Исследование СЛАУ: определения, условия, методы, виды, свойства

Исследование СЛАУ. Общие сведения

    В данной статье мы расскажем о методах, видах, условиях и определениях исследований решений систем линейных уравнений, что такое метод Кронекера-Капели, а также приведем примеры.

    Общие сведения (определения, условия, методы, виды)

    Системы линейных алгебраических уравнений с n неизвестными могут иметь:

    • единственное решение;
    • бесконечное множество решение (неопределенные СЛАУ);
    • ни одного решения (несовместные СЛАУ).
    Пример 1

    Система x+y+z=12x+2y+2z=3не имеет решений, поэтому она несовместна.

    Система x+y=12x+7y=-3имеет единственное решение x=2; y=1.

    Система x+y=12x+2y=23x+3y=3имеет бесконечное множество решений x=ty=1-tпри -<t<.

    Замечание

    Перед решением системы уравнений необходимо исследовать систему, т.е. ответить на следующие вопросы:

    • Совместна ли система?
    • Если система совместна, то, какое количество решений она имеет — одно или несколько?
    • Как найти все решения?

    Если система малоразмерна при m=n, то ответить на поставленные вопросы можно при помощи метода Крамера:

    • если основной определитель системы, то система совместна и имеет единственное решение, которое вычисляется методом Крамера;
    • если, и один из вспомогательных определителей, то система не является совместной, т.е. не имеет решений;
    • если и все, и один из коэффициентов СЛАУ, то система не является определенной и имеет бесконечное множество решений.

    Ранг матрицы и его свойства

    Бывают случаи, которые выбиваются из представленных вариантов решения СЛАУ, например, линейные уравнения с большим количеством уравнений и неизвестных.

    Определение 1

    Для такого варианта решения существует ранг матрицы, который представляет собой алгоритм действий в случае решения системы матрицы, когда

    В математике выделяют следующие подходы к определению ранга матрицы:

    • при помощи понятия линейной зависимости/независимости строк/столбцов матрицы. Ранг равен максимальному количеству независимых строк (столбцов) матрицы
    • при помощи понятия минора матрицы в качестве наивысшего порядка минора, который отличается от нуля. Минор матрицы порядка k — определитель k-го порядка, составленный из элементов, которые стоят на пересечении вычеркиваемых k-строк и k-столбцов матрицы;
    • при помощи метода Гаусса. По завершении прямого хода ранг матрицы равняется количеству ненулевых строк.

    Обозначение ранга матрицы: r(A), rg(A), rA.

    Свойства ранга матрицы:

    1. квадратная невырожденная матрица обладает рангом, который отличается от нуля;
    2. если транспонировать матрицу, то ранг матрицы не изменяется;
    3. если поменять местами 2 параллельные строки или 2 параллельных столбца, ранг матрицы не изменяется;
    4. при удалении нулевого столбца или строки ранг матрицы не изменяется;
    5. ранг матрицы не изменяется, если удалить строку или столбец, которые являются линейной комбинацией других строк;
    6. при умножении все элементов строки/столбца на число k не равно нулю ранг матрицы не изменяется;
    7. ранг матрицы не больше меньшего из ее размеров: r(А)min (m; n) ;
    8. когда все элементы матрицы равны нулю, то только тогда r(A)=0 .
    Пример 2

    А1=111222333, B1=100000

    r(A1)=1, r(B1)=1

    Пример 3

    А2=123405670000; В2=11312143125054136

    r(A2)=2; r(B2)=2

    Пример 4

    А3=111123149

    r(A3)=3

    Ранг матрицы А1 вычислен на основании свойства определителя, который содержит строки с пропорциональными элементами, поскольку любой минор второго или третьего порядка матрицы А1 равняется нулю.
    Ранги матриц В1, А2 вычислены при помощи вычеркивания нулевых строк, поскольку в матрице А2 минор отличается от нуля на пересечении 2-х первых строк и 2-х первых столбцов.
    Матрица А3 — невырожденная, поскольку ее ранг равняется 3. (Можно проверить условие =А3 не равно нулю).

