Метода Гаусса: примеры решения СЛАУ: понятия, определения, примеры задач

Метода Гаусса: примеры решения СЛАУ

    В данной статье мы:

    • дадим определение методу Гаусса,
    • разберем алгоритм действий при решении линейных уравнений, где количество уравнений совпадает c количеством неизвестных переменных, а определитель не равен нулю;
    • разберем алгоритм действий при решении СЛАУ с прямоугольной или вырожденной матрицей.

    Метод Гаусса — что это такое?

    Определение 1

    Метод Гаусса — это метод, который применяется при решении систем линейных алгебраических уравнений и имеет следующие преимущества:

    • отсутствует необходимость проверять систему уравнений на совместность;
    • есть возможность решать системы уравнений, где:
    • количество определителей совпадает с количеством неизвестных переменных;
    • количество определителей не совпадает с количеством неизвестных переменных;
    • определитель равен нулю.
    • результат выдается при сравнительно небольшом количестве вычислительных операций.

    Основные определения и обозначения

    Пример 1

    Есть система из р линейных уравнений с n неизвестными (p может быть равно n):

    a11x1+a12x2+...+a1nxn=b1a21x1+a22x2+...+a2nxn=b2ap1x1+ap2x2+...+apnxn=bp,

    где x1, x2, ...., xn — неизвестные переменные, aij, i=1, 2...,p, j=1, 2...,n — числа (действительные или комплексные), b1, b2,..., bn — свободные члены.

    Определение 2

    Если b1=b2=...=bn=0, то такую систему линейных уравнений называют однородной, если наоборот — неоднородной.

    Определение 3

    Решение СЛАУ — совокупность значения неизвестных переменных x1=a1, x2=a2, ..., xn=an, при которых все уравнения системы становятся тождественными друг другу.

    Определение 4

    Совместная СЛАУ — система, для которой существует хотя бы один вариант решения. В противном случае она называется несовместной.

    Определение 5

    Определенная СЛАУ — это такая система, которая имеет единственное решение. В случае, если решений больше одного, то такая система будет называться неопределенной.

    Определение 6

    Координатный вид записи:

    a11x1+a12x2+...+a1nxn=b1a21x1+a22x2+...+a2nxn=b2ap1x1+ap2x2+...+apnxn=bp

    Определение 7

    Матричный вид записи: AX=B, где

    A=a11a12a1na21a22a2nap1ap2apn - основная матрица СЛАУ;

    X=x1x2xn - матрица-столбец неизвестных переменных;

    B=b1b2bn - матрица свобожных членов.

    Определение 8

    Расширенная матрица — матрица, которая получается при добавлении в качестве (n+1) столбца матрицу-столбец свободных членов и имеет обозначение Т.

    T=a11a12a1nb1a21a22a2nb2   ap1ap2apnbn

    Определение 9

    Вырожденная квадратная матрица А — матрица, определитель которой равняется нулю. Если определитель не равен нулю, то такая матрица, а потом называется невырожденной.

    Описание алгоритма использования метода Гаусса для решения СЛАУ с равным количеством уравнений и неизвестных (обратный и прямой ход метода Гаусса)

    Для начала разберемся с определениями прямого и обратного ходов метода Гаусса.

    Определение 10

    Прямой ход Гаусса — процесс последовательного исключения неизвестных.

    Определение 11

    Обратный ход Гаусса — процесс последовательного нахождения неизвестных от последнего уравнения к первому.

    Алгоритм метода Гаусса:

    Пример 2

    Решаем систему из n линейных уравнений с n неизвестными переменными:

    a11x1+a12x2+a13x3+...+a1nxn=b1a21x1+a22x2+a23x3+...+a2nxn=b2a31x1+a32x2+a33x3+...+a3nxn=b3 an1x1+an2x2+an3x3+...+annxn=bn

    Определитель матрицы не равен нулю.

    1. a11 не равен нулю - всегда можно добиться этого перестановкой уравнений системы;
    2. исключаем переменную x1 из всех уравнений систему, начиная со второго;
    3. прибавим ко второму уравнению системы первое, которое умножено на -a21a11, прибавим к третьему уравнению первое умноженное на -a21a11 и т.д.

