Параллельные плоскости, признак и условия параллельности плоскостей, две параллельные плоскости

Параллельные плоскости, признак и условия параллельности плоскостей

    В данной статье будут изучены вопросы параллельности плоскостей. Дадим определение плоскостям, которые параллельны между собой; обозначим признаки и достаточные условия параллельности; рассмотрим теорию на иллюстрациях и практических примерах.

    Параллельные плоскости: основные сведения

    Определение 1

    Параллельные плоскости – плоскости, не имеющие общих точек.

    Чтобы обозначить параллельность применяют такой символ: . Если заданы две плоскости: α и β, являющиеся параллельными, краткая запись об этом будет выглядеть так: α  β.

    На чертеже, как правило, плоскости, параллельные друг другу, отображаются как два равных параллелограмма, имеющих смещение относительно друг друга.

    В речи параллельность можно обозначить так: плоскости α и β параллельны, а также – плоскость α параллельна плоскости β или плоскость β параллельна плоскости α.

    Параллельность плоскостей: признак и условия параллельности

    В процессе решения геометрических задач зачастую возникает вопрос: а параллельны ли заданные плоскости между собой? Для получения ответа на этот вопрос используют признак параллельности, который также является достаточным условием параллельности плоскостей. Запишем его как теорему.

    Теорема 1

    Плоскости являются параллельными, если две пересекающиеся прямые одной плоскости соответственно параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости.

    Доказательство этой теоремы приводится в программе геометрии за 10-11 класс.

    В практике для доказательства параллельности, в том числе, применяют две следующие теоремы.

    Теорема 2

    Если одна из параллельных плоскостей параллельна третьей плоскости, то другая плоскость или также параллельна этой плоскости, или совпадает с ней.

    Теорема 3

    Если две несовпадающие плоскости перпендикулярны некоторой прямой, то они параллельны.

    На основе этих теорем и самого признака параллельности доказывается факт параллельности любых двух плоскостей.

    Рассмотрим подробнее необходимое и достаточное условие параллельности плоскостей α и β, заданных в прямоугольной системе координат трехмерного пространства.

    Допустим, что в некоторой прямоугольной системе координат задана плоскость α, которой соответствует общее уравнение  A1x+B1y+C1z+D1=0, а также задана плоскость β, которую определяет общее уравнение вида A2x+B2y+C2z+D2=0  .

    Теорема 4

    Для параллельности заданных плоскостей α и β необходимо и достаточно, чтобы система линейных уравнений A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0 не имела решения (являлась несовместной).

    Доказательство

    Предположим, что заданные плоскости, определяемые уравнениями A1x+B1y+C1z+D1=0 и A2x+B2y+C2z+D2=0 являются параллельными, а значит не имеют общих точек. Таким образом, не существует ни одной точки в прямоугольной системе координат трехмерного пространства, координаты которой отвечали бы условиям одновременно обоих уравнений плоскостей, т.е. система A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0 не имеет решения. Если указанная система не имеет решений, тогда не существует ни одной точки в прямоугольной системе координат трехмерного пространства, чьи координаты одновременно отвечали бы условиям обоих уравнений системы. Следовательно, плоскости, заданные уравнениями A1x+B1y+C1z+D1=0 и A2x+B2y+C2z+D2=0 не имеют ни одной общей точки, т.е. они параллельны.

    Разберем использование необходимого и достаточного условия параллельности плоскостей.

    Пример 1

    Заданы две плоскости: 2x+3y+z-1=0 и 23x+y+13z+4=0. Необходимо определить, являются ли они параллельными.

    Решение

    Запишем систему уравнений из заданных условий:

    2x+3y+z-1=023x+y+13z+4=0

    Проверим, возможно ли решить полученную систему линейных уравнений.

    Ранг матрицы 23123113 равен одному, поскольку миноры второго порядка равны нулю. Ранг матрицы 231123113-4 равен двум, поскольку минор 2123-4 отличен от нуля. Таким образом, ранг основной матрицы системы уравнений меньше, чем ранг расширенной матрицы системы.

    Совместно с этим, из теоремы Кронекера-Капелли следует: система уравнений 2x+3y+z-1=023x+y+13z+4=0не имеет решений. Этим фактом доказывается, что плоскости 2x+3y+z-1=0 и 23x+y+13z+4=0 являются параллельными.

    Отметим, что, если бы мы применили для решения системы линейных уравнений метод Гаусса, это дало бы тот же результат.

    Ответ: заданные плоскости параллельны.

    Необходимое и достаточное условие параллельности плоскостей возможно описать по-другому.

    Теорема 5

     Чтобы две несовпадающие плоскости α и β были параллельны друг другу необходимо и достаточно, чтобы нормальные векторы плоскостей α и β являлись коллинеарными.

    Доказательство сформулированного условия базируется на определении нормального вектора плоскости.

    Допустим, что n1=(A1, B1, C1) и n2=(A2, B2, C2) являются нормальными векторами плоскостей α и β соответственно. Запишем условие коллинеарности данных векторов:

    n1=t·n2A1=t·A2B1=t·B2C1=t·C2, где t – некое действительное число.

    Таким образом, чтобы несовпадающие плоскости α и β с заданными выше нормальными векторами были параллельны, необходимо и достаточно, чтобы имело место действительное число t, для которого верно равенство:

    n1=t·n2A1=t·A2B1=t·B2C1=t·C2

    Пример 2

    В прямоугольной системе координат трехмерного пространства заданы плоскости α и β. Плоскость α проходит через точки: A(0, 1, 0), B(-3, 1, 1), C(-2, 2, -2). Плоскость β описывается уравнением x12+y32+z4=1Необходимо доказать параллельность заданных плоскостей.

    Решение

    Удостоверимся, что заданные плоскости не совпадают. Действительно, так и есть, поскольку координаты точки A не соответствуют уравнению плоскости β.

    Следующим шагом определим координаты нормальных векторов n1и n2, соответствующие плоскостям α и β. Также проверим условие коллинеарности этих векторов.

    Вектор n1 можно задать, взяв векторное произведение векторов  AB и AC. Их координаты соответственно: (-3, 0, 1) и (-2, 2, -2). Тогда:

    n1=AB×AC=ijk-301-21-2=-i-8j-3kn1=(-1, -8, -3)

    Для получения координат нормального вектора плоскости x12+y32+z4=1 приведем это уравнение к общему уравнению плоскости:

    x12+y32+z4=1112x+23y+14z-1=0

    Таким образом: n2=112, 23, 14.

    Осуществим проверку, выполняется ли условие коллинеарности векторов n1=(-1, -8, -3) и n2=112, 23, 14

    Так как -1=t·112-8=t·23-3=t·14t=-12, то векторы n1 и n2 связаны равенством n1=-12·n2 , т.е. являются коллинеарными.

    Ответ: плоскости α и β не совпадают; их нормальные векторы коллинеарные. Таким образом, плоскости α и β параллельны.

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
    Средняя оценка статьи
    4,7 из 5 (20 голосов)