Уравнение плоскости, которая проходит через 3 заданные точки, не лежащие на одной прямой, составить уравнение плоскости проходящей через 3 точки
Мы помогаем студентам с дипломными, курсовыми, контрольными Узнать стоимость

Уравнение плоскости, которая проходит через три заданные точки, не лежащие на одной прямой

    В рамках этого материала мы разберем, как найти уравнение плоскости, если мы знаем координаты трех различных ее точек, которые не лежат на одной прямой. Для этого нам понадобится вспомнить, что такое прямоугольная система координат в трехмерном пространстве. Для начала мы введем основной принцип данного уравнения и покажем, как именно использовать его при решении конкретных задач.

    Как найти уравнение плоскости, которая проходит через 3 заданные точки

    Для начала нам необходимо вспомнить одну аксиому, которая звучит следующим образом:

    Определение 1

    Если три точки не совпадают друг с другом и не лежат на одной прямой, то в трехмерном пространстве через них проходит только одна плоскость.

    Иными словами, если у нас есть три разных точки, координаты которых не совпадают и которые нельзя соединить прямой, то мы можем определить плоскость, проходящую через нее.

    Допустим, у нас имеется прямоугольная система координат. Обозначим ее Oxyz. В ней лежат три точки M с координатами M1 (x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2), M3(x3, y3, z3), которые нельзя соединить прямой линией. Исходя из этих условий, мы можем записать уравнение необходимой нам плоскости. Есть два подхода к решению этой задачи.

    1. Первый подход использует общее уравнение плоскости. В буквенном виде оно записывается как A(x-x1)+B(y-y1)+C(z-z1)=0. С его помощью можно задать в прямоугольной системе координат некую плоскость альфа, которая проходит через первую заданную точку M1(x1, y1, z1). У нас получается, что нормальный вектор плоскости α будет иметь координаты A, B, C

    Определение N

    Зная координаты нормального вектора и координаты точки, через которую проходит плоскость, мы можем записать общее уравнение этой плоскости.  

    Из этого мы и будем исходить в дальнейшем.

    Таким образом, согласно условиям задачи, мы имеем координаты искомой точки (даже трех), через которую проходит плоскость. Чтобы найти уравнение, нужно вычислить координаты ее нормального вектора. Обозначим его n.

    Вспомним правило: любой не равный нулю вектор данной плоскости является перпендикулярным нормальному вектору этой же плоскости. Тогда мы имеем, что n будет перпендикулярным по отношению к векторам, составленным из исходных точек M1M2 и M1M3. Тогда мы можем обозначить n как векторное произведение видаM1M2·M1M3.

    Поскольку M1M2=(x2-x1, y2-y1, z2-z1) а M1M3=x3-x1, y3-y1, z3-z1 (доказательства этих равенств приведены в статье, посвященной вычислению координат вектора по координатам точек), тогда получается, что:

    n=M1M2×M1M3=ijkx2-x1y2-y1z2-z1x3-x1y3-y1z3-z1

    Если мы вычислим определитель, то получим необходимые нам координаты нормального вектора n. Теперь мы можем записать нужное нам уравнение плоскости, проходящей через три заданные точки.

    2. Второй подход нахождения уравнения, проходящей через M1 (x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2), M3(x3, y3, z3), основан на таком понятии, как компланарность векторов.

    Если у нас есть множество точек M (x, y, z), то в прямоугольной системе координат они определяют плоскость для заданных точек M1 (x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2), M3(x3, y3, z3) только в том случае, когда векторы M1M=(x-x1, y-y1, z-z1), M1M2=(x2-x1, y2-y1, z2-z1) и M1M3=(x3-x1, y3-y1, z3-z1) будут компланарными.

    На схеме это будет выглядеть так:

    Это будет означать, что смешанное произведение векторов M1M, M1M2, M1M3 будет равно нулю: M1M·M1M2· M1M3=0, поскольку это является основным условием компланарности: M1M=(x-x1, y-y1, z-z1), M1M2=(x2-x1, y2-y1, z2-z1) и M1M3=(x3-x1, y3-y1, z3-z1).

    Запишем полученное уравнение в координатной форме:

    x-x1y-y1z-z1x2-x1y2-y1z2-z1x3-x1y3-y1z3-z1=0

    После того, как мы вычислим определитель, мы сможем получить нужное нам уравнение плоскости для трех не лежащих на одной прямой точек M1 (x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2), M3(x3, y3, z3).

    От полученного в результате уравнения можно перейти к уравнению плоскости в отрезках или к нормальному уравнению плоскости, если этого требуют условия задачи.

    В следующем пункте мы приведем примеры того, как указанные нами подходы реализуются на практике.