    После проведенных действий матрица примет вид:

    a11x1+a12x2+a13x3+...+a1nxn=b1             a(1)22x2+a(1)23x3+...+a(1)2nxn=b(1)2             a(1)32x2+a(1)33x3+...+a(1)3nxn=b(1)3              a(1)n2x2+a(1)n3x3+...+a(1)nnxn=b(1)n,

    где aij(1)=aij+a1j(-ai1a11), i=2, 3, ..., n, j=2, 3, ..., n, bi(1)=bi+b1(-ai1a11), i=2, 3, ..., n.

    Далее производим аналогичные действия с выделенной частью системы:

    a11x1+a12x2+a13x3+...+a1nxn=b1             a(1)22x2+a(1)23x3+...+a(1)2nxn=b(1)2             a(1)32x2+a(1)33x3+...+a(1)3nxn=b(1)3              a(1)n2x2+a(1)n3x3+...+a(1)nnxn=b(1)n

    Считается, что a22(1) не равна нулю. Таким образом, приступаем к исключению неизвестной переменной x2 из всех уравнений, начиная с третьего:

    • к третьему уравнению систему прибавляем второе, которое умножено на -a(1)42a(1)22;
    • к четвертому прибавляем второе, которое умножено на -a(1)42a(1)22 и т.д.

    После таких манипуляций СЛАУ имеет следующий вид:

    a11x1+a12x2+a13x3+...+a1nxn=b1             a(1)22x2+a(1)23x3+...+a(1)2nxn=b(1)2                               a(2)33x3+...+a(2)3nxn=b(2)3                                a(2)n3x3+...+a(2)nnxn=b(2)n,

    где aij(2)=a(1)ij+a2j(-a(1)i2a(1)22), i=3, 4, ..., n, j=3, 4, ..., n, bi(2)=b(1)i+b(1)2(-a(1)i2a(1)22), i=3, 4, ..., n..

    Таким образом, переменная x2 исключена из всех уравнений, начиная с третьего.

    Далее приступаем к исключению неизвестной x3, действуя по аналоги с предыдущим образцом:

    a11x1+a12x2+a13x3+...+a1nxn=b1             a(1)22x2+a(1)23x3+...+a(1)2nxn=b(1)2                               a(2)33x3+...+a(2)3nxn=b(2)3                                                         a(n-1)nnxn=b(n-1)n

    Примечание

    После того как система приняла такой вид, можно начать обратный ход метода Гаусса:

    • вычисляем xn из последнего уравнения как xn=bn(n-1)ann(n-1);
    • с помощью полученного xn находим xn-1 из предпоследнего уравнения и т.д., находим x1 из первого уравнения.
    Пример 3

    Найти решение системы уравнений методом Гаусса:

    3x1+2x2+x3+x4=-2x1-x2+4x3-x4=-1-2x1-2x2-3x3+x4=9x1+5x2-x3+2x4=4

    Как решать?

    Коэффициент a11отличен от нуля, поэтому приступаем к прямому ходу решения, т.е. к исключению переменной x11из всех уравнений системы, кроме первого. Для того, чтобы это сделать, прибавляем к левой и правой частям 2-го, 3-го и 4-го уравнений левую и правую часть первого, которая умножена на -a21a11:

    -13, -а31а11=--23=23 и -а41а11=-13.

    3x1+2x2+x3+x4=-2x1-x2+4x3-x4=-1-2x1-2x2-3x3+x4=9x1+5x2-x3+2x4=4

    3x1+2x2+x3+x4=-2x1-x2+4x3-x4+(-13)(3x1+2x2+x3+x4)=-1+(-13)(-2)-2x1-2x2-3x3+x4+23(3x1+2x2+x3+x4)=9+23(-2)x1+5x2-x3+2x4+(-13)(3x1+2x2+x3+x4)=4+(-13)(-2)

    3x1+2x2+x3+x4=-2         -53 x2+113x3-43x4=-13          -23x2-73x3+53x4=233          133x2-43x3+53x4=143

    Мы исключили неизвестную переменную x1, теперь приступаем к исключению переменной x2:

    -a32(1)a22(1)=--23-53=-25 и а42(1)а22(1)=-133-53=135:

    3x1+2x2+x3+x4=-2         -53 x2+113x3-43x4=-13          -23x2-73x3+53x4=233          133x2-43x3+53x4=143

