    (sin x)'=limx0sin (x+x)-sin xx==limx02·sin x+x-x2·cosx+x+x2x==limx0sin x2·cosx+x2x2==cosx+02·limx0sin x2x2

    Наконец, используем первый замечательный предел:

    sin' x=cos x+02·limx0sinx2x2=cos x

    Итак, производной функции sin x будет cos x.

    Совершенно также докажем формулу производной косинуса:

    cos' x=limx0cos (x+x)-cos xx==limx0-2·sin x+x-x2·sinx+x+x2x==-limx0sinx2·sinx+x2x2==-sinx+02·limx0sinx2x2=-sin x

    Т.е. производной функции cos x будет sin x.

    Формулы производных тангенса и котангенса выведем на основе правил дифференцирования:

    tg'x=sin xcos x'=sin' x·cos x-sin x·cos' xcos2 x==cos x·cos x-sin x·(-sin x)cos2 x=sin2 x+cos2 xcos2 x=1cos2 xctg'x=cos xsin x'=cos'x·sin x-cos x·sin'xsin2 x==-sin x·sin x-cos x·cos xsin2 x=-sin2 x+cos2 xsin2 x=-1sin2 x

    Производные обратных тригонометрических функций

    Раздел о производной обратных функций дает исчерпывающую информацию о доказательстве формул производных арксинуса, арккосинуса, арктангенса и арккотангенса, поэтому дублировать материал здесь не будем.

    Производные гиперболических функций

    Доказательство 7

    Вывод формул производных гиперболического синуса, косинуса, тангенса и котангенса осуществим при помощи правила дифференцирования и формулы производной показательной функции:

    sh'x=ex-e-x2'=12ex'-e-x'==12ex--e-x=ex+e-x2=chxch'x=ex+e-x2'=12ex'+e-x'==12ex+-e-x=ex-e-x2=shxth'x=shxchx'=sh'x·chx-shx·ch'xch2x=ch2x-sh2xch2x=1ch2xcth'x=chxshx'=ch'x·shx-chx·sh'xsh2x=sh2x-ch2xsh2x=-1sh2x

    Рекомендуется выучить формулы из таблицы производных: они не столь сложны для запоминания, но экономят много времени, когда необходимо решать задачи дифференцирования.

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
    Средняя оценка статьи
    4,0 из 5 (8 голосов)