    Примеры задач на составление уравнения плоскости, проходящих через 3 точки

    Ранее мы выделили два подхода, с помощью которых можно найти искомое уравнение. Давайте посмотрим, как они применяются в решениях задач и когда следует выбирать каждый из них.

    Пример 1

    Есть три точки, не лежащие на одной прямой, с координатами M1(-3, 2, -1), M2(-1, 2, 4), M3 (3, 3, -1). Составьте уравнение плоскости, проходящей через них.

    Решение

    Используем поочередно оба способа.

    1. Найдем координаты двух нужных нам векторов M1M2, M1M3:

    M1M2=-1--3, 2-2, 4--1M1M2=(2, 0, 5)M1M3=3--3,3-2, -1--1M1M3=6, 1, 0

    Теперь вычислим их векторное произведение. Вычисления определителя расписывать при этом не будем:

    n=M1M2×M1M3=ijk205610=-5·i+30·j+2·k

    У нас получился нормальный вектор плоскости, которая проходит через три искомые точки: n=(-5, 30, 2). Далее нам нужно взять одну из точек, например, M1(-3, 2, -1), и записать уравнение для плоскости с вектором n=(-5, 30, 2). Мы получим, что: -5·(x-(-3))+30·(y-2)+2·(z-(-1))=0 -5x+30y+2z-73=0

    Это и есть нужное нам уравнение плоскости, которая проходит через три точки.

    2. Используем другой подход. Запишем уравнение для плоскости с тремя точками M1 (x1, y1, z1), M2(x2, y2, z2), M3(x3, y3, z3) в следующем виде:

    x-x1y-y1z-z1x2-x1y2-y1z2-z1x3-x1y3-y1z3-z1=0

    Сюда можно подставить данные из условия задачи. Поскольку x1=-3, y1=2, z1=-1, x2=-1, y2=2, z2=4, x3=3, y3=3, z3=-1, в итоге мы получим:

    x-x1y-y1z-z1x2-x1y2-y1z2-z1x3-x1y3-y1z3-z1=x-(-3)y-2z-(-1)-1-(-3)2-24-(-1)3-(-3)3-2-1-(-1)==x+3y-2z+1205610=-5x+30y+2z-73

    Мы получили нужное нам уравнение.

    Ответ: -5x+30y+2z-73.

    А как быть, если заданные точки все же лежат на одной прямой и нам нужно составить уравнение плоскости для них? Здесь сразу надо сказать, что это условие будет не совсем корректным. Через такие точки может проходить бесконечно много плоскостей, поэтому вычислить один-единственный ответ невозможно. Рассмотрим такую задачу, чтобы доказать некорректность подобной постановки вопроса.

    Пример 2

    У нас есть прямоугольная система координат в трехмерном пространстве, в которой размещены три точки с координатами M1(5, -8, -2), M2(1, -2, 0), M3(-1, 1, 1). Необходимо составить уравнение плоскости, проходящей через нее.

    Решение

    Используем первый способ и начнем с вычисления координат двух векторов M1M2 и M1M3. Подсчитаем их координаты: M1M2=(-4, 6, 2), M1M3=-6, 9, 3.

    Векторное произведение будет равно:

    M1M2×M1M3=ijk-462-693=0·i+0·j+0·k=0

    Поскольку M1M2×M1M3=0, то наши векторы будут коллинеарными (перечитайте статью о них, если забыли определение этого понятия). Таким образом, исходные точки M1(5, -8, -2), M2(1, -2, 0), M3(-1, 1, 1) находятся на одной прямой, и наша задача имеет бесконечно много вариантов ответа.

    Если мы используем второй способ, у нас получится:

    x-x1y-y1z-z1x2-x1y2-y1z2-z1x3-x1y3-y1z3-z1=0x-5y-(-8)z-(-2)1-5-2-(-8)0-(-2)-1-51-(-8)1-(-2)=0x-5y+8z+2-462-693=000

    Из получившегося равенства также следует, что заданные точки M1(5, -8, -2), M2(1, -2, 0), M3(-1, 1, 1)находятся на одной прямой.

    Если вы хотите найти хоть один ответ этой задачи из бесконечного множества ее вариантов, то нужно выполнить следующие шаги:

    1. Записать уравнение прямой М1М2, М1М3 или М2М3 (при необходимости посмотрите материал об этом действии).

    2. Взять точку M4(x4, y4, z4), которая не лежит на прямой М1М2.

    3. Записать уравнение плоскости, которая проходит через три различных точки М1, М2 и M4, не лежащих на одной прямой.  

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
    Средняя оценка статьи
    4,1 из 5 (6 голосов)