Нормальное уравнение плоскости: описание, примеры, решение задач, вывод уравнения плоскости
Мы помогаем студентам с дипломными, курсовыми, контрольными Узнать стоимость

Нормальное уравнение плоскости: описание, примеры, решение задач

    Статья раскрывает суть нормального (нормированного) уравнения и показывает, при каких видах задач его чаще всего применяют. Рассмотрим выведение нормального уравнения плоскости с примерами решений.  Приведем примеры приведения общего уравнения плоскости к нормальному виду. Решим задачи по нахождению расстояния от точки до плоскости при помощи нормального уравнения плоскости.

    Нормальное уравнение плоскости – описание и пример

    Возьмем прямоугольную систему координат Охуz трехмерного пространства. Если плоскость удалена на расстояние p0 в положительном направлении нормального вектора n.  Возьмем за единицу длину вектора n. Получим, что координатами направляющего косинуса являются n=(cos α, cos β, cos γ),  тогда n=cos2 α, cos2 β, cos2 γ=1.

    Примем обозначение ON за расстояние от точки до плоскости, таким образом, точка N принадлежит плоскости, где длиной отрезка ON будет значение p. Представим это на рисунке, изображенном ниже.

    Теперь найдем уравнение заданной плоскости.

    В трехмерном пространстве обозначим точку M (x, y, z). Отсюда получим, что OM, являющийся ее радиус вектором, с координатами (x, y, z). Запись примет вид OM=(x, y, z). Отсюда получаем, что плоскость определена множеством точек M (x, y, z), тогда числовая проекция вектора OM по направлению n равна значению p. Запись принимает вид npnOM=p. Рассмотрим на приведенном ниже рисунке.

    Из вышесказанного получим, что определение скалярного произведения векторов по формуле n=(cos α, cos β, cos γ) и OM=(x, y, z) в результате дают равенство

    n, OM=n·OM·cos n, OM^=n·npnOM=1·p=p

    Данная формула представляет скалярное произведение в координатной форме. Тогда получаем следующее выражение:

    n, OM=cos α·x+cos β·y+cos γ·z

    При сопоставлении двух последних равенств получаем уравнение плоскости такого вида cos α·x+cos β·y+cos γ·z=p. Упростим выражения. Для этого необходимо перенести значение p в левую сторону, получим cos α·x+cos β·y+cos γ·z-p=0.

    Определение 1

    cos α·x+cos β·y+cos γ·z-p=0 называют нормальным уравнением плоскости или уравнением плоскости в нормальном виде. Реже его называют нормированным уравнением заданной плоскости.

    Теперь заданное в прямоугольной системе координат Охуz нормальное уравнение принимает вид cos α·x+cos β·y+cos γ·z-p=0. Р имеет значение расстояния положительного направления единичного нормального вектора плоскости n=(cos α, cos β, cos γ).

    Чаще всего косинус не представляется явно  в уравнении плоскости, потому как cos α, cos β и cos γ является некоторыми действительными числами, сумма квадратов которых равна единице.

    Рассмотрим пример нормального уравнения плоскости.

    Если имеется плоскость, заданная в прямоугольной системе координат Oxyz при помощи уравнения нормального вида, -14·x-34·y+64·z-7=0.

    Отсюда cos α=-14, cos β=-34, cos γ=64.

    Из выражения находим, что  -14, -34, 64 - координаты нормального вектора плоскости n. Его длина вычисляется из формулы n=-142+-342+642=1. Плоскость располагается относительно координат в направлении вектора n на расстоянии 7 единиц, потому как p=7.

    Отсюда ясно, что нормальное уравнение плоскости представляет собой общее уравнение плоскости Ax+By+Cz+D=0, где A, B, C – некоторые действительные числа, при которых длина нормального вектора плоскости n=(A, B, C) равняется 1, причем D является неотрицательным числом.

    Чтобы выявить, является представленное уравнение нормальным уравнением плоскости, необходимо выполнение обоих условий n=cos2 α+cos2 β+cos2 γ=1 и p0, тогда получим уравнение плоскости нормального вида. При невыполнении хотя бы одного условия, уравнение не является нормальным.

    Рассмотрим на примере.

    Пример 1

    Выявить уравнение плоскости нормального вида из заданных уравнений:

    17x-47y+427-3=013x+76y-56z+25=013x+12y+14z-11=0

    Решение

    Начнем решение с первого уравнения. Для этого необходимо проверить, равняется ли длина нормального вектора n=17, -47, 427 единице.

    Вычисляем длину по формуле и получаем: n=172+-472+4272=149+1649+3249=1

    Необходимо поработать с числом p, так как его значение должно быть положительным.  Это верно, так как p=3. Значит, первое заданное уравнение плоскости можно считать уравнением плоскости в нормальном виде.

    Второе уравнение из заданных нельзя считать нормальным уравнением плоскости, так как условие p0 не выполняется, ибо в данном уравнении p=-25.

    Третье уравнение имеет нормальный вектор с координатами n=13, 12, 14, длина которого не равняется единице из вычислений:

    n=132+122+142=19+14+116=61121

    Отсюда следует, что его нельзя считать за уравнение плоскости в  нормальном виде.

    Ответ: 17x-47y+427z-3=0 уравнение является нормальным уравнением плоскости.

    Приведение общего уравнения плоскости к нормальному виду

    Для приведения уравнения плоскости Ax+By+Cz+D=0 к нормальному виду, обе части умножаются на нормированный множитель ±1A2+B2+C2. Знак определятся по числу D, он должен быть противоположным значения числа D.

    Когда D=0, знак может быть любым.

    Определение 2

    Нормальным уравнением плоскости  считается общее уравнение плоскости после умножения на нормирующий множитель, потому как  длина вектора с кооординатами ±AA2+B2+C2, ±BA2+B2+C2, ±CA2+B2+C2 равна 1.

    Отсюда получаем, что ±AA2+B2+C2, ±BA2+B2+C2, ±CA2+B2+C2=A2+B2+C2A2+B2+C2=1.

    Знак множителя необходим для того, что проверять выполнимость условия p0.

    Пример 2

    Привести уравнение 2x-3y+z+5=0 к нормальному виду.

    Решение

    Из условия имеем, что A=2, B=-3, C=1, D=5. Исходя из того, что D является положительным числом, нормирующий множитель дожжен иметь противоположный знак. Отсюда получим, что получим отрицательный результат.

    -1A2+B2+C2=-122+(-3)2+12=-114

    Чтобы получить искомое нормальное уравнение плоскости, обе части уравнения необходимо умножить на нормирующий множитель. Получим:

    -114·2x-3y+z+5=-114·0-214x+314y-114z-514=0

    Ответ: -214x+314y-114z-514=0.

    Пример 3

    Написать нормальное уравнение плоскости, если оно задано уравнением 3x-4z=0 прямоугольной системы координат Oxyz.

    Решение

    Из условия видно, что A=3, B=0, C=-4, D=0. Знака перед множителем нет, потому как D=0. Значит, возьмем со знаком «+». Получаем выражение вида:

    1A2+B2+C2=132+02+(-4)2=15

    При умножении обеих частей уравнения на нормирующий множитель, получаем уравнение плоскости нормального вида 35x-45z=0.

    Ответ: 35x-45z=0.

    Нахождение расстояния от точки до плоскости

    Теперь раскроем тему нормального уравнения плоскости, где уравнение плоскости нормального вида применимо для нахождения расстояния от заданной точки в пространстве до плоскости.

    При заданной системе координат Охуz трехмерного пространства имеем плоскость с уравнением cos α·x+cos β·y+cos γ·z-p=0, где необходимо определить расстояние от p до точки M0 (x0, y0, z0) заданной плоскости. Его вычисляют по формуле p=cos α·x0+cos β·y0+cos γ·z0-p. Само расстояние является числом, которое получается при подстановке координат точки  в левую сторону уравнения. Для вывода формулы необходимо обратиться к статье расстояния от точки до плоскости.

    Пример 4

    Имеется уравнение плоскости вида -13x+23y-23z-1=0, которое располагается в прямоугольной системе координат. Определить расстояние от точки с координатами M0 (1, -3, 0) до плоскости.

    Решение

    Координаты точки M необходимо подставить в левую часть уравнения плоскости. Тогда получаем:

    -13·1+23·(-3)-23·0-1=0

    Искомое расстояние – величина абсолютная, значит p=-313=313.

    Ответ: 313.

    Если плоскость задана другим уравнением, а необходимо произвести вычисление от заданной точки до плоскости, необходимо привести уравнение к виду нормального уравнения плоскости, используя формулу p=cos α·x0+cos β·y0+cos γ·z0-p.

    Пример 5

    Найти расстояние от заданной точки с координатами M0 (5, -1, 2) до плоскости x5+y-2+z4=1.

    Решение

    По условию имеем уравнение плоскости в отрезках. Это значит, что необходимо привести его к нормальному уравнению плоскости. Для этого переходим к общему уравнению, после чего приведем к нормальному виду.

    Получаем: x5+y-2+z4=1  15x-12y+14z-1=0

    Для вычисления нормирующего множителя применяем: 1152+-122+142=114125·16=20141

    Обе части уравнения 15x-12y+14z-1=0 умножаем на нормирующий множитель. Теперь получено нормальное уравнение исходной плоскости вида:

    4141x-10141y+5141z-20141=0

    Отсюда видно, что cos α=4141, cos β=-10141, cos γ=5141, p=-20141, x0=5, y0=-1, z0=2

    Все имеющиеся данные помогут использовать формулу для нахождения искомого  расстояния от точки до плоскости:

    p=cos α·x0+cos β·y0+cos γ·z0-p=4141·5-10141·-1+5141·2-20141=20141

    Ответ: 20141.

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
    Средняя оценка статьи
    4,4 из 5 (16 голосов)