Уравнение плоскости, виды уравнения плоскости, уравнение плоскости в пространстве

Уравнение плоскости, виды уравнения плоскости

    В предыдущем разделе, посвященном плоскости в пространстве, мы рассмотрели вопрос с позиции геометрии. Теперь же перейдем к описанию плоскости с помощью уравнений. Взгляд на плоскость со стороны алгебры предполагает рассмотрение основных видов уравнения плоскости в прямоугольной системе координат Oхуz трехмерного пространства.

    Определение уравнения плоскости

    Определение 1

    Плоскость – это геометрическая фигура, состоящая из отдельных точек. Каждой точке в трехмерном пространстве соответствуют координаты, которые задаются тремя числами. Уравнение плоскости устанавливает зависимость между координатами всех точек.

    Уравнение плоскости в прямоугольной системе координат 0хуz имеет вид уравнения с тремя переменными х, у и z. Удовлетворяют уравнению координаты любой точки, лежащей в пределах заданной плоскости, не удовлетворяют координаты любых других точек, которые лежат вне заданной плоскости.

    Подстановка в уравнение плоскости координат точки данной плоскости, обращает уравнение в тождество. При подстановка координат точки, лежащей вне плоскости, уравнение превращается в неверное равенство.

    Уравнение плоскости может иметь несколько видов. В зависимости от специфики решаемых задач уравнение плоскости может быть записано по-разному.

    Общее уравнение плоскости

    Сформулируем теорему, а затем запишем уравнение плоскости.

    Теорема 1

    Всякая плоскость в прямоугольной системе координат Oxyz в трехмерном пространстве может быть задана уравнением вида Ax+By+Cz+D=0 , где А,В,С и D – некоторые действительные числа, которые одновременно не равны нулю. Всякое уравнение, имеющее вид Ax+By+Cz+D=0 , определяет плоскость в трехмерном пространстве

    Уравнение, имеющее вид Ax+By+Cz+D=0  носит название общего уравнения плоскости. Если не придавать числам А,В,С и D конкретных значений, то мы получаем уравнение плоскости в общем виде.

    Важно понимать, что уравнение  λ·Ax+λ·By+λ·Cz+λ·D=0, будет точно так же определять плоскость. В уравнении λ - это некоторое отличное от нуля действительное число. Это значит, что равенства Ax+By+Cz+D=0 и λ·Ax+λ·By+λ·Cz+λ·D=0 равнозначны.

    Пример 1

    Общим уравнениям плоскости x-2·y+3·z-7=0  и -2·x+4·y-23·z+14=0 удовлетворяют координаты одних и тех же точек, расположенных в трехмерном пространстве. Это значит, что они задают одну и ту же плоскость.

    Дадим пояснения к рассмотренной выше теореме. Плоскость и ее уравнение неразделимы, так как каждому уравнению Ax+By+Cz+D=0 соответствует плоскость в заданной прямоугольной системе координат, а каждой плоскости, расположенной в трехмерном пространстве, соответствует ее уравнение вида Ax+By+Cz+D=0 .

    Уравнение плоскости Ax+By+Cz+D=0 может быть полным и неполным. Все коэффициенты А,B,С и D в полном уравнении отличны от нуля. В противном случае, общее уравнение плоскости считается неполным.

    Плоскости, которые задаются неполными уравнениями, могут быть параллельны координатным осям, проходить через оси координат, совпадать с координатными плоскостями или располагаться параллельно им, проходить через начало координат.

    Пример 2

    Рассмотрим положение в пространстве плоскости, заданной уравнением 4·y-5·z+1=0 .

    Она параллельна оси абсцисс и располагается перпендикулярно по отношению к плоскости Oyz. Уравнение z = 0 определяет координатную плоскость Oyz, а общее уравнение плоскости вида 3·x-y+2·z=0 соответствует плоскости, которая проходит через начало координат.

    Важное уточнение: коэффициенты А,В и С в общем уравнении плоскости представляют собой координаты нормального вектора плоскости.

    Когда говорят об уравнении плоскости, то подразумевают общее уравнение плоскости. Все виды уравнений плоскости, которые мы разберем в следующем разделе статьи, получают из общего уравнения плоскости.

    Нормальное уравнение плоскости

    Нормальное уравнение плоскости – это общее уравнение плоскости вида Ax+By+Cz+D=0, которое удовлетворяет следующим условиям: длина вектора n=(A, B, C) равна единице, т.е. n=A2+B2+C2=1 , а D0 .

    Также запись нормального уравнения плоскости может иметь следующий вид cos α·x+cos β·y+cos γ·z-p=0 , где p – это неотрицательное число, которое равно расстоянию от начала координат до плоскости, а cos α, cos β, cos γ - это направляющие косинусы нормального вектора данной плоскости единичной длины.

    n=(cos α, cos β, cos γ), n=cos2α+cos2 β+cos2 γ=1

    То есть, согласно нормальному уравнению плоскости, плоскость в прямоугольной системе координат Oхуz удалена от начала координат на расстояние p в положительном направлении нормального вектора этой плоскости n=(cos α, cos β, cos γ) . Если p равно нулю, то плоскость проходит через начало координат.

    Пример 3

    Плоскость задана общим уравнением плоскости вида -14·x-34·y+64·z-7=0 . D=-70 , нормальный вектор этой плоскости n=-14, -34, 64 имеет длину, равную единице, так как n=-142+-342+64=1 . Соответственно, это общее уравнение плоскости является нормальным уравнением плоскости.

    Для более детального изучения нормального уравнения плоскости мы рекомендуем перейти в соответствующий раздел. В теме приведены разборы задач и характерные примеры, а также способы приведения общего уравнения плоскости к нормальному виду.

    Уравнение плоскости в отрезках

    Плоскость отсекает на координатных осях Oх, Oу и Oz отрезки определенной длины. Длины отрезков задаются отличными от нуля действительными числами a, b и с. Уравнение плоскости в отрезках имеет вид xa+yb+zc=1 . Знак чисел а, b и с показывает, в каком направлении от нулевого значения следует откладывать отрезки на координатных осях.

    Пример 4

    Построим в прямоугольной системе координат плоскость, которая задана уравнением формулы плоскости в отрезках x-5+y-4+z4=1 .

    Точки удалены от начала координат в отрицательном направлении на 5 единиц по оси абсцисс, на 4 единицы в отрицательном направлении по оси ординат и на 4 единицы в положительном направлении по оси аппликат. Отмечаем точки и соединяем их прямыми линиями.

    Плоскость полученного треугольника является плоскостью, соответствующей уравнению плоскости в отрезках, имеющего вид x-5+y-4+z4=1 .

    Более подробно информация об уравнении плоскости в отрезках, приведении уравнения плоскости в отрезках к общему уравнению плоскости размещена в отдельной статье. Там же приведен ряд решений задач и примеров по теме.

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter