Метод Жордана-Гаусса для решения СЛАУ: основные понятия, примеры, определения

Метод Жордана-Гаусса для решения СЛАУ

    В данной статье мы рассмотрим метод Жордана-Гаусса для решения систем линейных уравнений, отличие метода Гаусса от метода Жордана-Гаусса, алгоритм действий, а также приведем примеры решений СЛАУ.

    Основные понятия

    Определение 1

    Метод Жордана-Гаусса — один из методов, предназначенный для решения систем линейных алгебраических уравнений.

    Этот метод является модификацией метода Гаусса — в отличие от исходного (метода Гаусса) метод Жордана-Гаусса позволяет решить СЛАУ в один этап (без использования прямого и обратного ходов).

    Примечание

    Матричная запись СЛАУ: вместо обозначения А в методе Жордана-Гаусса для записи используют обозначение à— обозначение расширенной матрицы системы.

    Пример 1

    Решить СЛАУ методом Жордана-Гаусса:

    4x1-7x2+8x3=-232x1-4x2+5x3=-13-3x1+11x2+x3=16

    Как решить?

    Записываем расширенную матрицу системы:

    Ã=4-78|-232-45|-13-3111|16

    Напоминаем, что слева от черты записывается матрица системы А:

    A=4-782-45-3111

    Замечание 1

    На каждом шаге решения необходимо выбирать разрешающие элементы матрицы. Процесс выбора может быть различным — в зависимости от того, как выбираются элементы, решения будут отличаться. Можно выбирать в качестве разрешающих элементов диагональные элементы матрицы, а можно выбирать произвольно.

    В этой статье мы покажем оба способа решения.

    Произвольный способ выбора разрешающих элементов

    • Первый этап:

    Следует обратиться к 1-му столбцу матрицы à— необходимо выбрать ненулевой (разрешающий) элемент.

    В 1-ом столбце есть 3 ненулевых элемента: 4, 2, -3. Можно выбрать любой, но, по правилам, выбирается тот, чей модуль ближе всего к единице. В нашем примере таким числом является 2.

    Цель: обнулить все элементы, кроме разрешающего, т.е. необходимо обнулить 4 и -3:

    4-782-45-3111

    Произведем преобразование: необходимо сделать разрешающий элемент равным единице. Для этого делим все элементы 2-ой строки на 2. Такое преобразование имеет обозначение: II:2:

    4-78|-232-45|-13-3111|16II÷24-78|-232-45/2|-13/2-3111|16

    Теперь обнуляем остальные элементы: 4 и -3:

    4-78|-232-45/2|-13/2-3111|16 I-4×IIIII-(-3)×II

    Необходимо выполнить преобразования:

    I-4×II и III-(-3)×II=III+3×II

    Запись I-4×II означает, что от элементов 1-ой строки вычитаются соответствующие элементы 2-ой строки, умноженные на 4.

    Запись III+3×II означает, что к элементам 3-ей строки прибавляются соответствующие элементы 2-ой строки, умноженные на 3.

    I-4×II=4 -78 -23-41 -25/2 -13/2==4 -78 -23-4 -810 -26=0 1-2 3

    Записываются такие изменения следующим образом:

    4-78|-232-45/2|-13/2-3111|16I-4×IIIII-(-3)×II01-2|31-25/2|-13/20517/2|-7/2

    • Второй этап

    Необходимо обнулить 2-ой столбец, следовательно, нужно выбрать разрешающий элемент: 1, -2, 5. Однако 2-ую строку матрицы мы использовали в первом этапе, так что элемент -2 не может быть использован.

    Поскольку необходимо выбирать число, чей модуль ближе всего к единице, то выбор очевиден — это 1. Обнуляем остальные элементы 2-го столбца:

     01-2|31-25/2|-13/20517/2|-7/2II-(-2)×IIII-5×I

    Итог:

    01-2|31-25/2|-13/20517/2|-7/2II+2×IIII-5×I01-2|310-3/2|-1/20037/2|-37/2

    • Третий этап

    Теперь требуется обнулить элементы 3-го столбца. Поскольку первая и вторая строки уже использованы, поэтому остается только один вариант: 37/2. Обнуляем с его помощью элементы третьего столбца:

    01-2|310-3/2|-1/20037/2|-37/2

    Выполнив преобразования

    I-(-2)×III=I+2×III и II-(-32)×III=II+32×II

    получим следующий результат:

    01-2|310-3/2|-1/2001|-1I+2×IIIII+3/2×III010|1100|-2001|-1

    Ответx1=-2; x2=1; x3=-1.

    Полное решение:

    4-78|-232-45|-13-3111|16II÷24-78|-232-45/2|-13/2-3111|16I-4×IIIII-(-3)×II

    01-2|31-25/2|-13/20517/2|-7/2II-(-2)×IIII-5×I01-2|310-3/2|-1/20037/2|-37/2III÷372

    01-2|310-3/2|-1/2001|-1I+2×IIIII+3/2×III010|1100|-2001|-1.

    Выбор разрешающих элементов на главной диагонали матрицы системы

    Определение 2

    Принцип выбора разрешающих элементов строится на простом отборе соответствующих элементов: в 1-ом столбце выбирается элемент 1-го столбца, во 2-ом — второй, в 3-ем — третий и т.д.

    • Первый этап

    В первом столбце необходимо выбрать элемент первой строки, т.е. 4. Но поскольку в первом столбце есть число 2, чей модуль ближе к единице, чем 4, то можно поменять местами первую и вторую строку:

    4-78|-232-45|-13-3111|162-45|-134-78|-23-3111|16

    Теперь разрешающий элемент — 2. Как показано в первом способе, делим первую строку на 2, а затем обнуляем все элементы:

    4-78|-232-45|-13-3111|16I÷22-45/2|-13/24-78|-23-3111|16II-4×IIII+3×I1-25/2|-13/201-2|30517/2|-7/2

    • Второй этап

    На втором этапе требуется обнулить элементы второго столбца. Разрешающий элемент — 1, поэтому никаких изменений производить не требуется:

    01-2|31-25/2|-13/20517/2|-7/2I+2×IIIII-5×II01-2|310-3/2|-1/20037/2|-37/2

    • Третий этап

    На третьем этапе необходимо обнулить элементы третьего столбца. Разрешающий элемент — 37/2. Делим все элементы на 37/2 (чтобы сделать равными 1), а затем обнуляем:

    01-2|310-3/2|-1/20037/2|-37/2III÷37210-3/2|-1/201-2|3001|-1I+2×IIIII+3/2×III100|-2010|1001|-1

    Ответ: x1=-2; x2=1; x3=-1.

    4-78|-232-45|-13-3111|16I÷22-45/2|-13/24-78|-23-3111|16II-4×IIII+3×I01-2|31-25/2|-13/20517/2|-7/2I+2×IIIII-5×II

    01-2|310-3/2|-1/20037/2|-37/2III÷37210-3/2|-1/201-2|3001|-1I+2×IIIII+3/2×III100|-2010|1001|-1

    Пример 2

    Решить СЛАУ методом Жордана-Гаусса:

    3x1+x2+2x3+5x4=-63x1+x2+2x3=-106x1+4x2+11x3+11x4=-27-3x1-2x2-2x3-10x4=1

    Как решить?

    Записать расширенную матрицу данной системы Ã:

    3125|-63102|10641111|-27-3-2-2-10|1

    Для решения используем второй способ: выбор разрешающих элементов на главной диагонали системы. На первом этапе выбираем элемент первой строки, на втором — второй строки, на третьем — третьей и т.д.

    • Первый этап

    Необходимо выбрать разрешающий элемент первой строки, т.е. 3. Затем обнуляем все элементы столбца, разделяя на 3 все элементы:

    3125|-63102|-10641111|-27-3-2-2-10|1I÷311/32/35/3|-23102|-10641111|-27-3-2-2-10|1II-3×IIII-6×IIV+3×I

    11/32/35/3|-200-2-3|-40271|-150-10-5|-5

    • Второй этап

    Необходимо обнулить элементы второго столбца. Для этого выделяем разрешающий элемент, но элемент первой строки второго столбца равен нулю, поэтому необходимо менять строки местами.

    Поскольку в четвертой строке есть число -1, то меняем местами вторую и четвертую строки:

    11/32/35/3|-200-2-3|-40271|-150-10-5|-511/32/35/3|-20-10-5|-50271|-1500-2-3|-4

    Теперь разрешающий элемент равен -1. Делим элементы второго столбца на -1, а затем обнуляем:

    11/32/35/3|-20-10-5|-50271|-1500-2-3|-4II÷(-1)11/32/35/3|-20105|50271|-1500-2-3|-4I-1/3×IIIII-2×I

    102/30|-11/30105|5007-9|-2500-2-3|-4

    • Третий этап

    На третьем этапе необходимо также обнулить элементы третьего столбца. Для этого находим разрешающий элемент в третьей строке — это 7. Но на 7 делить неудобно, поэтому необходимо менять строки местами, чтобы разрешающий элемент стал -2:

    102/30|-11/30105|5007-9|-2500-2-3|-4102/30|-11/30105|500-2-3|-4007-9|-25

    Теперь делим все элементы третьего столбца на -2 и обнуляем все элементы:

    102/30|-11/30105|500-2-3|-4007-9|-25III÷(-2)102/30|-11/30105|50013/2|2000-9|-25I-2/3×IIIIV-7×III

    100-1|-50105|50013/2|2000-39/2|-39

    • Четвертый этап

    Обнуляем четвертый столбец. Разрешающий элемент — -392:

    100-1|-50105|50013/2|2000-39/2|-39IV÷(-392)100-1|-50105|50013/2|20001|2I+IVII-5×IVIII-3/2×IV

    1000|-30100|-50010|-10001|2.

    Ответx1=-3; x2=-5; x3=-1; x4=2

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
    Средняя оценка статьи
    4,0 из 5 (15 голосов)