Расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью: определение и примеры нахождения

Расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью: определение и примеры нахождения

    В статье ниже мы найдем определение, что же представляет собой расстояние между прямой и плоскостью, параллельными друг другу; разберем способ определить это расстояние и применим полученный навык в решении конкретных задач.

    Расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью: определение

    Определение 1

    Расстояние между прямой и параллельной ей плоскостью – это расстояние от любой точки заданной прямой до заданной плоскости.

    Пусть нам даны прямая a и плоскость ϒ1, ей параллельная. Используем некоторую точку М1, принадлежащую прямой a: проведем перпендикуляр из этой точки на заданную плоскость. Основание перпендикуляра на плоскости обозначим как Н1. Длина перпендикуляра М1Н1 и будет являться расстоянием между исходными параллельными прямой и плоскостью.

    Указанное определение имеет тесную взаимосвязь со следующей теоремой.

    Теорема N

    Когда прямая a параллельна плоскости ϒ1, все точки прямой a находятся на одинаковом расстоянии от плоскости ϒ1.

    Доказательство N

    Используем любую произвольную точку на прямой a – проведем через нее плоскость ϒ2, параллельную заданной плоскости ϒ1. В таком построении прямая а принадлежит плоскости ϒ2 (в ином случае прямая а пересекала бы эту плоскость, а, следовательно, пересекала бы и плоскость ϒ1, что противоречит исходному условию). В статье, которая разбирает тему расстояния между параллельными плоскостями, мы доказали теорему о том, что все точки одной из параллельных плоскостей равноудалены от точек другой плоскости. Таким образом, все точки прямой a, принадлежащей плоскости ϒ2 (в свою очередь, параллельной плоскости ϒ1) находятся на одинаковом расстоянии от плоскости ϒ1. Что и требовалось доказать.

    Нахождение расстояния между параллельными прямой и плоскостью

    Искомое расстояние между параллельными прямой и плоскостью обычно находится с использованием теоремы Пифагора, признаков равенства или подобия треугольников и пр.

    Если же в трехмерном пространстве задана прямоугольная система координат, мы можем применить метод координат. Разберем его подробнее.

    Допустим, в трехмерном пространстве зафиксирована некоторая прямоугольная система координат Oxyz, в которой заданы прямая a и плоскость ϒ1, параллельные между собой. Требуется определить расстояние между заданными прямой и плоскостью.

    Построим решение этой задачи на указанном выше определении расстояния между прямой и параллельной ей плоскостью.

    Используем некоторую точку М1, принадлежащую прямой a: расстояние от этой точки до заданной плоскости и будет являться искомым расстоянием между параллельными прямой и плоскостью. Определим координаты точки М1 как (x1, y1, z1)  и запишем нормальное уравнение плоскости ϒ1: cos α·x+cosβ·y+cosγ·z-p=0. Теперь мы можем вычислить искомое расстояние, для чего применим формулу:

    M1H1=cos α·x1+cosβ·y1+cosγ·z1-p

    Вывод этой формулы можно изучить в статье о нахождении расстояния от точки до плоскости.

    Таким образом, мы можем сформулировать алгоритм для нахождения расстояния между прямой и параллельной ей плоскостью:

    - определяем координаты точки, принадлежащей заданной прямой (для этого пригодятся навыки работы с основными видами уравнений в пространстве);

    - записываем нормальное уравнение заданной плоскости вида cos α·x+cosβ·y+cosγ·z-p=0 (чтобы легко справиться с этим пунктом, следует повторить материал по основным видам уравнений плоскости и вспомнить навык приведения уравнения плоскости к нормальному виду);

    - вычисляем искомое расстояние по формуле: M1H1=cos α·x1+cosβ·y1+cosγ·z1-p

    Пример 1

    Задана прямая x-12=y0=z+11 и параллельная ей плоскость 3x+2y-6z-2=0. Необходимо определить расстояние между ними.

    Решение

    Заданные условием задачи канонические уравнения прямой x-12=y0=z+11 дают возможность определить точку М1(1, 0, -1), принадлежащую этой прямой.

    Запишем нормальное уравнение исходной плоскости, т.е. преобразуем заданное условием задачи общее уравнение в нормальный вид. Вычислим нормирующий множитель: 132+22+(-6)2=17 и умножим на него обе части исходного общего уравнения плоскости:

    3x+2y-6z-2=017·3x+2y-6z-2=17·037x+27y-67z-27

    Теперь можем вычислить требуемое расстояние как расстояние от точки М1 до плоскости 37x+27y-67z-27=0:

    M1H1=37·1+27·0-67·-1-27=1

    Ответ: 1.

    Пример 2

    Заданы прямая 2x-y+9=02x+y-2z+3=0 и параллельная ей плоскость x-32+y32+z-3=1. Необходимо найти расстояние между ними.

    Решение

    Условием задачи прямая описывается уравнениями двух пересекающихся плоскостей. Определим координаты (x1, y1, z1) некой точки М1, принадлежащей этой прямой. Искомые координаты должны отвечать условиям уравнений прямой, т.е. координаты (x1, y1, z1) будут частным решением системы линейных уравнений 2x-y+9=02x+y-2z+3=0. Найдем частное решение этой системы.

    Примем z=0, тогда получим: 2x-y=-92x+y=-3, откуда x=-3, y=3.

    Таким образом, координаты точки М1 равны (-3, 3, 0).

    Теперь запишем нормальное уравнение плоскости, заданной условием задачи уравнением плоскости в отрезках. Сначала осуществим переход к общему уравнению плоскости:

    x-32+y32+z-2=1-23x+23y-13z-1=0

    Полученное общее уравнение уже является нормальным уравнением плоскости, поэтому в дальнейших преобразованиях необходимости нет.

    Наконец, вычислим расстояние от точки до плоскости, которое и будет являться требуемым расстоянием от заданной прямой к заданной плоскости:

    M1H1=-23·-3+23·3-13·0-1=0=3

    Ответ: 3.

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter