Параллельные прямая и плоскость, признак и условия параллельности прямой и плоскости, параллельность прямой и плоскости определение

Параллельные прямая и плоскость, признак и условия параллельности прямой и плоскости

    Статья рассматривает понятия параллельность прямой  и плоскости. Будут рассмотрены основные определения и приведены примеры.  Рассмотрим признак параллельности прямой к плоскости с необходимыми и достаточными условиями параллельности, подробно решим примеры заданий.

    Параллельные прямые и плоскость – основные сведения

    Определение 1

    Прямая и плоскость называются параллельными, если не имеют общих точек, то есть не пересекаются.

    Параллельность обозначается «». Если в задании по условию прямая a и плоскость α параллельны, тогда обозначение имеет вид aα. Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

    Считается, что прямая a, параллельная плоскости α и плоскость α, параллельная прямой a, равнозначные, то есть прямая и плоскость параллельны друг другу в любом случае.

    Параллельность прямой и плоскости – признак и условия параллельности

    Не всегда очевидно, что прямая и плоскость параллельны. Зачастую это нужно доказать. Необходимо использовать достаточное условие, которое даст гарантию на параллельность. Такой признак имеет название признака параллельности прямой и плоскости. Предварительно рекомендуется изучить определение параллельных прямых.

    Теорема 1

    Если заданная прямая a, не лежащая в плоскости α, параллельна прямой b, которая принадлежит плоскости α, тогда прямая a параллельна плоскости α.

    Рассмотрим теорему, используемую для установки параллельности прямой с плоскостью.

    Теорема 2

    Если одна из двух параллельных прямых параллельна плоскости, то другая прямая лежит в этой плоскости либо параллельна ей.

    Подробное доказательство рассмотрено в учебнике 10-11 класса по геометрии. Необходимым и достаточным условием параллельности прямой с плоскостью возможно при наличии определения направляющего вектора прямой и нормального вектора плоскости.

    Теорема 3

    Для параллельности прямой a, не принадлежащей плоскости α, и данной плоскости необходимым и достаточным условием является перпендикулярность направляющего вектора прямой с нормальным вектором заданной плоскости.

    Условие применимо, когда необходимо доказать параллельность в прямоугольной системе координат трехмерного пространства. Рассмотрим подробное доказательство.

    Доказательство 

    Допустим, прямая а в систему координат Оху задается каноническими уравнениями прямой в пространстве , которые имеют вид x-x1ax=y-y1ay=z-z1az или параметрическими уравнениями прямой в пространстве x=x1+ax·λy=y1+ay·λz=z1+az·λ, плоскостью α с общими уравнениями плоскости Ax+By+Cz+D=0.

    Отсюда a=(ax, ay, az) является направляющим вектором с координатами прямой а, n=(A, B, C) - нормальным вектором заданной плоскости альфа.

    Чтобы доказать перпендикулярность n=(A, B, C) и a=(ax, ay, az), нужно использовать понятие скалярного произведения. То есть при произведении a, n=ax·A+ay·B+az·C результат должен быть равен нулю из условия перпендикулярности векторов.

    Значит, что необходимым и достаточным условием параллельности прямой и плоскости запишется так a, n=ax·A+ay·B+az·C. Отсюда a=(ax, ay, az) является направляющим вектором прямой a с координатами, а n=(A, B, C) - нормальным вектором плоскости α.

    Пример 1

    Определить, параллельны ли прямая x=1+2·λy=-2+3·λz=2-4·λ с плоскостью x+6y+5z+4=0.

    Решение

    Получаем, что предоставленная прямая не принадлежит плоскости, так как координаты прямой M(1, -2, 2) не подходят. При подстановке получаем, что 1+6·(-2)+5·2+4=03=0.

    Необходимо проверить на выполнимость необходимое и достаточное условие параллельности прямой и плоскости. Получим, что координаты направляющего вектора прямой x=1+2·λy=-2+3·λz=2-4·λимеют значения a=(2, 3, -4).

    Нормальным вектором для плоскости x+6y+5z+4=0 считается n=(1, 6, 5). Перейдем к вычислению скалярного произведения векторов a и n. Получим, что a, n=2·1+3·6+(-4)·5=0.

    Значит, перпендикулярность векторов a и n очевидна. Отсюда следует, что прямая с плоскостью являются параллельными.

    Ответ: прямая с плоскостью параллельны.

     

    Пример 2

    Определить параллельность прямой АВ в координатной плоскости Оуz, когда даны координаты A(2, 3, 0), B(4, -1, -7).

    Решение

    По условию видно, что точка A(2, 3, 0) не лежит на оси Ох, так как значение x не равно 0.

    Для плоскости Oxz вектор с координатами i=(1, 0, 0) считается нормальным вектором данной плоскости. Обозначим направляющий вектор прямой AB как AB. Теперь при помощи координат начала и конца рассчитаем координаты вектора AB. Получим, что AB=(2, -4, -7). Необходимо выполнить проверку на выполнимость необходимого и достаточного условия векторов AB=(2, -4, -7) и i=(1, 0, 0), чтобы определить их перпендикулярность.

    Запишем AB, i=2·1+(-4)·0+(-7)·0=20.

    Отсюда следует, что прямая АВ с координатной плоскостью Оyz не являются параллельными.

    Ответ: не параллельны.

    Не всегда заданное условие способствует легкому определению доказательства параллельности прямой  и плоскости. Появляется необходимость в проверке принадлежности прямой a плоскости α. Существует еще одно достаточное условие, при помощи которого доказывается параллельность.

    При заданной прямой a  с помощью уравнения  двух пересекающихся плоскостей A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0, плоскостью α - общим уравнением плоскости  Ax+By+Cz+D=0.

    Теорема 4

    Необходимым и достаточным условием для параллельности прямой a и плоскости α яляется отсутствие решений системы линейных уравнений, имеющей вид A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0Ax+By+Cz+D=0.

    Доказательство

    Из определения следует, что прямая a с плоскостью α не должна иметь общих точек, то есть не пересекаться, только в этом случае они будут считаться параллельными. Значит, система координат Охуz не должна иметь точек, принадлежащих ей и удовлетворяющих всем уравнениям:

    A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0, а также уравнению плоскости Ax+By+Cz+D=0

    Следовательно, система уравнений, имеющая вид A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0Ax+By+Cz+D=0, называется несовместной.

    Верно обратное: при отсутствии решений системы A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0Ax+By+Cz+D=0 не существует точек в Охуz, удовлетворяющих всем заданным уравнениям одновременно. Получаем, что нет такой точки с координатами, которая могла бы сразу быть решениями всех уравнений A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0 и уравнения Ax+By+Cz+D=0. Значит, имеем параллельность прямой и плоскости, так как отсутствуют их точки пересечения.

    Система уравнений A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0Ax+By+Cz+D=0 не имеет решения, когда ранг основной матрицы меньше ранга расширенной. Это проверяется теоремой Кронекера-Капелли для решения линейных уравнений. Можно применять метод Гаусса для определения ее несовместимости.

    Пример 3

    Доказать , что прямая x-1=y+2-1=z3 параллельна плоскости 6x-5y+13z-23=0.

    Решение

    Для решения данного примера следует переходить от канонического уравнения прямой к виду уравнения двух пересекающихся плоскостей. Запишем это так:

    x-1=y+2-1=z3-1·x=-1·(y+2)3·x=-1·z3·(y+2)=-1·zx-y-2=03x+z=0

    Чтобы доказать параллельность заданной прямой x-y-2=03x+z=0 с плоскостью 6x-5y+13z-23=0 , необходимо уравнения преобразовать в систему уравнений x-y-2=03x+z=06x-5y+13z-23=0.

    Видим, что она не решаема, значит прибегнем к методу Гаусса.

    Расписав уравнения, получаем, что 1-10230106-51323~1-102031-60113-1113~1-102031-6000-913.

    Отсюда делаем вывод, что система уравнений является несовместной, так как прямая и плоскость не пересекаются, то есть не имеют общих точек.

    Делаем вывод, что прямая x-1=y+2-1=z3 и плоскость 6x-5y+13z-23=0 параллельны, так как было выполнено необходимое и достаточное условие для параллельности плоскости с заданной прямой.

    Ответ: прямая и плоскость параллельны.

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
    Средняя оценка статьи
    4,2 из 5 (13 голосов)