Параллельные прямые, признаки и условия параллельности прямых

Содержание:

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

В этой статье мы расскажем о параллельных прямых, дадим определения, обозначим признаки и условия параллельности. Для наглядности теоретического материала будем использовать иллюстрации и решение типовых примеров.

Параллельные прямые: основные сведения

Определение 1

Параллельные прямые на плоскости – две прямые на плоскости, не имеющие общих точек.

Параллельные прямые: основные сведения

Определение 2

Параллельные прямые в трехмерном пространстве – две прямые в трехмерном пространстве, лежащие в одной плоскости и не имеющие общих точек.

Параллельные прямые: основные сведения

Необходимо обратить внимание, что для определения параллельных прямых в пространстве крайне важно уточнение «лежащие в одной плоскости»: две прямые в трехмерном пространстве, не имеющие общих точек и не лежащие в одной плоскости, являются не параллельными, а скрещивающимися.

Чтобы обозначить параллельность прямых, общепринято использовать символ $∥$ . Т.е., если заданные прямые $a$ и $b$ параллельны, кратко записать это условие нужно так: $a ‖ b$ . Словесно параллельность прямых обозначается следующим образом: прямые $a$ и $b$ параллельны, или прямая а параллельна прямой $b$ , или прямая $b$ параллельна прямой $а$ .

Сформулируем утверждение, играющее важную роль в изучаемой теме.

Аксиома

Через точку, не принадлежащую заданной прямой проходит единственная прямая, параллельная заданной. Это утверждение невозможно доказать на базе известных аксиом планиметрии.

В случае, когда речь идет о пространстве, верна теорема:

Теорема 1

Через любую точку пространства, не принадлежащую заданной прямой, будет проходить единственная прямая, параллельная заданной.

Эту теорему просто доказать на базе вышеуказанной аксиомы (программа геометрии $10 - 11$ классов).

Параллельность прямых: признаки и условия параллельности

Признак параллельности есть достаточное условие, при выполнении которого гарантирована параллельность прямых. Иначе говоря, выполнения этого условия достаточно, чтобы подтвердить факт параллельности.

В том числе, имеют место необходимые и достаточные условия параллельности прямых на плоскости и в пространстве. Поясним: необходимое – значит то условие, выполнение которого необходимо для параллельности прямых; если оно не выполнено – прямые не являются параллельными.

Резюмируя, необходимое и достаточное условие параллельности прямых – такое условие, соблюдение которого необходимо и достаточно, чтобы прямые были параллельны между собой. С одной стороны, это признак параллельности, с другой – свойство, присущее параллельным прямым.

Перед тем, как дать точную формулировку необходимого и достаточного условия, напомним еще несколько дополнительных понятий.

Определение 3

Секущая прямая – прямая, пересекающая каждую из двух заданных несовпадающих прямых.

Пересекая две прямые, секущая образует восемь неразвернутых углов. Чтобы сформулировать необходимое и достаточное условие, будем использовать такие типы углов, как накрест лежащие, соответственные и односторонние. Продемонстрируем их на иллюстрации:

Параллельность прямых: признаки и условия параллельности

Теорема 2

Если две прямые на плоскости пересекаются секущей, то для параллельности заданных прямых необходимо и достаточно, чтобы накрест лежащие углы были равными, либо были равными соответственные углы, либо сумма односторонних углов была равна $180$ градусам.

Проиллюстрируем графически необходимое и достаточное условие параллельности прямых на плоскости:

Параллельность прямых: признаки и условия параллельности

Доказательство указанных условий присутствует в программе геометрии за $7 - 9$ классы.

В общем, эти условия применимы и для трехмерного пространства при том, что две прямые и секущая принадлежат одной плоскости.

Укажем еще несколько теорем, часто используемых при доказательстве факта параллельности прямых.

Теорема 3

На плоскости две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой. Этот признак доказывается на основе аксиомы параллельности, указанной выше.

Теорема 4

В трехмерном пространстве две прямые, параллельные третьей, параллельны между собой.

Доказательство признака изучается в программе геометрии $10$ класса.

Дадим иллюстрацию указанных теорем:

Параллельность прямых: признаки и условия параллельности

Укажем еще одну пару теорем, являющихся доказательством параллельности прямых.

Теорема 5

На плоскости две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой.

Сформулируем аналогичное для трехмерного пространства.

Теорема 6

В трехмерном пространстве две прямые, перпендикулярные третьей, параллельны между собой.

Проиллюстрируем:

Параллельность прямых: признаки и условия параллельности

Все указанные выше теоремы, признаки и условия позволяют удобно доказать параллельность прямых методами геометрии. Т.е., чтобы привести доказательство параллельности прямых, можно показать, что равны соответственные углы, или продемонстрировать факт, что две заданные прямые перпендикулярны третьей и т.д. Но отметим, что зачастую для доказательства параллельности прямых на плоскости или в трехмерном пространстве удобнее использовать метод координат.

Параллельность прямых в прямоугольной системе координат

В заданной прямоугольной системе координат прямая определяется уравнением прямой на плоскости одного из возможных видов. Так и прямой линии, заданной в прямоугольной системе координат в трехмерном пространстве, соответствуют некоторые уравнения прямой в пространстве.

Запишем необходимые и достаточные условия параллельности прямых в прямоугольной системе координат в зависимости от типа уравнения, описывающего заданные прямые.

Начнем с условия параллельности прямых на плоскости. Оно базируется на определениях направляющего вектора прямой и нормального вектора прямой на плоскости.

Теорема 7

Чтобы на плоскости две несовпадающие прямые были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы направляющие векторы заданных прямых были коллинеарными, или были коллинеарными нормальные векторы заданных прямых, или направляющий вектор одной прямой был перпендикулярен нормальному вектору другой прямой.

Становится очевидно, что условие параллельности прямых на плоскости базируется на условии коллинеарности векторов или условию перпендикулярности двух векторов. Т.е., если $\vec{a} = (a_{x}, a_{y})$ и $\vec{b} = (b_{x}, b_{y})$ являются направляющими векторами прямых $a$ и $b$ ;

и $\vec{n_{b}} = (n_{b x}, n_{b y})$ являются нормальными векторами прямых $a$ и $b$ , то указанное выше необходимое и достаточное условие запишем так: $\vec{a} = t \cdot \vec{b} \Leftrightarrow \{\begin{cases} a_{x} = t \cdot b_{x} \\ a_{y} = t \cdot b_{y} \end{cases}$ или $\vec{n_{a}} = t \cdot \vec{n_{b}} \Leftrightarrow \{\begin{cases} n_{a x} = t \cdot n_{b x} \\ n_{a y} = t \cdot n_{b y} \end{cases}$ или $(\vec{a}, \vec{n_{b}}) = 0 \Leftrightarrow a_{x} \cdot n_{b x} + a_{y} \cdot n_{b y} = 0$ , где $t$ – некоторое действительное число. Координаты направляющих или прямых векторов определяются по заданным уравнениям прямых. Рассмотрим основные примеры.

Прямая $a$ в прямоугольной системе координат определяется общим уравнением прямой: $A_{1} x + B_{1} y + C_{1} = 0$ ; прямая $b$ - $A_{2} x + B_{2} y + C_{2} = 0$ . Тогда нормальные векторы заданных прямых будут иметь координаты $(А_{1}, В_{1})$ и $(А_{2}, В_{2})$ соответственно. Условие параллельности запишем так:

$\{\begin{cases} A_{1} = t \cdot A_{2} \\ B_{1} = t \cdot B_{2} \end{cases}$

Прямая $a$ описывается уравнением прямой с угловым коэффициентом вида $y = k_{1} x + b_{1}$ . Прямая $b$ - $y = k_{2} x + b_{2}$ . Тогда нормальные векторы заданных прямых будут иметь координаты $(k_{1}, - 1)$ и $(k_{2}, - 1)$ соответственно, а условие параллельности запишем так:

$\{\begin{cases} k_{1} = t \cdot k_{2} \\ - 1 = t \cdot (- 1) \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} k_{1} = t \cdot k_{2} \\ t = 1 \end{cases} \Leftrightarrow k_{1} = k_{2}$

Таким образом, если параллельные прямые на плоскости в прямоугольной системе координат задаются уравнениями с угловыми коэффициентами, то угловые коэффициенты заданных прямых будут равны. И верно обратное утверждение: если несовпадающие прямые на плоскости в прямоугольной системе координат определяются уравнениями прямой с одинаковыми угловыми коэффициентами, то эти заданные прямые параллельны.

Прямые $a$ и $b$ в прямоугольной системе координат заданы каноническими уравнениями прямой на плоскости: $\frac{x - x_{1}}{a_{x}} = \frac{y - y_{1}}{a_{y}}$ и $\frac{x - x_{2}}{b_{x}} = \frac{y - y_{2}}{b_{y}}$ или параметрическими уравнениями прямой на плоскости: $\{\begin{cases} x = x_{1} + λ \cdot a_{x} \\ y = y_{1} + λ \cdot a_{y} \end{cases}$ и $\{\begin{cases} x = x_{2} + λ \cdot b_{x} \\ y = y_{2} + λ \cdot b_{y} \end{cases}$ .

Тогда направляющие векторы заданных прямых будут: $(a_{x}, a_{y})$ и $(b_{x}, b_{y})$ соответственно, а условие параллельности запишем так:

$\{\begin{cases} a_{x} = t \cdot b_{x} \\ a_{y} = t \cdot b_{y} \end{cases}$

Разберем примеры.

Пример 1

Заданы две прямые: $2 x - 3 y + 1 = 0$ и $\frac{x}{\frac{1}{2}} + \frac{y}{5} = 1$ . Необходимо определить, параллельны ли они.

