Матричный метод решения СЛАУ: примеры решения, обратная матрица, определение

Матричный метод решения СЛАУ: пример решения с помощью обратной матрицы

    В данной статье мы расскажем о матричном методе решения системы линейных алгебраических уравнений, найдем его определение и приведем примеры решения.

    Определение 1

    Метод обратной матрицы — это метод, использующийся при решении СЛАУ в том случае, если число неизвестных равняется числу уравнений.

    Пример 1

    Найти решение системы n линейных уравнений с n неизвестными:

    a11x1+a12x2+...+a1nxn=b1an1x1+an2x2+...+annxn=bn

    Матричный вид записи: А×X=B

    где А=а11а12а1nа21а22а2nаn1аn2аnn - матрица системы.

    X=x1x2xn - столбец неизвестных,

    B=b1b2bn - столбец свободных коэффициентов.

    Из уравнения, которое мы получили, необходимо выразить X. Для этого нужно умножить обе части матричного уравнения слева на A-1:

    A-1×A×X=A-1×B.

    Так как А-1×А=Е, то Е×X=А-1×В или X=А-1×В.

    Замечание

    Обратная матрица к матрице А имеет право на существование только, если выполняется условие det A не равен нулю. Поэтому при решении СЛАУ методом обратной матрицы, в первую очередь находится det А.

    В том случае, если det A не равен нулю, у системы имеется только один вариант решения: при помощи метода обратной матрицы. Если det А = 0, то систему нельзя решить данным методом.

    Пример решения системы линейных уравнений с помощью метода обратной матрицы

    Пример 2

    Решаем СЛАУ методом обратной матрицы:

    2x1-4x2+3x3=1x1-2x2+4x3=33x1-x2+5x3=2

    Как решить?

    • Записываем систему в виде матричного уравнения АX=B, где

    А=2-431-243-15X=x1x2x3B=123.

    • Выражаем из этого уравнения X:

    X=A-1×B

    • Находим определитель матрицы А:

    det A= 2-431-243-15=2×(-2)×5+3×(-4)×4+3×(-1)×1-3×(-2)×3--1×(-4)×5-2×4-(-1)=-20-48-3+18+20+8=-25

    det А не равняется 0, следовательно для этой системы подходит метод решения обратной матрицей.

    • Находим обратную матрицу А-1  при помощи союзной матрицы. Вычисляем алгебраические дополнения Аij к соответствующим элементам матрицы А:

    А11=(-1)(1+1)-24-15=-10+4=-6,

    А12=(-1)1+21445=-(5-12)=7,

    А13=(-1)1+31-23-1=-1+6=5,

    А21=(-1)2+1-43-15=-(-20+3)=17,

    А22=(-1)2+22335-10-9=1,

    А23=(-1)2+32-43-1=-(-2+12)=-10,

    А31=(-1)3+1-43-24=-16+6=-10,

    А32=(-1)3+22314=-(8-3)=-5,

    А33=(-1)3+32-41-2=-4+4=0.

    • Записываем союзную матрицу А*, которая составлена из алгебраических дополнений матрицы А:

    А*=-675171-10-10-50

    • Записываем обратную матрицу согласно формуле:

    A-1=1detA(A*)T: А-1=-125-617-1071-55-100,

    • Умножаем обратную матрицу А-1 на столбец свободных членов В и получаем решение системы:

    X=A-1×B=-125-617-1071-55-100132=-125-6+51-207+3-105-30+0=-101

    Ответx1=-1; x2=0; x3=1

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
    Средняя оценка статьи
    4,5 из 5 (17 голосов)