Перпендикулярные прямая и плоскость, признак и условия перпендикулярности прямой и плоскости

Перпендикулярные прямая и плоскость, признак и условия перпендикулярности прямой и плоскости

    Статья раскрывает понятие о перпендикулярности прямой и плоскости, дается определение прямой, плоскости, графически иллюстрировано  и показано обозначение перпендикулярных прямой и плоскости. Сформулируем признак перпендикулярности прямой с плоскостью. Рассмотрим условия, при которых прямая и плоскость будут перпендикулярны с заданными уравнениями в плоскости и трехмерном пространстве. Все будет показано на примерах.

    Перпендикулярные прямая и плоскость – основные сведения

    Определение 1

    Прямая перпендикулярна к плоскости, когда она перпендикулярна к любой прямой, лежащей в этой плоскости.

    Верно то, что и плоскость перпендикулярна  к прямой, как и прямая к плоскости.

    Перпендикулярность обозначается «». Если  в условии задано, что прямая с перпендикулярна плоскости γ, тогда запись имеет вид сγ.

    Например, если прямая перпендикулярна к плоскости, тогда возможно провести только одну прямую, благодаря которой две смежных стены комнаты пересекутся. Прямая считается перпендикулярной к плоскости потолка. Канат, расположенный в спортзале рассматривается в качестве отрезка прямой, который перпендикулярен плоскости, в данном случае полу.

    При наличии перпендикулярной прямой к плоскости, угол между прямой и плоскостью считается прямым, то есть равен 90 градусов.

    Перпендикулярность прямой и плоскости – признак и условия перпендикулярности

    Для нахождения выявления перпендикулярности необходимо использовать достаточное условие перпендикулярности прямой и плоскости. Оно гарантирует выполнение перпендикулярности прямой и плоскости. Данное условие считается достаточным и называют признаком перпендикулярности прямой и плоскости.

    Теорема 1

    Для перпендикулярности заданных прямой и плоскости достаточно, чтобы прямая была перпендикулярна двум пересекающимся прямым, которые лежат в этой плоскости.

    Подробное доказательство приведено в учебнике геометрии 10-11 класса. Теорема применяется для решения задач, где необходимо установить перпендикулярность прямой и плоскости.

    Теорема 2

    При условии параллельности хоть одной из прямых плоскости, считается, что вторая прямая также перпендикулярна к данной плоскости.

    Признак перпендикулярности прямой и плоскости рассматривается еще со школы, когда необходимо решить задачи по геометрии. Рассмотрим подробнее еще одно необходимое и достаточное условие, при котором прямая и плоскость будут перпендикулярны.

    Теорема 3

    Для того, чтобы прямая а была перпендикулярна плоскости γ , необходимым и достаточным условием является  коллинеарность направляющего вектора прямой а и нормального вектора плоскости γ.

    Доказательство

    При a=(ax, ay, az) являющимся вектором прямой a, при n=(nx, ny, nz) являющимся нормальным вектором плоскости γ для выполнения перпендикулярности нужно, чтобы прямая a и плоскость γ принадлежали выполняемости условия коллинеарности векторов a=(ax, ay, az) и n=(nx, ny, nz). Отсюда получаем, что a=t·nax=t·nxay=t·nyaz=t·nz, t является действительным числом.

    Данное доказательство основывается на необходимом и достаточном условии перпендикулярности прямой и плоскости, направляющего вектора прямой и нормального вектора плоскости.

    Данное условие применимо для доказательства перпендикулярности прямой и плоскости, так как достаточно найти координаты направляющего вектора прямой и координаты нормального вектора в трехмерном пространстве, после чего производить вычисления. Используется для случаев, когда прямая определена уравнением прямой в пространстве, а плоскость уравнением плоскости некоторого вида.

    Пример 1

    Доказать перпендикулярность заданной прямой x2-1=y-12=z+22-7  с плоскостью x+22+1y-(5+62)z.

    Решение

    Знаменатели канонических уравнений являются координатами направляющего вектора данной прямой.  Отсюда имеем, что a=(2-1, 2, 2-7) является направляющим вектором прямой x2-1=y-12=z+22-7.

     В общем уравнении плоскости коэффициенты перед переменными x, y, z являются координатами нормального вектора данной плоскости. Отсюда следует, что n=(1, 2(2+1), -(5+62)) - это нормальный вектор плоскости x+22+1y-(5+62)z-4=0

    Необходимо произвести проверку выполнимости условия. Получаем, что

    2-1=t·12=t·2(2+1)2=t·(-(5+62))t=2-1, тогда векторы a и n связаны выражением a=(2-1)·n.

    Это и есть коллинеарность векторов. отсюда следует, что прямая x2-1=y-12=z+22-7 перпендикулярна плоскости x+2(2+1)y-(5+62)z-4=0.

    Ответ: прямая и плоскость перпендикулярны.

    Пример 2

    Определить, перпендикулярны ли прямая y-1=0x+4z-2=0и плоскость x12+z-12=1.

    Решение

    Чтобы ответить на вопрос перпендикулярности, необходимо, чтобы было выполнено необходимое и достаточное условие, то есть для начала нужно найти вектор заданной прямой и нормальный вектор плоскости.

    Из прямой y-1=0x+4z-2=0 видно, что направляющий вектор a - это произведение нормальных векторов плоскости y-1=0 и x+4z-2=0.

    Отсюда получаем, что a=ijk010104=4·i-k.

    Координаты вектора a=(4, 0, -1).

    Уравнение плоскости в отрезках x12+z-12=1 является эквивалентным уравнению плоскости 2x-2z-1=0, нормальный вектор которой равен n=(2, 0, -2).

    Следует произвести проверку на коллинеарность векторов a=(4, 0, -1) и n=(2, 0, -2).

    Для этого запишем:

    4=t·20=t·0-1=t·(-2)t=2tR tt=12

    Отсюда делаем вывод о том, что направляющий вектор прямой не коллинеарен нормальному вектору плоскости.  Значит, y-1=0x+4z-2=0 - это прямая, не перпендикулярная к плоскости x12+z-12.

    Ответ: прямая и плоскость не перпендикулярны.

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
    Средняя оценка статьи
    4,9 из 5 (14 голосов)