    3x1+2x2+x3+x4=-2         -53 x2+113x3-43x4=-13          -23x2-73x3+53x4+(-25)(-53x2+113x3-43x4)=233+(-25)(-13)          133x2-43x3+53x4+135(-53x2+113x3-43x4)=143+135(-13)

    3x1+2x2+x3+x4=-2         -53 x2+113x3-43x4=-13                      -195x3+115x4=395                           415x3-95x4=195

    Для того чтобы завершить прямой ход метода Гаусса, необходимо исключить x3 из последнего уравнения системы -а43(2)а33(2)=-415-195=4119 :

    3x1+2x2+x3+x4=-2         -53 x2+113x3-43x4=-13                      -195x3+115x4=395                           415x3-95x4=195

    3x1+2x2+x3+x4=-2         -53 x2+113x3-43x4=-13                      -195x3+115x4=395                           415x3-95x4+4119(-195x3+115x4)=195+4119395

    3x1+2x2+x3+x4=-2         -53 x2+113x3-43x4=-13                      -195x3+115x4=395                                         5619x4=39219

    Обратный ход метода Гаусса:

    • из последнего уравнения имеем: x4=392195619=7;
    • из 3-го уравнения получаем: x3=-519(395-115x4)=-519(395-115×7)=3819=2;
    • из 2-го: x2=-35(-13-113x4+43x4)=-35(-13-113×2+43×7)=-1;
    • из 1-го: x1=13(-2-2x2-x3-x4)=-2-2×(-1)-2-73=-93=-3.

    Ответx1=-3; x2=-1; x3=2; x4=7

    Пример 4

    Найти решение этого же примера методом Гаусса в матричной форме записи:

    3x1+2x2+x3+x4=-2x1-x2+4x3-x4=-1-2x1-2x2-3x3+x4=9x1+5x2-x3+2x4=4

    Как решать?

    Расширенная матрица системы представлена в виде:

       x1    x2     x3 x432111-14-1-2-2-3115-12-2-194

    Прямой ход метода Гаусса в данном случае предполагает приведение расширенной матрицы к трапецеидальному виду при помощи элементарных преобразований. Этот процесс очень поход на процесс исключения неизвестных переменных в координатном виде.

    Преобразование матрицы начинается с превращения всех элементов нулевые. Для этого к элементам 2-ой, 3-ей и 4-ой строк прибавляем соответствующие элементы 1-ой строки, которые умножены на -a21a11=-13, -a31a11=--23=23 и на -а41а11=-13.

    Дальнейшие преобразования происходит по такой схеме: все элементы во 2-ом столбце, начиная с 3-ей строки, становятся нулевыми. Такой процесс соответствует процессу исключения переменной  . Для того, чтобы выполнить этой действие, необходимо к элементам 3-ей и 4-ой строк прибавить соответствующие элементы 1-ой строки матрицы, которая умножена на -а32(1)а22(1)=-23-53=-25 и -а42(1)а22(1)=-133-53=135:

       x1    x2     x3 x43211|-20-53113-43|-130-23-7353|2330133-4353|143~

          x1                 x2                           x3                           x4~3211|-20-53113-43|-130-23+(-25)(-53)-73+(-25)11353+(-25)(-43)|233+(-25)(-13)0133+135(-53)-43+135×11353+135(-43)|143+135(-13)~

           x1    x2     x3       x4~3211|-20-53113-43|-1300-195115|39500415-95|195

    Теперь исключаем переменную x3 из последнего уравнения — прибавляем к элементам последней строки матрицы соответствующие элементы последней строки, которая умножена на а43(2)а33(2)=-415-195=4119.

           x1    x2     x3       x43211|-20-53113-43|-1300-195115|39500415-95|195~

          x1    x2               x3                           x4~3211|-20-53113-43|-1300-195115|39500415+4119(-195)-95+4119×115|195+4119×395~

           x1    x2     x3       x4~3211|-20-53113-43|-1300-195115|3950005619|39219

    Теперь применим обратных ход метода. В матричной форме записи такое преобразование матрицы, чтобы матрица, которая отмечена цветом на изображении:

       x1    x2     x3       x43211|-20-53113-43|-1300-195115|3950005619|39219

    стала диагональной, т.е. приняла следующий вид:

       x1    x2     x3       x43000|а10-5300|а200-1950|а30005619|39219, где а1, а2, а3 - некоторые числа.

