Пучок прямых, уравнение пучка прямых, определение пучка прямых
Мы помогаем студентам с дипломными, курсовыми, контрольными Узнать стоимость

Пучок прямых, уравнение пучка прямых

    В статье рассматриваются определения пучка прямых с центром в заданной точке плоскости. Разбирается подробное решение с применением определения, рассматриваются задачи на составление уравнения пучка прямых, нахождение координат.

    Пучок прямых – это определение

    Пучок прямых определяется на плоскости, но не в трехмерном пространстве. Аксиома геометрии говорит о том, что если имеются две несовпадающие точки, расположенные на плоскости, то через них можно провести только одну прямую. Если на плоскости γ задается точка М0 и M1, то через них можем провести прямую. Когда имеется еще одна точка М2, которая не лежит на прямой М0М1, тогда можно провести прямую М0М2. Если отметим точку М3, не принадлежащую ни одной из проведенных прямых, через нее также може провести прямую, проходящую через М0.

    Отсюда следует, что в плоскости γ можно провести множество прямых через заданную точку. Это и привело к определению пучка прямых.

    Определение 1

    Заданная плоскость γ с множеством всех прямых, которые лежат в плоскости γ и проходящие через точку М0 называют пучком прямых с центром в точке М0.

    Исходя из определения, имеем, что любые две прямые из этого пучка пересекутся в центре данного пучка прямых. Пучок определяется при условии, если указан центр данного пучка.

    Уравнение пучка прямых – решение задач

    Для решения задач применяется уравнение пучка прямых, то есть сам пучок рассматривается относительно систему координат Оху на плоскости.

    Когда имеем на плоскости прямоугольную систему координат Оху с указанными пересекающимися прямыми а1 и а2, пучок задает эти прямые. За систему координат Оху отвечает общее уравнение прямой, которое имеет вид A1x+B1y+C1=0 или A2x+B2y+C2=0.

    Введем обозначение пересечения прямых как точка М0  с координатами х0 и y0. Отсюда следует, что точка М имеет координаты M0(x0, y0).

    Чтобы определить вид используемого уравнения в пучках, рассмотрим на теореме.

    Теорема

    При заданных двух пересекающихся прямых а1 и а2 имеются прямые, которые входят в пучок прямых, образованных в системе координат Оху. Их уравнения имеют вид A1x+B1y+C1=0 и A2x+B2y+C2=0 тогда  и только тогда, когда уравнение прямой α·(A1x+B1y+C1=0)+β·(A2x+B2y+C2)=0 соответствует ей,a α и βявляются действительными числами, неравными нулю. Данное условие записывается так: α2+β20.

    Доказательство

    Начнем рассмотрение доказательства с рассмотрения прямой a с указанного пучка, после чего докажем, что ее можно задавать при помощи уравнения α·(A1x+B1y+C1)+β·(A2x+B2y+C2)=0.

    Центр пучка возьмем за точку с координатами M0=(x0, y0).

    Отсюда получаем, что n=(A1, B1) является нормальным вектором прямой A1x+B1y+C1=0, тогда n2=(A2, B2) - нормальный вектор для прямой A2x+B2y+C2=0. Получаем, что n1 и n2 - это неколлинеарные векторы, потому что у прямой а1 и а2 нет общих точек пересечения. Значит, необходимо разложить нормальный вектор n по двум неколлинеарным n1 и n2. Разложение необходимо выполнять по формуле n=α·n1+β·n2. В итоге получаем, что n=(α·A1+β·A2, α·B1+β·B2).

    После вычислений получаем координаты нормального вектора прямой a, равные n=α·A1+β·A2, α·B1+β·B2 . Координаты точки, пересекающиеся с прямой a в точке M0(x0, y0), записываются при помощи общего уравнения прямой a. Тогда получаем выражение вида:

    α·A1+β·A2·x-x0+α·B1+β·B2·y-y0=0α·(A1x+B1y-A1x0+B1y0)+β·A2x+B2y-A2x0-B2y0=0

    По -A1x0-B1y0=C1 и -A2x0-B2y0=C2 получим общее уравнение прямой a, имеющее вид α·(A1x+B1y+C1)+β·A2x+B2y+C2=0. Вышесказанная необходимость доказана.

    Осталось найти доказательства достаточности.

    Значит, нужно произвести доказательство выражения α·(A1x+B1y+C1)+β·A2x+B2y+C2=0, где имеем α и β некоторыми действительными числами неравными нулю, существует уравнение из пучка прямых  с точкой пересечения M0(x0, y0). Такое уравнение определено при помощи двух пересекающихся прямых  A1x+B1y+C1=0 и A2x+B2y+C2=0.

    Запишем уравнение α·(A1x+B1y+C1)+β·A2x+B2y+C2=0 в виде α·A1+β·A2·x+α·B1+β·B2·y+α·C1+β·C2=0.

    Уравнение будет считаться общим, если выполняется условие, когда α·A1+β·A2 и α·B1+β·B2 отличны от нуля. Иначе мы получили выражение вида α·A1+β·A2=0 A1=-βα·A2 и α·B1+β·B2=0 B1=-βα·B2 или α·A1+β·A2=0 A2=-αβ·A1 и α·B1+β·B2=0 B2=-αβ·B1. Это значило бы, что векторы не коллинеарны.

    Это невозможно в данном случае, так как n1 и n2 - это нормальные векторы прямых а1 и а2, которые пересекаются.

    Имеем, что уравнение α·(A1x+B1y+C1)+β·A2x+B2y+C2=0 является общим уравнением прямой. Далее необходимо произвести доказательство удовлетворения координат точки при их пересечении, то есть координаты точки M0(x0, y0). Докажем, справедливо ли равенство α·(A1x+B1y+C1)+β·A2x+B2y+C2=0.

    M0(x0, y0) является точкой пересечения прямых, значит, ее координаты должны удовлетворять уравнениям обеих пересекающихся прямых.

    Когда A1x+B1y+C1=0 и A2x+B2y+C2=0 справедливы, отсюда следует, что α·A1x+B1y+C1+β·A2x+B2y+C2=α·0+β·0=0.

    Что и требовалось доказать.

    Можем сделать вывод, что уравнение, которое имеет вид α·A1x+B1y+C1+β·A2x+B2y+C2=0 и есть уравнение пучка.

    Значения α и β необходимы для того, чтобы определять прямые, находящиеся в данном пучке, с уравнениями A1x+B1y+C1=0 и  A2x+B2y+C2=0.

    Необходимо, чтобы как минимум один из параметров был не равен нулю, тогда можно упростить выражение. При условии, что α0 получаем выражение вида A1x+B1y+C1+λ·A2x+B2y+C2=0 с λ=αβ

    При β0 выражение принимает вид μ·A1x+B1y+C1+A2x+B2y+C2=0 с μ=αβ.

    Они не являются эквивалентными уравнению пучка прямых, относящихся к виду α·A1x+B1y+C1+β·A2x+B2y+C2=0. Уравнение A1x+B1y+C1+λ·A2x+B2y+C2=0 при любых значениях λ не даст возможности  получить уравнение вида A2x+B2y+C2=0.

    Уравнение μ·A1x+B1y+C1+A2x+B2y+C2=0 при любых значениях μ не даст в результате A1x+B1y+C1=0.

    Подробно рассмотрим на решении примеров.

    Пример 1

    Написать уравнение прямой пучка  с заданным центром  в точке M0(-1, 4), k=3.

    Решение

    Необходимо составить уравнение прямой, которая будет проходить через заданную точку с координатами M0(-1, 4) с угловым коэффициентом равным 3. Тогда запишем уравнение прямой с угловым коэффициентом и получим y-4=3·(x-(-1))y=3x+7.

    Ответ: y=3x+7.

    Пример 2

    Найти координаты центра пучка прямых в Оху, если известны два уравнения пересекающихся прямых x-42=y+30 и x23+y-1=1.

    Решение

    Чтобы найти координаты центра пучка, необходимо найти точки пересечения x-42=y+30 и x23+y-1=1.

    Получим, что каноническое уравнение прямой на плоскостиx-42=y+30 эквивалентно x23+y-1=1, а уравнение в отрезках x23+y-1=1 общему уравнению прямой 32x-y-1=0

    Теперь составляем систему уравнений, включающую в себя уравнения прямых.

    Получим, что

    y+3=032x-y-1=0y=-332x-(-3)-1=0y=-3x=-43

    Получим, что -43, -3 - это координаты центральной точки, где пересекаются все прямые.

    Ответ: -43, -3.

    Пример 3

    Произвести составление уравнения пучка прямых в Оху, которое задано при помощи прямых 3x-2y+1=0 и x=-2+2·λy=5·λ, имеющих общую точку пересечения.

    Решение

    Для начала необходимо получить общее уравнение прямой. Оно определено параметрическим уравнением x=-2+2·λy=5·λ.

