Уравнения прямой в пространстве - это уравнения двух пересекающихся плоскостей
Мы помогаем студентам с дипломными, курсовыми, контрольными Узнать стоимость

Уравнения прямой в пространстве - это уравнения двух пересекающихся плоскостей

    В данном разделе продолжим изучение темы уравнения прямой в пространстве с позиции стереометрии. Это значит, что мы будем рассматривать прямую линию в трехмерном пространстве как линию пересечения двух плоскостей.

    Согласно аксиомам стереометрии, если две плоскости не совпадают и имеют одну общую точку, то они также имею одну общую прямую, на которой лежат все точки, которые являются общими для двух плоскостей. Используя уравнения двух пересекающихся плоскостей, мы можем определить прямую линию в прямоугольной системе координат.

    По ходу рассмотрения темы приведем многочисленные примеры, ряд графических иллюстраций и развернутых решений, необходимых для лучшего усвоения материала.

    Уравнения двух плоскостей, задающих прямую линию в пространстве

    Пусть даны две плоскости, которые не совпадают между собой и пересекаются. Обозначим их как плоскость α и плоскость β. Разместим их в прямоугольной системе координат Oхуz трехмерного пространства.

    Как мы помним, любую плоскость в прямоугольной системе координат задает общее уравнение плоскости вида Ax+By+Cz+D=0. Будем считать, что плоскости α соотвествует уравнение A1x+B1y+C1z+D1=0, а плоскости β уравнение A2x+B2y+C2z+D2=0. В этом случае нормальные вектора плоскостей α и β n1=(A1, B1, C1) и n2=(A2, B2, C2) не коллинеарны, так как плоскости не совпадают между собой и е размещаются параллельно друг другу. Запишем это условие следующим образом:

    n1λ·n2A1, B1, C1λ·A2, λ·B2, λ·C2 , λR

    Чтобы освежить в памяти материал по теме «Параллельность плоскостей», смотрите соответствующий раздел нашего сайта.

    Линию пересечения плоскостей обозначим буквой  a. Т.е. a=αβ. Эта прямая представляет собой множество точек, которые являются общими для обеих плоскостей α и β. Это значит, что все точки прямой линии a удовлетворяют обоим уравнениям плоскости A1x+B1y+C1z+D1=0 и A2x+B2y+C2z+D2=0. Фактически, они являются частным решением системы уравнений A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0.

    Общее решение системы линейных уравнений A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0 определяет координаты всех точек линии, по которой происходит пересечение двух плоскостей α и β. Это значит, что с его помощью мы можем определить положение прямой в прямоугольной системе координат Oxyz.

    Рассмотрим описанную теорию еще раз, теперь уже на конкретном примере.

    Пример 1

    Прямая Ox – это прямая, по которой пересекаются координатные плоскости Oxy и Oxz. Зададим плоскость Oxy уравнением z=0, а плоскость Oxz уравнением у=0. Такой подход мы подробно разобрали в разделе «Неполное общее уравнение плоскости», так что, в случае затруднений, можно обратиться к этому материалу повторно. В этом случае координатная прямая Ox определяется в трехмерной системе координат системой из двух уравнений вида y=0z=0.

    Нахождение координат точки, лежащей на прямой, по которой пересекаются плоскости

    Рассмотрим задачу. Пусть в трехмерном пространстве задана прямоугольная система координат Oхуz. Линия, по которой пересекаются две плоскости a, задана системой уравнений A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0. Дана точка трехмерного пространства M0 x0, y0, z0.

    Давайте определим, принадлежит ли  точка M0 x0, y0, z0 заданной прямой линии a.

    Для того, чтобы получить ответ на вопрос задачи, подставим координаты точки М0 в каждое из двух уравнений плоскости. Если в результате подстановки оба уравнения превратятся в верные равенства A1x0+B1y0+C1z0+D1=0 и A2x0+B2y0+C2z0+D2=0, то точка М0 принадлежит каждой из плоскостей и принадлежит заданной линии. Если хотя бы одно из равенств A1x0+B1y0+C1z0+D1=0 и A2x0+B2y0+C2z0+D2=0 окажется неверным, то точка М0 не принадлежит прямой линии.

    Рассмотрим решение примера

    Пример 2

    Прямая линия задана в пространстве уравнениями двух пересекающихся плоскостей вида 2x+3y+1=0x-2y+z-3=0. Определите, принадлежат ли точки M0(1, -1, 0) и N0(0, -13, 1) прямой линии пересечения плоскостей.

    Решение

    Начнем с точки М0. Подставим ее координаты в оба уравнения системы 2·1+3·(-1)+1=01-2·(-1)+0-3=00=00=0.

    В результате подстановки мы получили верные равенства. Это значит, что точка М0 принадлежит обеим плоскостям и расположена на линии их пересечения.

    Подставим в оба уравнения плоскости координаты точки N0(0, -13, 1). Получаем 2·0+3·-13+1=00-2·-13+1-3=00=0-113=0.