    Теперь вычислим ранг матрицы В2 при помощи элементарных преобразований:

    • элементы 1-ой строки умножим на (-2) и прибавим к соответствующим элементам 2-ой строки;
    • элементы 1-ой строки умножим на (-1) и прибавим к соответствующим элементам 3-ей строки;
    • элементы 1-ой строки умножим на (-5) и прибавим к соответствующим элементам 4-ой строки:

    В2=11312143125054136 (-2)(-1)(-5)+++11310-1-21012-10-1-21

    3-ю строку прибавим ко 2-ой и 4-ой строкам:

    11310000012-100001131012-1

    Таким образом, число ненулевых строк равно 2 или минор 2-го порядка в левом углу матрицы:

    М(2)=1101=10 не равно нулюr(B2)=2

    ч.т.д.

    Теорема Кронеккера-Капелли (о разрешимости СЛАУ)

    Определение 4

    Теорема Кронеккера-Капелли — теорема, которая доказывает: чтобы СЛАУ была совместной, необходимым и достаточным условием является равенство ранга r матрицы рангу расширенной матрицы.
    Для совместных СЛАУ справедливой считается следующая теорема.

    Теорема о числе решений системы

    Пусть ранг матрицы, которая составлена из коэффициентов СЛАУ, равен рангу расширенной матрицы. В таком случае, если r=n (где n — число неизвестных системы), то система имеет единственное решение, если r<n, то система имеет бесконечное множество решений.
    Если система определена, то для ее решения подходят методы Крамера, Гаусса и матричный метод.
    Если система не определена, то некоторым (n-r) неизвестным (свободным) можно давать произвольные значения, а r неизвестных (базисных) определяются через свободные единственным способом.
    При этом базисными становятся те, чей определитель, который составлен из коэффициентов при них и отличен от нуля. Выражения главных переменных, которые получены через свободные, объявляются решением системы.

    Пример 5

    Исследуем и решаем матрицу:

    x -2x -x + 2x =12x - x + 4x +4x =5 +4x -2x +x =54x +x +4x +9x =2

    Составляем расширенную матрицу системы и приводим ее к ступенчатому виду методом Гаусса.
    Определяем ее ранг, а ранг основной матрицы определяем закрытием столбца правых частей.

    1-2-1212-144504-21541492(-2)(-4)++1-2-1210360304-2150981-2÷(3)

    1-2-121012010-2-2150881-2(-4)(-9)++1-2-1210120100-101100-101-11(-1)+

    0-2-1210120100-10110000-12r(A)=31(Ap)=41r(A) не равно r(Ap).

    Ответ: система не совместна.

    Пример 6

    Рассматриваем систему линейных уравнений и находим ранг матрицы:

    n=4, m=3:x1-3x2+4x3-x4=13x1+7x2-10x3+5x4=52x1+2x-3x32x4=3

    A=1-34-137-10522-32(-3)(-2)++1-34-1016-22808-11412+

    1-34-1016-2280000r(A)=2

    Составляем расширенную матрицу системы и находим ее ранг:

    Ap=1-34-137-10522-32153(-3)(-2)++1-34-1016-22808-11412112+

    1-34-1016-2280000120r(Ap)=2

    r(A)=r(Ap)=2 — система совместная, r=2<n=4 — система неопределенная.

    Решаем систему методом Гаусса: преобразования расширенной матрицы системы приводят к системе уравнений вида:

    x1-3x2+4x3-x4=116x2-22x3+8x4=2; =1-3016=16 не равно нулю.

    Главные переменные — x1 и x2. Свободные переменные — неизвестные x3 и x4. Записываем систему уравнений в виде:

    x1-3x2=1-4x3+x48x2=1+11x3-4x4

    С помощью обратного хода находим:

    x=118x-12x+18.

    Из 1-го уравнения:

    x1=3x2-4x3+x4+1=338x3-32x4+38-4x3+x4+1=18x3-12x4+118

    Ответ: система неопределенная.

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
    Средняя оценка статьи
    4,1 из 5 (10 голосов)