Метод Крамера для решения СЛАУ: алгоритм, примеры задач

Метод Крамера для решения СЛАУ

    В данной статье мы разберем, как найти неизвестные переменные по методу Крамера и опишем решение систем линейных уравнений.

    Определение 1

    Метод Крамера предназначен для того, чтобы решать системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), в которых число неизвестных переменных равняется числу уравнений, а определитель основной матрицы не равен нулю.

    Метод Крамера — вывод формул

    Пример 1

    Найти решение системы линейных уравнений вида:

    a11x1+a12x2+...+a1nxn=b1a21x1+a22x2+...+a2nxn=b2an1x1+an2x2+...+annxn=bn

    В этой системе x1, x2, ..., xn - неизвестные переменные,

    aij, i=1, 2, ..., n; j= 1, 2, ..., n - числовые коэффициенты,

    b1, b2, ..., bn - свободные члены. 

    Решение такой системы линейных алгебраических уравнений — набор значений x1, x2, ..., xn, при которых все уравнения системы становятся тождественными.

    Матричный вид записи такой системы линейных уравнений:

    AX=B, где A=a11a12a1na21a22a2nan1an2ann— основная матрица системы, в которой ее элементы — это коэффициенты при неизвестных переменных;

    B=b1b2bn — матрица-столбец свободных членов;

    X=x1x2xn— матрица-столбец неизвестных переменных.

    После того как мы найдем неизвестные переменные x1, x2, ..., xn, матрица X=x1x2xn становится решением системы уравнений, а равенство AX=B обращается в тождество.

    Метод Крамера основан на 2-х свойствах определителя матрицы:

    • Определитель квадратной матрицы A=aij, i=1, 2, ..., n; j=1, 2, ..., n равняется сумме произведений элементов какой-либо строки (столбца) на их алгебраические дополнения:

    a11a12a1na21a22a2nan1an2ann=ap1×Ap1+ ap2×Ap2+...+apn×Apn=a1q×A1q+ a2q×A2q+...+anq×Anq

    • Сумма произведений какой-либо строки (столбца) квадратной матрицы на алгебраические дополнения соответствующие элементы другой матрицы равняется нулю:

    ap1×Ap1+ ap2×Ap2+...+apn×Apn=0a1q×A1q+ a2q×A2q+...+anq×Anq=0

    p=1, 2, ..., n, q=1, 2, ..., n p не равно q

    Приступаем к нахождению неизвестной переменной x1:

    • Умножаем обе части первого уравнения системы на А11, обе части второго уравнения на А21и т.д. Таким образом, мы умножаем уравнения системы на соответствующие алгебраические дополнения 1-го столбца матрицы А:

    A11a11x1+A11a12x2+...+A11a1nxn=A11b1A21a21x1+A21a22x2+...+A21x2nxn=A21b2An1an1x1+An1an2x2+...+An1annxn=An1bn

    • Складываем все левые части уравнения системы, сгруппировав слагаемые при неизвестных переменных  , и приравниваем получившуюся сумму к сумме всех правых частей уравнения:

    x1(A11a11+A21a21+...+An1an1)++x2(A11a12+A21a22+...+An1an2)++...++xn(A11a1n+A21a2n+...+An1ann)==A11b1+A21b2+...+An1bn

    Если воспользоваться свойствами определителя, то получится:

    А11а11+А21а21+...+Аn1an1=АА11а12+А21а22+...+Аn1аn2=0A11a1n+A21a2n+...+An1ann=0

    A11b1+A21b2+...+An1bn=b1a12a1nb2a22a2nbnan2ann

    Предыдущее равенство будет иметь следующий вид:

    x1A=b1a12a1nb2a22a2nbnan2ann.

    Откуда

    x1=b1a12a1nb2a22a2nbnan2annA

    Таким же образом находим все оставшиеся неизвестные переменные.

    Если обозначить

    =b1a12a1nb2a22a2nbnan2annx1=b1a12a1nb2a22a2nbnan2ann,

     

    x2=b1a12a1nb2a22a2nbnan2ann, ... xn=b1a12a1nb2a22a2nbnan2ann.