Решение

Запишем уравнение прямой в отрезках в виде общего уравнения:

$\frac{x}{\frac{1}{2}} + \frac{y}{5} = 1 \Leftrightarrow 2 x + \frac{1}{5} y - 1 = 0$

Мы видим, что $\vec{n_{a}} = (2, - 3)$ - нормальный вектор прямой $2 x - 3 y + 1 = 0$ , а $\vec{n_{b}} = (2, \frac{1}{5})$ - нормальный вектор прямой $\frac{x}{\frac{1}{2}} + \frac{y}{5} = 1$ .

Полученные векторы не являются коллинеарными, т.к. не существует такого значения $t$ , при котором будет верно равенство:

$\{\begin{cases} 2 = t \cdot 2 \\ - 3 = t \cdot \frac{1}{5} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} t = 1 \\ - 3 = t \cdot \frac{1}{5} \end{cases} \Leftrightarrow \{\begin{cases} t = 1 \\ - 3 = \frac{1}{5} \end{cases}$

Таким образом, не выполняется необходимое и достаточное условие параллельности прямых на плоскости, а значит заданные прямые не параллельны.

Ответ: заданные прямые не параллельны.

Пример 2

Заданы прямые $y = 2 x + 1$ и $\frac{x}{1} = \frac{y - 4}{2}$ . Параллельны ли они?

Решение

Преобразуем каноническое уравнение прямой $\frac{x}{1} = \frac{y - 4}{2}$ к уравнению прямой с угловым коэффициентом:

$\frac{x}{1} = \frac{y - 4}{2} \Leftrightarrow 1 \cdot (y - 4) = 2 x \Leftrightarrow y = 2 x + 4$

Мы видим, что уравнения прямых $y = 2 x + 1$ и $y = 2 x + 4$ не являются одинаковыми (если бы было иначе, прямые были бы совпадающими) и угловые коэффициенты прямых равны, а значит заданные прямые являются параллельными.

Попробуем решить задачу иначе. Сначала проверим, совпадают ли заданные прямые. Используем любую точку прямой $y = 2 x + 1$ , например, $(0, 1)$ , координаты этой точки не отвечают уравнению прямой $\frac{x}{1} = \frac{y - 4}{2}$ , а значит прямые не совпадают.

Следующим шагом определим выполнение условия параллельности заданных прямых.

Нормальный вектор прямой $y = 2 x + 1$ это вектор $\vec{n_{a}} = (2, - 1)$ , а направляющий вектором второй заданной прямой является $\vec{b} = (1, 2)$ . Скалярное произведение этих векторов равно нулю:

$(\vec{n_{a}}, \vec{b}) = 2 \cdot 1 + (- 1) \cdot 2 = 0$

Таким образом, векторы перпендикулярны: это демонстрирует нам выполнение необходимого и достаточного условия параллельности исходных прямых. Т.е. заданные прямые параллельны.

Ответ: данные прямые параллельны.

Для доказательства параллельности прямых в прямоугольной системе координат трехмерного пространства используется следующее необходимое и достаточное условие.

Теорема 8

Чтобы две несовпадающие прямые в трехмерном пространстве были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы направляюще векторы этих прямых были коллинеарными.

Т.е. при заданных уравнениях прямых в трехмерном пространстве ответ на вопрос: параллельны они или нет, находится при помощи определения координат направляющих векторов заданных прямых, а также проверки условия их коллинеарности. Иначе говоря, если $\vec{a} = (a_{x}, a_{y}, a_{z})$ и $\vec{b} = (b_{x}, b_{y}, b_{z})$ являются направляющими векторами прямых $a$ и $b$ соответственно, то для того, чтобы они были параллельны, необходимо существование такого действительного числа $t$ , чтобы выполнялось равенство:

$\vec{a} = t \cdot \vec{b} \Leftrightarrow \{\begin{cases} \begin{array}{l} a_{x} = t \cdot b_{x} \\ a_{y} = t \cdot b_{y} \end{array} \\ a_{z} = t \cdot b_{z} \end{cases}$

Пример 3

Заданы прямые $\frac{x}{1} = \frac{y - 2}{0} = \frac{z + 1}{- 3}$ и $\{\begin{cases} \begin{array}{l} x = 2 + 2 λ \\ y = 1 \end{array} \\ z = - 3 - 6 λ \end{cases}$ . Необходимо доказать параллельность этих прямых.

Решение

Условиями задачи заданы канонические уравнения одной прямой в пространстве и параметрические уравнения другой прямой в пространстве. Направляющие векторы $\vec{a}$ и $\vec{b}$ заданных прямых имеют координаты: $(1, 0, - 3)$ и $(2, 0, - 6)$ .

Так как:

$\{\begin{cases} \begin{array}{l} 1 = t \cdot 2 \\ 0 = t \cdot 0 \end{array} \\ - 3 = t \cdot (- 6) \end{cases} \Leftrightarrow t = \frac{1}{2}$ , то $\vec{a} = \frac{1}{2} \cdot \vec{b}$ .

Следовательно, необходимое и достаточное условие параллельности прямых в пространстве выполнено.

Ответ: параллельность заданных прямых доказана.

Курсовая работа по математике

от 5 дней/ от 2160 р.

Реферат по математике

от 1 дня/ от 840 р.

Решение задач по математике

от 1 дня/ от 150 р.