Свойства определенного интеграла

Свойства определенного интеграла

    Данная статья подробно рассказывает об основных свойствах определенного интеграла. Они доказываются при помощи понятия интеграла Римана и Дарбу. Вычисление определенного интеграла проходит, благодаря 5 свойствам. Оставшиеся из них применяются для оценивания различных выражений.

    Перед переходом к основным свойствам определенного интеграла, необходимо удостовериться в том, что a не превосходит b.

    Основные свойства определенного интрегала

    Определение 1

    Функция y = f(x), определенная при х=а, аналогично справедливому равенству aaf(x)dx=0.

    Доказательство 1

    Отсюда видим, что значением интеграла с совпадающими пределами равняется нулю. Это следствие интеграла Римана, потому как каждая интегральная сумма σ для любого разбиения на промежутке [a; a] и любого выбора точек ζi равняется нулю, потому как xi-xi-1=0, i=1, 2,..., n, значит, получаем, что предел интегральных функций – ноль.

    Определение 2

    Для функции, интегрируемой на отрезке [a; b], выполняется условие abf(x)dx=-baf(x)dx.

    Доказательство 2

    Иначе говоря, если сменить верхний и нижний предел интегрирования местами, то значение интеграла поменяет значение на противоположное. Данное свойство взято из интеграла Римана. Однако, нумерация разбиения отрезка идет с точки х=b.

    Определение 3

    abfx±g(x)dx=abf(x)dx±abg(x)dxприменяется для интегрируемых функций типа y= f(x) и y=g(x), определенных на отрезке [a;b].

    Доказательство 3

    Записать интегральную сумму функции y=f(x)±g(x) для разбиения на отрезки с данным выбором точек ζi: σ=i=1nfζi±gζi·xi-xi-1==i=1nf(ζi)·xi-xi-1±i=1ngζi·xi-xi-1=σf±σg

    где σf и σg являются интегральными суммами функций y = f(x) и y = g(x) для разбиения отрезка. После перехода к пределу при λ=maxi=1, 2,..., n(xi-xi-1)0 получаем, что limλ0σ=limλ0σf±σg=limλ0σg±limλ0σg.

    Из определения Римана это выражение является равносильным.

    Определение 4

    Вынесение постоянного множителя за знак определенного интеграла. Интегрируемая функция из интервала [a; b] с произвольным значением k имеет справедливое неравенство вида abk·f(x)dx=k·abf(x)dx.

    Доказательство 4

    Доказательство свойства определенного интеграла аналогично предыдущему: 

    σ=i=1nk·fζi·(xi-xi-1)==k·i=1nfζi·(xi-xi-1)=k·σflimλ0σ=limλ0(k·σf)=k·limλ0σfabk·f(x)dx=k·abf(x)dx

    Определение 5

    Если функция вида y=f(x) интегрируема на интервале x с ax, bx, получаем, что abf(x)dx=acf(x)dx+cbf(x)dx.

    Доказательство 5

    Свойство считается справедливым для ca; b, для ca и cb. Доказательство проводится аналогично предыдущим свойствам.

    Определение 6

    Когда функция имеет возможность быть интегрируемой из отрезка [a; b], тогда это выполнимо для любого внутреннего отрезка c; da; b.

    Доказательство 6

    Доказательство основывается на свойстве Дарбу: если у имеющегося разбиения отрезка произвести добавление точек, тогда нижняя сумма Дарбу не будет уменьшаться,  а верхняя не будет увеличиваться.

    Определение 7

    Когда функция интегрируема на [a; b] из f(x)0 f(x)0 при любом значении xa; b, тогда получаем, что abf(x)dx0 abf(x)0.

    Свойство может быть доказано при помощи определения интеграла Римана: любая интегральная сумма для любого выбора точек разбиения отрезка и точек ζi с условием, что f(x)0 f(x)0, получаем неотрицательной.

    Доказательство 7

    Если функции y = f(x) и y = g(x) интегрируемы на отрезке [a; b] , тогда следующие неравенства считаются справедливыми:

    abf(x)dxabg(x)dx, если f(x)g(x) xa;babf(x)dxabg(x)dx, если f(x)g(x) xa;b

    Благодаря утверждению знаем, что интегрирование допустимо. Данное следствие будет использовано в доказательстве других свойств.

    Определение 8

    При интегрируемой функции y=f(x) из отрезка [a; b] имеем справедливое неравенство вида abf(x)dxabf(x)dx.

    Доказательство 8

    Имеем, что -f(x)f(x)f(x). Из предыдущего свойства получили, что неравенство может быть интегрировано почленно  и ему соответствует неравенство вида -abf(x)dxabf(x)dxabf(x)dx. Данное двойное неравенство  может быть записано в другой форме: abf(x)dxabf(x)dx.

    Определение 9

    Когда функции y = f(x) и y = g(x) интегрируются из отрезка [a; b] при g(x)0 при любом xa; b, получаем неравенство вида m·abg(x)dxabf(x)·g(x)dxM·abg(x)dx, где m=minxa; bf(x) и M=maxxa; bf(x).

    Доказательство 9

    Аналогичным образом производится доказательство. M и m считаются наибольшим и наименьшим значением функции y = f(x), определенной из отрезка [a; b], тогда mf(x)M. Необходимо умножить двойное неравенство на функцию y = g(x), что даст значение двойного неравенства вида m·g(x)f(x)·g(x)M·g(x). Необходимо проинтегрировать его на отрезке [a; b], тогда получим доказываемое утверждение.

    Следствие: При g(x)=1 неравенство принимает вид m·b-aabf(x)dxM·(b-a).

    Первая формула среднего значения 

    Определение 10

    При y = f(x) интегрируемая на отрезке [a; b] с m=minxa;bf(x) и M=maxxa; bf(x) имеется число μm; M, которое подходит abf(x)dx=μ·b-a.

    Следствие: Когда функция y = f(x) непрерывная из отрезка [a; b], то имеется такое число ca; b, которое удовлетворяет равенству abf(x)dx=f(c)·b-a.

    Первая формула среднего значения в обобщенной форме

    Определение 11

     Когда функции y = f(x) и y = g(x) являются интегрируемыми из отрезка [a; b] с m=minxa; bf(x) и M=maxxa; bf(x), а g(x)>0 при любом значении xa; b. Отсюда имеем, что есть число μm; M, которое удовлетворяет равенству abf(x)·g(x)dx=μ·abg(x)dx.

    Вторая формула среднего значения

    Определение 12

    Когда функция y=f(x) является интегрируемой из отрезка [a; b],  а y=g(x) является монотонной, тогда имеется число, которое ca; b, где получаем справедливое равенство вида abf(x)·g(x)dx=g(a)·acf(x)dx+g(b)·cbf(x)dx

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
    Средняя оценка статьи
    4,3 из 5 (15 голосов)