Нормальный вектор плоскости, координаты нормального вектора плоскости, вектор нормали к плоскости

Нормальный вектор плоскости, координаты нормального вектора плоскости

    Существует ряд заданий, которым для решения необходимо нормальный вектор на плоскости, чем саму плоскость. Поэтому в этой статье получим ответ на вопрос определения нормального вектора с примерами и наглядными рисунками. Определим векторы трехмерного пространства и плоскости по уравнениям.

    Нормальный вектор плоскости – определение, примеры, иллюстрации

    Чтобы материал легко усваивался, необходимо предварительно изучить теорию о прямой в пространстве и представление ее на плоскости  и векторы.

    Определение 1

    Нормальным вектором плоскости считается любой ненулевой вектор, который лежит на  перпендикулярной к данной плоскости прямой.

    Отсюда следует, что имеет место существование большого количества нормальных векторов  в данной плоскости. Рассмотрим на рисунке, приведенном ниже.

    Нормальные векторы располагаются на параллельных прямых, поэтому  они все коллинеарны. То есть, при нормальном векторе n , расположенном в плоскости γ, вектор t·n, имея ненулевое значение параметра t, также нормальный вектор плоскости γ. Любой вектор может быть рассмотрен как направляющий вектор прямой, которая перпендикулярна этой плоскости.

    Имеются случаи совпадения нормальных векторов плоскостей из-за перпендикулярности одной из параллельных плоскостей, так как прямая перпендикулярна и второй плоскости. Отсюда следует, что нормальные векторы перпендикулярных плоскостей должны быть перпендикулярными.

    Рассмотрим на примере нормального вектора на плоскости.

    Задана прямоугольная система координат Охуz  в трехмерном пространстве. Координатные векторы i, j, k считаются нормальными векторами плоскостей Oyz, Oxz и Oxy. Это суждение верно, так как i, j, k ненулевые и расположены на координатных прямых Ox, Oy и Oz. Эти прямые перпендикулярны координатным плоскостям Oyz, Oxz и Oxy.

    Координаты нормального вектора плоскости – нахождение координат нормального вектора плоскости из уравнения плоскости

    Статья предназначена для того, чтобы научить находить координаты нормального вектора плоскости при известном уравнении плоскости прямоугольной системы координат Охуz. Для определения нормального вектора n=(A, B, C) в плоскости необходимо наличие общего уравнения плоскости, имеющее вид Ax+By+Cz+D=0. То есть достаточно иметь уравнение плоскости, тогда появится возможность для нахождения координат нормального вектора.

    Пример 1

    Найти координаты нормального вектора, принадлежащего плоскости 2x-3y+7z-11=0.

    Решение

    По условию имеем уравнение плоскости. Необходимо обратить внимание на коэффициенты, так как они и являются координатами нормального вектора заданной плоскости. Отсюда получаем, что n=(2, -3, 7) - это нормальный вектор плоскости. Все векторы плоскости задаются при помощи формулы t·n=2·t, -3·t, 7·t, t является любым действительным числом не равным нулю.

    Ответ: n=(2, -3, 7).

    Пример 2

    Определить координаты направляющих векторов заданной плоскости x+2z-7=0.

    Решение

    По условию имеем, что дано неполное уравнение плоскости.  Чтобы увидеть координаты, необходимо преобразовать уравнение x+2z-7=0  к виду 1·x+0·y+2z-7=0. Отсюда получим, что координаты нормального вектора данной плоскости равны (1, 0, 2). Тогда множество векторов будет иметь такую форму записи (t, 0, 2·t), tR, t0.

    Ответ: (t, 0, 2·t), tR, t0.

    При помощи уравнения плоскости в отрезках, имеющего вид xa+yb+zc=1, и общего уравнения плоскости возможна запись нормального вектора этой плоскости, где координаты равны 1a, 1b, 1c.

    Знания о нормальном векторе позволяют с легкостью решать задачи. Часто встречающимися задачами являются задания с доказательствами параллельности или перпендикулярности плоскостей. Заметно упрощается решение задач на составление уравнений заданной плоскости. Если имеется вопрос о нахождении угла между плоскостями или между прямой и плоскостью, то формулы нормального вектора и нахождения его координат помогут в этом.

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter