Угол между двумя пересекающимися плоскостями: определение, примеры нахождения

Статья рассказывает о нахождении угла между плоскостями. После приведения определения зададим графическую иллюстрацию, рассмотрим подробный способ нахождения методом координат. Получим формулу для пересекающихся плоскостей, в которую входят координаты нормальных векторов.

Угол между плоскостями – определение

В материале будут использованы данные и понятия, которые ранее были изучены в статьях про плоскость и прямую в пространстве. Для начала необходимо перейти к рассуждениям, позволяющим иметь определенный подход к определению угла между двумя пересекающимися плоскостями.

Заданы две пересекающиеся плоскости ${\gamma }_1$ и ${\gamma }_2$. Их пересечение примет обозначение $c$. Построение плоскости $\chi$ связано с пересечением этих плоскостей. Плоскость $\chi$ проходит через точку $М$  в качестве прямой $c$. Будет производиться пересечение плоскостей ${\gamma }_1$ и ${\gamma }_2$ с помощью плоскости $\chi$. Принимаем обозначения прямой, пересекающей ${\gamma }_1$ и $\chi$ за прямую $a$, а пересекающую ${\gamma }_2$ и $\chi$ за прямую $b$. Получаем, что пересечение прямых $a$ и $b$ дает точку $M$.

Расположение точки $M$ не влияет на угол между пересекающимися прямыми $a$ и $b$, а точка $M$ располагается на прямой $c$, через которую проходит плоскость $\chi$.

Необходимо построить плоскость ${\chi }_1$ с перпендикулярностью к прямой $c$ и отличную от плоскости $\chi$. Пересечение плоскостей ${\gamma }_1$ и ${\gamma }_2$ с помощью ${\chi }_1$ примет обозначение прямых ${а}_1$ и $b_1$.

Видно, что при построении $\chi$ и ${\chi }_1$ прямые $a$ и $b$ перпендикулярны прямой $c$, тогда и ${а}_1$, $b_1$ располагаются перпендикулярно прямой $c$. Нахождение прямых $a$ и ${а}_1$ в плоскости ${\gamma }_1$ с перпендикулярностью к прямой $c$, тогда их можно считать параллельными. Таки же образом расположение $b$ и $b_1$  в плоскости ${\gamma }_2$ с перпендикулярностью прямой $c$ говорит об их параллельности. Значит, необходимо сделать параллельный перенос плоскости ${\chi }_1$ на $\chi$, где получим две совпадающие прямые $a$ и ${а}_1$, $b$ и $b_1$. Получаем, что угол между пересекающимися прямыми $a$ и $b_1$ равен углу пересекающихся прямых $a$ и $b$.

Рассмотрим не рисунке, приведенном ниже.

Данное суждение доказывается тем, что между пересекающимися прямыми $a$ и $b$ имеется угол, который не зависит от расположения точки $M$, то есть точки пересечения. Эти прямые располагаются в плоскостях ${\gamma }_1$ и ${\gamma }_2$. Фактически, получившийся угол можно считать углом между двумя пересекающимися плоскостями.

Перейдем к определению угла между имеющимися пересекающимися плоскостями ${\gamma }_1$ и ${\gamma }_2$.

Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Определение может быть подано в другой форме. При пересечении плоскостей ${\gamma }_1$ и ${\gamma }_2$, где $c$ – прямая, на которой они пересеклись, отметить точку $M$, через которую провести прямые $a$ и $b$, перпендикулярные  прямой $c$ и лежащие  в плоскостях ${\gamma }_1$ и ${\gamma }_2$, тогда угол между прямыми $a$ и $b$ будет являться углом между плоскостями. Практически это применимо для построения угла между плоскостями.

При пересечении образуется угол, который по значению меньше $90$ градусов, то есть градусная мера угла действительна на промежутке такого вида $(0, 90]$. Одновременно данные плоскости называют перпендикулярными в случае, если при пересечении образуется прямой угол. Угол между параллельными плоскостями считается равным нулю.

