Производная параметрически заданной функции
Мы помогаем студентам с дипломными, курсовыми, контрольными Узнать стоимость

Производная параметрически заданной функции

    x=φ(t), y=ψ(t), t(a; b)
    yx'=ψ'(t)φ'(t) yx''=ψ''(t)·φ'(t)-ψ'(t)·φ''(t)φ't3

    Функцию можно задать несколькими способами. Это зависит от правила, которое используется при ее задании. Явный вид задания функции имеет вид y=f(x). Бывают случаи, когда ее описание невозможно или неудобно. Если есть множество пар (х; у),которые необходимо вычислять для параметра t по промежутку (а; b).  Для решения системы x=3·cos ty=3·sin t с 0t<2π необходимо задавать окружность с центром координат с радиусом равным 3.

    Определение параметрической функции

    Отсюда имеем, что x=φ(t), y=ψ(t) определены на при значении t(a; b) и имеют обратную функцию t=Θ(x) для x=φ(t), тогда идет речь о задании параметрического уравнения функции вида y=ψ(Θ(x)).

    Бывают случаи, когда для исследования функции требуется заниматься поиском производной по х. Рассмотрим формулу производной параметрически заданной функции вида yx'=ψ'(t)φ'(t), поговорим о производной 2 и n-ого порядка.

    Вывод формулы производной параметрически заданной функции

    Имеем, что x=φ(t), y=ψ(t), определенные и дифферецируемые при значении ta; b, где xt'=φ'(t)0 и x=φ(t), тогда существует обратная функция вида t=Θ(x).

    Для начала следует переходить от параметрического задания к явному. Для этого нужно получить сложную функцию вида y=ψ(t)=ψ(Θ(x)), где имеется аргумент x.

    Исходя из правила нахождения производной сложной функции, получаем, что y'x=ψΘ(x)=ψ'Θx·Θ'x.

    Отсюда видно, что t=Θ(x) и x=φ(t) являются обратными функциями из формулы обратной функции Θ'(x)=1φ'(t), тогда y'x=ψ'Θ(x)·Θ'(x)=ψ'(t)φ'(t).

    Перейдем  к рассмотрению решения нескольких примеров с использованием таблицы производных по правилу дифференцирования.

    Пример 1

    Найти производную для функции x=t2+1y=t.

    Решение

    По условию имеем, что φ(t)=t2+1, ψ(t)=t, отсюда получаем, что φ'(t)=t2+1', ψ'(t)=t'=1. Необходимо использовать выведенную формулу и записать ответ в виде:

    y'x=ψ'(t)φ'(t)=12t

    Ответ: yx'=12tx=t2+1.

    При работе  с производной функции ч параметром t указывается выражение аргумента x через этот же параметр t, чтобы не потерять связь между значениями производной и параметрически заданной функции с аргументом, которому и соответствуют эти значения.

    Чтобы определить производную второго порядка параметрически заданной функции, нужно использовать формулу производной первого порядка  на полученной функции, тогда получаем, что

    y''x=ψ'(t)φ'(t)'φ'(t)=ψ''(t)·φ'(t)-ψ'(t)·φ''(t)φ'(t)2φ'(t)=ψ''(t)·φ'(t)-ψ'(t)·φ''(t)φ'(t)3.

    Пример 2

    Найти производные 2 и 2 порядка заданной функции x=cos(2t)y=t2.

    Решение

    По условию получаем, что φ(t)=cos(2t), ψ(t)=t2.

    Тогда после преобразования

    φ'(t)=cos(2t)'=-sin(2t)·2t'=-2sin(2t) ψ(t)=t2'=2t

    Отсюда следует, что yx'=ψ'(t)φ'(t)=2t-2sin2t=-tsin(2t).

    Получим, что вид производной 1 порядка x=cos(2t)yx'=-tsin(2t).

    Для решения нужно применить формулу производной второго порядка. Получаем выражение вида

    yx''=-tsin(2t)φ't=-t'·sin(2t)-t·(sin(2t))'sin2(2t)-2sin(2t)==1·sin(2t)-t·cos(2t)·(2t)'2sin3(2t)=sin(2t)-2t cos(2t)2sin3(2t)

    Тогда задание производной 2 порядка с помощью параметрической функции

    x=cos(2t)yx''=sin(2t)-2t cos(2t)2sin3(2t)

    Аналогичное решение возможно решить другим методом. Тогда

    φ't=(cos(2t))'=-sin(2t)·2t'=-2sin(2t)φ''t=-2sin (2t)'=-2·sin(2t)'=-2cos(2t)·(2t)'=-4cos(2t)ψ'(t)=(t2)'=2tψ''(t)=(2t)'=2

    Отсюда получаем, что

    y''x=ψ''(t)·φ'(t)-ψ'(t)·φ''(t)φ'(t)3=2·-2sin(2t)-2t·(-4cos (2t))-2sin 2t3==sin(2t)-2t·cos(2t)2sin3(2t)

    Ответ: y''x=sin(2t)-2t·cos(2t)2sin3(2t)

    Аналогичным образом производится нахождение производных высших порядков с параметрически заданными функциями.

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
    Средняя оценка статьи
    4,9 из 5 (14 голосов)