    Как вы видите, второе уравнение системы превратилось в неверное равенство. Это значит, что точка N0 не принадлежит заданной прямой.

    Ответ: точка М0 принадлежит прямой линии, а точка N0 не принадлежит.

    Теперь предлагаем вам алгоритм нахождения координат некоторой точки, принадлежащей прямой линии, если прямая в пространстве в прямоугольной системе координат Oxyz определяется уравнениями пересекающихся плоскостей A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0.

    Количество решений системы из двух линейных уравнений с темя неизвестными A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0 бесконечно. Любое из этих решений может стать решением задачи.

    Приведем пример.

    Пример 3

    Пусть в трехмерном пространстве задана прямая линия уравнениями двух пересекающихся плоскостей вида x+3z+7=02x+3y+3z+2=0. Найдите координаты любой из точек этой прямой.

    Решение

    Перепишем систему уравнений x+3z+7=02x+3y+3z+2=0x+0y+3z=-72x+3y+3z=-2.

    Возьмем отличный от нуля минор второго порядка в качестве базисного минора основной матрицы системы 1023=30. Это значит, что z – это свободная неизвестная переменная.

    Перенесем слагаемые, содержащие свободную неизвестную переменную z в правые части уравнений: 

    x+0y+3z=-72x+3y+3z=-2x+0y=-7-3z2x+3y=-2-3z

    Введем произвольное действительное число λ и примем, что z=λ.

    Тогда x+0y=-7-3z2x+3y=-2-3zx+0y=-7-3λ2x+3y=-2-3λ.

    Для решения полученной системы уравнений применим метод Крамера: 

    =1023=1·3-0·1=2x=-7-3λ0--3λ3=-7-3λ·3-0·(-2-3λ)=21-9λx=x=-7-3λy=1-7-3λ2-2-3λ=1·-2-3λ--7-3λ·=12+3λy=y=4+λ

    Общее решение системы уравнений x+3z+7=02x+3y+3z+2=0 будет иметь вид x=-7-3λy=4+λz=λ, где λR.

    Для получения частного решения системы уравнений, которое даст нам искомые координаты точки, принадлежащей заданной прямой, нам необходимо взять конкретное значение параметра λ . Если λ=0, то x=-7-3·0y=4+0z=0x=-7y=4z=0.

    Это позволяет нам получить координаты искомой точки -7, 4, 0.

    Проверим верность найденных координат точки методом подстановки их в исходные уравнения двух пересекающихся плоскостей -7+3·0+7=02·(-7)+3·4+3·0+2=00=00=0.

    Ответ-7, 4, 0

    Направляющий вектор прямой, по которой пересекаются две плоскости

    Давайте рассмотрим, как определить координаты направляющего вектора прямой, которая задана уравнениями двух пересекающихся плоскостей A1x+B1y+C1z+D1=0 и A2x+B2y+C2z+D2=0. В прямоугольной системе координат 0хуz направляющий вектор прямой неотделим от прямой линии.

    Как мы знаем, прямая перпендикулярна по отношению к плоскости в том случае, когда она перпендикулярна по отношению к любой прямой, лежащей в данной плоскости. Исходя из вышесказанного, нормальный вектор плоскости перпендикулярен любому ненулевому вектору, лежащему в данной плоскости. Эти два факта помогут нам в нахождении направляющего вектора прямой.

    Плоскости α и β пересекаются по линии a. Направляющий вектор a прямой линии a расположен перпендикулярно по отношению к нормальному вектору n1=(A1, B1, C1) плоскости A1x+B1y+C1z+D1=0 и нормальному вектору n2=(A2, B2, C2) плоскости A2x+B2y+C2z+D2=0.

    Направляющий вектор прямой a представляет собой векторное произведение векторов n1=(A1, B1, C1) и n2=A2, B2, C2.

    a=n1×n2=ijkA1B1C1A2B2C2

    Зададим множество всех направляющих векторов прямой как λ·a=λ·n1×n2, где λ - это параметр, который может принимать любые действительные значения, отличные от нуля.

    Пример 4

    Пусть прямая в пространстве в прямоугольной системе координат Oхуz задана уравнениями двух пересекающихся плоскостей x+2y-3z-2=0x-z+4=0. Найдем координаты любого направляющего вектора этой прямой.

    Решение

    Плоскости x+2y-3z-2=0 и x-z+4=0 имеют нормальные векторы n1=1, 2, -3 и n2=1, 0, -1. Примем за направляющий вектор прямой линии, являющейся пересечением двух заданных плоскостей, векторное произведение нормальных векторов:

    a=n1×n2=ijk12-310-1=i·2·(-1)+j·(-3)·1+k·1·0--k·2·1-j·1·(-1)-i·(-3)·0=-2·i-2j-2k

    Запишем ответ в координатной форме a=-2, -2, -2. Тем, кто не помнит, как это делается, рекомендуем обратиться к теме «Координаты вектора в прямоугольной системе координат».

    Ответ: a=-2, -2, -2

    Переход к параметрическим и каноническим уравнениям прямой в пространстве

    Для решения ряда задач проще использовать параметрические уравнения прямой в пространстве вида x=x1+ax·λy=y1+ay·λz=z1+az·λ или канонические уравнения прямой в пространстве вида x=x1+ax·λy=y1+ay·λz=z1+az·λ. В этих уравнениях ax, ay, az - координаты направляющего вектора прямой, x1, y1, z1 - координаты некоторой точки прямой,  а λ - параметр, принимающий произвольные действительные значения.

    От уравнения прямой вида A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0 можно перейти к каноническим и параметрическим уравнениям прямой линии в пространстве. Для записи канонических и параметрических уравнений прямой нам понадобятся навыки нахождения координат некоторой точки прямой, а также координат некоторого направляющего вектора прямой, заданной уравнениями двух пересекающихся плоскостей.

    Рассмотрим написанное выше на примере.

    Пример 5

    Зададим прямую линию в трехмерной системе координат уравнениями двух пересекающихся плоскостей 2x+y-z-1=0x+3y-2z=0. Напишем канонические и параметрические уравнения этой прямой.

    Решение

    Найдем координаты направляющего вектора прямой, который является векторным произведением нормальных векторов n1=2, 1, -1 плоскости 2x+y-z-1=0и n2=(1, 3, -2) плоскости x+3y-2z=0:

    a=n1×n2=ijk21-113-2=i·1·(-2)+j·(-1)·1+k·2·3--k·1·1-j·2·(-2)-i·(-1)·3=i+3·j+5·k

    Координаты направляющего вектора прямой  a=(1, 2, 5).

    Следующим шагом является определение координат некоторой точки заданной прямой линии, которыми является одно из решений системы уравнений: 2x+y-z-1=0x+3y-2z=02x+y-z=1x+3y-2z=0.

    Возьмем в качестве минорной матрицы системы определитель 2113=2·3-1·1=5 , который отличен от нуля. В этом случае переменная z является свободной. Перенесем слагаемые с ней в правые части каждого уравнения и придаем переменной произвольное значение  λ:

    2x+y-z=1x+3y-2z=02x+y=1+zx+3y=2z2x+y=1+λx+3y=2λ, λR 

    Применяем для решения полученной системы уравнений метод Крамера:

    =2113=2·3-1·1=5x=1+λ12λ3=(1+λ)·3-1·2λ=3+λx=x=3+λ5=35+15·λy=21+λ12λ=2·2λ-(1+λ)·1=-1+3λy=y=-1+3λ5=-15+35·λ

    Получаем: 2x+y-z-1=0x+3y-2z=0x=35+15y=-15+35z=λ

    Примем λ=2 для того, чтобы получить координаты точки прямой линии: x1=35+15·2y1=-15+35·2z1=2x1=1y1=1z1=2. Теперь мы имеем достаточно данных для того, чтобы записать канонические и параметрические уравнения данной прямой в пространстве: x-x1ax=y-y1ay=z-z1azx-11=y-13=z-25x=x1+ax·λy=y1+ay·λz=z1+az·λx=1+1·λy=1+3·λz=2+5·λx=1+λy=1+3·λz=2+5·λ

    Ответ: x-11=y-13=z-25 и x=1+λy=1+3·λz=2+5·λ

    Данная задача имеет еще один способ решения.

    Нахождение координат некоторой точки прямой проводится при решении системы уравнений A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0.

    В общем случае ее решения можно записать в виде искомых параметрических уравнений прямой в пространстве x=x1+ax·λy=y1+ay·λz=z1+az·λ.

    Получение канонических уравнений проводится следующим образом: решаем каждое из полученных уравнений относительно параметра λ, приравниваем правые части равенства.

    x=x1+ax·λy=y1+ay·λz=z1+az·λλ=x-x1axλ=y-y1ayλ=z-z1azx-x1ax=y-y1ay=z-z1az

    Применим данный способ к решению задачи.

    Пример 6

    Зададим положение прямой линии уравнениями двух пересекающихся плоскостей 2x+y-z-1=0x+3y-2z=0. Напишем параметрическое и каноническое уравнения для этой прямой линии.

    Решение

    Решение системы из двух уравнений с тремя неизвестными проводится аналогично тому, как мы делали это в предыдущем примере. Получаем: 2x+y-z-1=0x+3y-2z=0x=35+15·λy=-15+35·λz=λ.

    Это параметрические уравнения прямой в пространстве.

    Канонические уравнения получаем следующим образом: x=35+15·λy=-15+35·λz=λλ=x-3515λ=y+1535λ=z1x-3515=y+1535=z1

    Полученные в обоих примерах уравнения отличаются внешне, однако они эквивалентны, так как определяют одно и то же множество точек трехмерного пространства, а следовательно и одну и ту же прямую линию.

    Ответ: x-3515=y+1535=z1 и x=35+15·λy=-15+35·λz=λ

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
    Средняя оценка статьи
    4,6 из 5 (10 голосов)