Нахождение угла между двумя пересекающимися плоскостями

Обычный способ для нахождения угла между пересекающимися плоскостями – это выполнение дополнительных построений. Это способствует определять его с точностью, причем делать это можно с помощью признаков равенства или подобия треугольника, синусов, косинусов угла.

Рассмотрим решение задач на примере из задач ЕГЭ  блока $C2$.

Некоторые случаи нахождения угла между пересекающимися прямыми задаются при помощи координатной плоскости $Охуz$ и методом координат. Рассмотрим подробней.

Если дана задача, где необходимо найти угол между пересекающимися плоскостями ${\gamma }_1$ и ${\gamma }_2$, искомый угол обозначим за $\alpha$.

Тогда заданная система координат показывает, что имеем координаты нормальных векторов пересекающихся плоскостей ${\gamma }_1$ и ${\gamma }_2$. Тогда обозначим, что $\overrightarrow{n_1}=\left(n_{1x}, n_{1y}, n_{1z}\right)$ является нормальным вектором плоскости ${\gamma }_1$, а $\overrightarrow{n_2}=(n_{2x}, n_{2y}, n_{2z})$ - для плоскости ${\gamma }_2$. Рассмотрим подробное нахождение угла, расположенного между этими плоскостями по координатам векторов.

Необходимо обозначить прямую, по которой происходит пересечение плоскостей ${\gamma }_1$ и ${\gamma }_2$ буквой $c$. На прямой с имеем точку $M$, через которую проводим плоскость $\chi$, перпендикулярную $c$. Плоскость $\chi$ по прямым $a$ и $b$ производит пересечение плоскостей ${\gamma }_1$ и ${\gamma }_2$ в точке $M$. из определения следует, что угол между пересекающимися плоскостями ${\gamma }_1$ и ${\gamma }_2$ равен углу пересекающихся прямых $a$ и $b$, принадлежащих этим плоскостям соответственно.

В плоскости $\chi$ откладываем от точки $M$ нормальные векторы  и обозначаем их $\overrightarrow{n_1}$ и $\overrightarrow{n_2}$. Вектор $\overrightarrow{n_1}$ располагается на прямой, перпендикулярной прямой $a$, а вектор $\overrightarrow{n_2}$ на прямой, перпендикулярной прямой $b$. Отсюда получаем, что заданная плоскость $\chi$ имеет нормальный вектор прямой $a$, равный $\overrightarrow{n_1}$ и для прямой $b$, равный $\overrightarrow{n_2}$. Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Отсюда получаем формулу, по которой можем вычислить синус угла пересекающихся прямых при помощи координат векторов. Получили, что косинусом угла между прямыми $a$ и $b$ то же, что и косинус между пересекающимися плоскостями ${\gamma }_1$ и ${\gamma }_2$ выводится из формулы $\cos \alpha =\left|\cos \left(\widehat{\overrightarrow{n_1}, \overrightarrow{n_2}}\right)\right|=\frac{\left|n_{1x}·n_{2x}+n_{1y}·n_{2y}+n_{1z}·n_{2z}\right|}{\sqrt{n_{1x}^2+n_{1y}^2+n_{1z}^2}·\sqrt{n_{2x}^2+n_{2y}^2+n_{2z}^2}}$, где имеем, что $\overrightarrow{n_1}=(n_{1x}, n_{1y}, n_{1z})$ и $\overrightarrow{n_2}=(n_{2x}, n_{2y}, n_{2z})$ являются координатами векторов представленных плоскостей.

Вычисление угла между пересекающимися прямыми производится по формуле

$\alpha =arc\cos \frac{\left|n_{1x}·n_{2x}+n_{1y}·n_{2y}+n_{1z}·n_{2z}\right|}{\sqrt{n_{1x}^2+n_{1y}^2+n_{1z}^2}·\sqrt{n_{2x}^2+n_{2y}^2+n_{2z}^2}}$

Завершающая задача рассматривается с целью нахождения угла между пересекающимися плоскостями при имеющихся известных уравнениях плоскостей.