Уравнение прямой в отрезках: описание, примеры, решение задач, уравнение прямой в отрезках
Мы помогаем студентам с дипломными, курсовыми, контрольными Узнать стоимость

Уравнение прямой в отрезках: описание, примеры, решение задач

    Продолжаем изучение раздела «Уравнение прямой на плоскости» и в этой статье разберем тему «Уравнение прямой в отрезках». Последовательно рассмотрим вид уравнения прямой в отрезках,  построение прямой линии, которая задается этим уравнением, переход от общего уравнения прямой к уравнению прямой в отрезках. Все это будет сопровождаться примерами и разбором решения задач.

    Уравнение прямой в отрезках – описание и примеры

    Пусть на плоскости расположена прямоугольная  система координат Oxy.

    Прямая линия на плоскости в декартовой системе координат Oxy задается уравнением вида xa+yb=1, где a и b – это некоторые действительные числа, отличные от нуля, величины которых равны длинам отрезков, отсекаемых прямой линией на осях Ox и Oy. Длины отрезков считаются от начала координат.

    Как мы знаем, координаты любой из точек, принадлежащих прямой линии, заданной уравнением прямой, удовлетворяют уравнению этой прямой. Точки a, 0 и 0, b принадлежат данной прямой линии, так как aa+0b=111 и 0a+bb=111. Точки a, 0 и b, 0 расположены на осях координат Ox и Oy и удалены от начала координат на a и b единиц. Направление, в котором нужно откладывать длину отрезка, определяется знаком, который стоит перед числами a и b. Знак «-» обозначает, что длину отрезка необходимо откладывать в отрицательном направлении координатной оси.

    Поясним все вышесказанное, расположив прямые относительно фиксированной декартовой системы координат Oxy на схематическом чертеже. Уравнение прямой в отрезках xa+yb=1 применяется для построения прямой линии в декартовой системе координат Oxy. Для этого нам необходимо отметить на осях точки a, 0 и b, 0, а затем соединить эти точки линией при помощи линейки.

    На чертеже показаны случаи, когда числа a и b имеют различные знаки, и, следовательно, длины отрезков откладываются в разных направлениях координатных осей.

    Рассмотрим пример.

    Пример 1

    Прямая линия задана уравнением прямой в отрезках вида x3+y-52=1. Необходимо построить эту прямую на плоскости в декартовой системе координат Oxy.

    Решение

     Используя уравнение прямой в отрезках, определим точки, через которые проходит прямая линия. Это 3, 0, 0, -52. Отметим их и проведем линию.

    Приведение общего уравнения прямой к уравнению прямой в отрезках

    Переход от заданного уравнения прямой к уравнению прямой в отрезках облегчает нам решение различных задач. Имея полное общее уравнение прямой, мы можем получить уравнение прямой в отрезках.

    Полное общее уравнение прямой линии на плоскости имеет вид Ax+By+C=0, где А, В и C не равны нулю. Мы переносим число C в правую часть равенства, делим обе части полученного равенства на С. При этом, коэффициенты при x и y мы отправляем в знаменатели:

    Ax+By+C=0Ax+By=-CA-Cx+B-Cy=1x-CA+y-CB=1

    Для осуществления последнего перехода мы воспользовались равенством pq=1qp, p0, q0.

    В результате, мы осуществили переход от общего уравнения прямой Ax+By+C=0 к уравнению прямой в отрезках xa+yb=1, где a=-CA, b=-CB.

    Разберем следующий пример.

    Пример 2

    Осуществим переход к уравнению прямой в отрезках, имея общее уравнение прямой x-7y+12=0.

    Решение

    Переносим одну вторую в правую часть равенства x-7y+12=0x-7y=-12.

    Делим обе части равенства на -12: x-7y=-121-12x-7-12y=1.

    Преобразуем полученное равенство к нужному виду: 1-12x-7-12y=1x-12+y114=1.

    Мы получили уравнение прямой в отрезках.

    Ответ: x-12+y114=1

    В тех случаях, когда прямая линия задана каноническим или параметрическим уравнением прямой на плоскости, то сначала мы переходим к общему уравнению прямой, а затем уже к уравнению прямой в отрезках.

    Перейти от уравнения прямой в отрезках и общему уравнению прямой осуществляется просто: мы переносим единицу из правой части уравнения прямой в отрезках вида xa+yb=1 в левую часть с противоположным знаком, выделяем коэффициенты перед неизвестными x и y.

    xa+yb=1xa+yb-1=01a·x+1b·y-1=0

    Получаем общее уравнение прямой, от которого можно перейти к любому другому виду уравнения прямой на плоскости. Процесс перехода мы подробно разобрали в теме «Приведение общего уравнения прямой к другим видам уравнения прямой».

    Пример 3

    Уравнение прямой в отрезках имеет вид x23+y-12=1. Необходимо написать общее уравнение прямой на плоскости.

    Решение

    Действует по заранее описанному алгоритму:

    x23+y-12=1123·x+1-12·y-1=032·x-112·y-1=0

    Ответ: 32·x-112·y-1=0

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
    Средняя оценка статьи
    4,6 из 5 (9 голосов)