Сложение и вычитание квадратных корней: определение, примеры, правила

Действие с корнями: сложение и вычитание

    Извлечение квадрантного корня из числа не единственная операция, которую можно производить с этим математическим явлением. Так же как и обычные числа, квадратные корни складывают и вычитают. 

    Правила сложения и вычитания квадратных корней

    Определение 1

    Такие действия, как сложение и вычитание квадратного корня, возможны только при условии одинакового подкоренного выражения. 

    Пример 1

    Можно сложить или вычесть выражения 23 и 63, но не 56 и 94. Если есть возможность упростить выражение и привести его к корням с одинаковым подкоренным числом, то упрощайте, а потом складывайте или вычитайте.

    Действия с корнями: основы

    Пример 2

    650-28+512

    Алгоритм действия: 

    1. Упростить подкоренное выражение. Для этого необходимо разложить подкоренное выражение на 2 множителя, один из которых, — квадратное число (число, из которого извлекается целый квадратный корень, например, 25 или 9). 
    2. Затем нужно извлечь корень из квадратного числа и записать полученное значение перед знаком корня. Обращаем ваше внимание, что второй множитель заносится под знак корня. 
    3.  После процесса упрощения необходимо подчеркнуть корни с одинаковыми подкоренными выражениями — только их можно складывать и вычитать.
    4. У корней с одинаковыми подкоренными выражениями необходимо сложить или вычесть множители, которые стоят перед знаком корня. Подкоренное выражение остается без изменений. Нельзя складывать или вычитать подкоренные числа! 
    Совет 1

    Если у вас пример с большим количеством одинаковых подкоренных выражений, то подчеркивайте такие выражения одинарными, двойными и тройными линиями, чтобы облегчить процесс вычисления.

    Пример 3

    Давайте попробуем решить данный пример:

    650=6(25×2)=(6×5)2=302. Для начала необходимо разложить 50 на 2 множителя 25 и 2, затем извлечь корень из 25, который равен 5, а 5 вынести из-под корня. После этого нужно умножить 5 на 6 (множитель у корня) и получить 302.

    28=2(4×2)=(2×2)2=42. Сперва необходимо разложить 8 на 2 мнодителя: 4 и 2. Затем из 4 извлечь корень, который равен 2, а 2 вынести из-под корня. После этого нужно умножить 2 на 2 (мнодитель у корня) и получить 42.

    512=5(4×3)=(5×2)3=103. Сперва необходимо разложить 12 на 2 множителя: 4 и 3. Затем извлечь из 4 корень, который равен 2, и вынести его из-под корня. После этого нужно умножить 2 на 5 (множитель у корня) и получить 103.

    Результат упрощения: 302-42+103

    302-42+103=(30-4)2+103=262+103.

    В итоге мы увидели, сколько одинаковых подкоренных выражений содержится в данном примере. А сейчас попрактикуемся на других примерах.

    Пример 4

    (45)+45:

    • Упрощаем (45). Раскладываем 45 на множители: (45)=(9×5);
    • Выносим 3 из-под корня (9=3):45=35;
    • Складываем множители у корней: 35+45=75.
    Пример 5

    640-310+5:

    • Упрощаем 640. Раскладываем 40 на множители: 640=6(4×10);
    • Выносим 2 из-под корня (4=2):640=6(4×10)=(6×2)10;
    • Перемножаем множители, которые стоят перед корнем: 1210;
    • Записываем выражение в упрощенном виде: 1210-310+5;
    • Поскольку у первых двух членов одинаковые подкоренные числа, мы можем их вычесть: (12-3)10=910+5.
    Пример 6

    95-23-45

    Как мы видим, упростить подкоренные числа не представляется возможным, поэтому ищем в примере члены с одинаковыми подкоренными числами, проводим математические действия (складываем, вычитаем и т.д.) и записываем результат:

    (9-4)5-23=55-23.

    Советы:

    • Перед тем, как складывать или вычитать, необходимо обязательно упростить (если это возможно) подкоренные выражения.
    • Складывать и вычитать корни с разными подкоренными выражениями строго воспрещается.
    • Не следует суммировать или вычитать целое число или корень: 3+(2x)1/2.
    • При выполнении действий с дробями, необходимо найти число, которое делится нацело на каждый знаменатель, потом привести дроби к общему знаменателю, затем сложить числители, а знаменатели оставить без изменений.
    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
    Средняя оценка статьи
    4,7 из 5 (14 голосов)