    то получаются формулы для нахождения неизвестных переменных по методу Крамера:

    x1=x1, x2=x2, ..., xn=xn.

    Алгоритм решения СЛАУ методом Крамера

    • Необходимо вычислить определитель матрицы системы и убедиться, что он не равен нулю.
    • Найти определители

    x1=b1a12a1nb2a22a2nbnan2ann

     

    x2=b1a12a1nb2a22a2nbnan2ann

    xn=b1a12a1nb2a22a2nbnan2ann

    Эти определители являются определителями матриц, которые получены из матрицы А путем замены k-столбца на столбец свободных членов.

    • Вычислить неизвестные переменные при помощи формул:

    x1=x1, x2=x2, ..., xn=xn.

    • Выполнить проверку результатов: если все определители являются тождествами, то решение найдено верно.

    Примеры решения СЛАУ методом Крамера

    Пример 2

    Найти решение неоднородной системы линейных уравнений методом Крамера:

    3x1-2x2=562x1+3x2=2

    Как решать?

    Основная матрица представлена в виде 3-223.

    Мы можем вычислить ее определитель по формуле: 

    a11a12a21a22=a11×a22-a12×a21: =3-223=3×3-(-2)×2=9+4=13

    Записываем определители x1 и x2. Заменяем 1-ый столбец основной матрицы на столбец свободных членов и получаем определитель x1=56-223

    По аналогии заменяем второй столбец основной матрицы на столбец свободных членов и получаем определитель:

    x2=35622

    Находим эти определители:

    x1=56-223=56×3-2(-2)=52+4=132

    x2=35622=3×2-56×2=6-53=133

    Находим неизвестные переменные по следующим формулам 

    x1=x1, x2=x2

    x1=x1=13213=12

    x2=x2=313=13

    Выполняем проверку — подставляем полученные значения переменных в в исходную систему уравнений:

    312-213=56212+313=256=562=2

    Оба уравнения превращаются в тождества, поэтому решение верное.

    Ответ: x1=12, x2=13

    Поскольку некоторые элементы системы линейных уравнений могут равняться нулю, то в системе не будет соответствующих неизвестных переменных.

    Пример 3

    Найти решение 3-х нелинейных уравнений методом Крамера с 3-мя неизвестными:

    2y+x+z=-1-z-y+3x=-1-2x+3z+2y=5

    За основную матрицу нельзя брать 211-1-1-3-232.

    Необходимо привести к общему порядку все неизвестные переменные во всех уравнениях системы:

    x+2y+z=-13x-y-z=-1-2x+2y+3z=5

    С этого момента основную матрицу хорошо видно:

    1213-1-1-223

    Вычисляем ее определитель:

    =1213-1-1-223=1×(-1)×3+2×(-1)(-2)+1×2×3-1(-1)(-2)-2×3×3--1(-1)×2=-11

    Записываем определители и вычисляем их:

    x=-121-1-1-1523=(-1)(-1)×3+2(-1)×5+1(-1)×2-1(-1)×5-2(-1)×3--1(-1)×2=0

    y=1-113-1-1-253=1(-1)×3+(-1)(-1)(-2)+1×3×5-1(-1)(-2)-(-1)--1(-1)×2=22

    z=12-13-1-1-225=1(-1)×5+2(-1)(-2)+(-1)×3×2-(-1)(-1)(-2)-2×3×5--1(-1)×2=-33

    Находим неизвестные переменные по формулам:

    x=x, y=y, z=z.

    x=x=0-11=0

    y=y=22-11=-2

    z=z=-33-11=3

    Выполняем проверку — умножаем основную матрицу на полученное решение 0-23:

    1213-1-1-223×0-23=1×0+2(-2)+1×33×0+(-1)(-2)+(-1)×3(-2)×0+2(-2)+3×3=-1-15

    Результатом являются столбцы свободных членов исходной системы уравнений, следовательно, решение верное.

    Ответx=0, y=-2, z=3

     

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
    Средняя оценка статьи
    4,8 из 5 (15 голосов)