    Отсюда следует, что

    x=-2+2·λy=5·λλ=x+22λ=y5x+22=y55·(x+2)=2·y5x-2y+10=0

    Произведем запись уравнения пучка прямых  и получим α·(3x-2y+1)+β·(5x-2y+10)=0, а α и β являются действительными числами, где обязательным условием считается α2+β20.

    Ответ: α·(3x-2y+1)+β·(5x-2y+10)=0.

    Пример 4

    Написать уравнение прямой, проходящей через точку M1(2, -1) и принадлежащей пучку прямых с уравнением α·(5x+y-19)+β·(2x-3y+6)=0.

    Решение

    Задача решается двумя способами.

    Первый способ начинается с определения М0, являющейся центром пересечения. Тогда нужно найти точки пересечения уравнений 5x+y-19=0 и 2x-3y+6=0, а их результат и будет являться координатами для M0.

    Определяем координаты, решив получившуюся систему:

    5x+y-19=02x-3y+6=0y=19-5x2x-3·(19-5x)+6=0y=19-5xx=3y=19-5·3x=3y=4x=3

    Значит точка М0 имеет координаты (3,4). Это записывается как M0(3, 4). Чтобы получить искомое уравнение , которое проходит через точки с координатами M0(3, 4) и M1(2, -1). В итоге получаем:

    x-32-3=y-4-1-4x-3-1=y-4-5x-31=y-45

    Второй способ начинается с того, что необходимо определить параметры α и β, чтобы уравнение α·(5x+y-19)+β·2x-3y+6=0 было уравнением прямой, которая проходит через M1(2, -1). Для этого найдем координаты М1 и получим, что

    α·5·2+(-1)-19+β·2·2-3·(-1)+6=0-10·α+13·β=0α=13·β10

    Принимаем значение β=10, при желании можно выбирать любое другое такое значение β, которое дает несложное вычисление α. Получаем α=13·β10=13·1010=13.

    При подстановке значений α=13 и β=10 в заданное уравнение пучка, преобразуем:

    13·(5x+y-19)+10·(2x-3y+6)=085x-17y-187=05x-y-11=0

    Необходимо проверить эквивалентность получившихся уравнений.

    x-31=y-455·x-3=1·y-45x-y-11=0

    Отсюда следует, что все решено верно.

    Ответ: 5x-y-11=0.

    Пример 5

    Определить принадлежность прямой 3x-y+5=0 пучку прямых α·(x-2y+4)+β·(x-y+4)=0.

    Решение

    Решение производится двумя способами.

    Первый способ решения начинается с нахождения центров координаты заданного уравнения пучка и их проверки:

    x-2y+4=0x-y+4=0x=2y-4x-y+4=0x=2y-42y-4-y+4=0x=2y-4y=0x=2·0-4y=0x=-4y=03·(-4)-0+5=0-7=0

    Получим, что подстановка координат центра в уравнение прямой 3x-y+5=0 дает неверное равенство. Делаем вывод, что прямая не пересекает центр пучков, значит, и не принадлежит ему.

    Второй способ начинается с раскрытия скобок и приведения подобных слагаемых α·(x-2y+4)+β·x-y+4=02α+β·y+4α+4β=0.

    Когда прямая 3x-y+5=0 принадлежит пучку прямых, тогда имеются такие значения α и β, что два уравнения α+β·x-2α+β·y+4α+4β=0 и 3x-y+5=0 являются эквивалентными.

    Тогда получаем систему, состоящую из трех равнений α+β=32α+β=14α+4β=5.

    Для ее преобразования необходимо приравнять коэффициенты перед переменными x и y и свободные членов имеющихся уравнений α+β·x-2α+β·y+4α+4β=0 и 3x-y+5=0, чтобы получать результат решения.

    Для проверки необходимо применить теорему Кронекера-Капелли.

    Для этого необходимо записать  основную и расширенную матрицы для составленной системы уравнений. Получим, что A=112144 и T=113211445.

    Требуется посчитать ранг матрицы A. Он равен 2, потому что 1121=-10.

    Результат нахождения ранга расширенной матрицы равняется 3, потому как 113211445=70.

    Отсюда имеем, что система уравнений α+β=32α+β=14α+4β=5 не определена, то есть имеет решений. Так как решения отсутствуют, прямая не проходит через центр прямой имеющихся пучков прямых.

    Ответ:  нет, прямая 3x-y+5=0 не принадлежит заданному пучку прямых, записанных уравнением вида α·(x-2y+4)+β·(x-y+4)=0.

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
    Средняя оценка статьи
    4,7 из 5 (16 голосов)