    Такие преобразования выступают аналогом прямому ходу, только преобразования выполняются не от 1-ой строки уравнения, а от последней. Прибавляем к элементам 3-ей, 2-ой и 1-ой строк соответствующие элементы последней строки, которая умножена на

    -1155619=-209280, на --435619=1942 и на -15619=1956.

       x1    x2     x3       x43211|-20-53113-43|-1300-195115|3950005619|39219~

          x1    x2      x3                   x4~3211+(-1956)5619|-2+(-1956)392190-53113-43+1942×5619|-13+1942×3921900-195115+(-209280)5619|395+(-209280)392190005619|39219~

           x1    x2     x3       x4~3210|-90-531130|900-1950|-3850005619|39219

    Далее прибавляем к элементам 2-ой и 1-ой строк соответствующие элементы 3-ей строки, которые умножены на

    -113-195=5557 и на -1-195=519.

     x1    x2     x3       x43210|-90-531130|900-1950|-3850005619|39219~

          x1    x2             x3                   x4~321+519(-195)0|-9+519(-385)0-53113+5557(-195)0|9+5557(-385)00-1950|-3850005619|39219~

           x1    x2     x3       x4~3210|-110-5300|5300-1950|-3850005619|39219

    На последнем этапе прибавляем элементы 2-ой строки к соответствующим элементам 1-ой строки, которые умножены на -2-53=65.

     x1    x2     x3       x43210|-110-5300|5300-1950|-3850005619|39219~

          x1           x2            x3      x4~32+65(-53)00|-11+65×53)0-5300|5300-1950|-3850005619|39219~

           x1    x2     x3       x4~3000|-90-5300|5300-1950|-3850005619|39219

    Полученная матрица соответствует системе уравнений

    3x1=-9-53x2=53-195x3=-3855619x4=39219, откуда находим неизвестные переменные.

    Ответ: x1=-3, x2=-1, x3=2, x4=7.​​​

    Описание алгоритма использования метода Гаусса для решения СЛАУ с несовпадающим количеством уравнений и неизвестных, или с вырожденной системой матрицы

    Определение 2

    Если основная матрица квадратная или прямоугольная, то системы уравнений могут иметь единственное решение, могут не иметь решений, а могут иметь бесконечное множество решений.

    Из данного раздела мы узнаем, как с помощью метода Гаусса определить совместность или несовместность СЛАУ, а также, в случае совместности, определить количество решений для системы.

    В принципе, метод исключения неизвестных при таких СЛАУ остается таким же, однако есть несколько моментов, на которых необходимо заострить внимание.

    Пример 5

    На некоторых этапах исключения неизвестных, некоторые уравнения обращаются в тождества 0=0. В таком случае, уравнения можно смело убрать из системы и продолжить прямой ход метода Гаусса.

    Если мы исключаем из 2-го и 3-го уравнения x1, то ситуация оказывается следующей:

    x1+2x2-x3+3x4=72x1+4x2-2x3+6x4=14x-x+3x+x=-1

    x1+2x2-x3+3x4=72x1+4x2-2x3+6x4+(-2)(x1+2x2-x3+3x4)=14+(-2)×7x-x+3x+x+(-1)(x1+2x2-x3+3x4)=-1+(-1)×7

    x1+2x2-x3+3x4=70=0      -3x2+4x3-2x4=-8

    Из этого следует, что 2-ое уравнение можно смело удалять из системы и продолжать решение.

    Если мы проводим прямой ход метода Гаусса, то одно или несколько уравнений может принять вид   — некоторое число, которое отлично от нуля.

    Это свидетельствует о том, что уравнение, обратившееся в равенство 0=λ, не может обратиться в равенство ни при каких любых значениях переменных. Проще говоря, такая система несовместна (не имеет решения).

    Итог:

    • В случае если при проведении прямого хода метода Гаусса одно или несколько уравнений принимают вид 0=λ, где λ — некоторое число, которое отлично от нуля, то система несовместна.
    • Если же в конце прямого хода метода Гаусса получается система, число уравнений которой совпадает с количеством неизвестных, то такая система совместна и определена: имеет единственное решение, которое вычисляется обратным ходом метода Гаусса.
    • Если при завершении прямого хода метода Гаусса число уравнений в системе оказывается меньше количества неизвестных, то такая система совместна и имеет бесконечно количество решений, которые вычисляются при обратном ходе метода Гаусса.
    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter