Нахождение площади фигуры, ограниченной линиями y=f(x), x=g(y)

Нахождение площади фигуры, ограниченной линиями y=f(x), x=g(y)

    В предыдущем разделе, посвященном разбору геометрического смысла определенного интеграла, мы получили ряд формул для вычисления площади криволинейной трапеции:

    S(G)=abf(x)dx  для непрерывной и неотрицательной функции y=f(x) на отрезке [a;b],

    S(G)=-abf(x)dx  для непрерывной и неположительной функции y=f(x) на отрезке [a;b].

    Эти формулы применимы для решения относительно простых задач. На деле же нам чаще придется работать с более сложными фигурами. В связи с этим, данный раздел мы посвятим разбору алгоритмов вычисления площади фигур, которые ограничены функциями в явном виде, т.е. как y=f(x) или x=g(y).

    Формула для вычисления площади фигуры, ограниченной линиями y=f(x) или x=g(y)

    Теорема

    Пусть функции y=f1(x)  и y=f2(x) определены и непрерывны на отрезке [a;b], причем f1(x)f2(x) для любого значения x из [a;b]. Тогда формула для вычисления площади фигуры G, ограниченной линиями x=a, x=b, y=f1(x)  и y=f2(x) будет иметь вид S(G)=abf2(x)-f1(x)dx.

    Похожая формула будет применима для площади фигуры, ограниченной линиями y=c, y=d, x=g1(y) и x=g2(y): S(G)=cd(g2(y)-g1(y)dy.

    Доказательство

    Разберем три случая, для которых формула будет справедлива.

    В первом случае, учитывая свойство аддитивности площади, сумма площадей исходной фигуры G и криволинейной трапеции G1 равна площади фигуры G2. Это значит, что

    Поэтому, S(G)=S(G2)-S(G1)=abf2(x)dx-abf1(x)dx=ab(f2(x)-f1(x))dx.

    Выполнить последний переход мы можем с использованием третьего свойства определенного интеграла.

    Во втором случае справедливо равенство: S(G)=S(G2)+S(G1)=abf2(x)dx+-abf1(x)dx=ab(f2(x)-f1(x))dx

    Графическая иллюстрация будет иметь вид:

    Если обе функции неположительные, получаем: S(G)=S(G2)-S(G1)=-abf2(x)dx--abf1(x)dx=ab(f2(x)-f1(x))dx . Графическая иллюстрация будет иметь вид:

    Перейдем к рассмотрению общего случая, когда  y=f1(x)  и y=f2(x) пересекают ось Ox.

    Точки пересечения мы обозначим как  xi, i=1, 2,..., n-1. Эти точки разбивают отрезок [a; b] на n частей xi-1; xi, i=1, 2,..., n, где α=x0<x1<x2<...<xn-1<xn=b. Фигуру G можно представить объединением фигур Gi, i=1, 2,..., n. Очевидно, что на своем интервале Gi попадает под один из трех рассмотренных ранее случаев, поэтому их площади находятся как S(Gi)=xi-1xi(f2(x)-f1(x))dx, i=1, 2,..., n

    Следовательно, 

    S(G)=i=1nS(Gi)=i=1nxixif2(x)-f1(x))dx==x0xn(f2(x)-f(x))dx=abf2(x)-f1(x)dx

    Последний переход мы можем осуществить с использованием пятого свойства определенного интеграла.

    Проиллюстрируем на графике общий случай.

    Формулу S(G)=abf2(x)-f1(x)dx можно считать доказанной.

    А теперь перейдем к разбору примеров вычисления площади фигур, которые ограничены линиями y=f(x) и x=g(y).

    Примеры вычисления площади фигуры, ограниченной линиями y=f(x) или x=g(y)

    Рассмотрение любого из примеров мы будем начинать с построения графика. Изображение позволит нам представлять сложные фигуры как объединения более простых фигур. Если построение графиков и фигур на них вызывает у вас затруднения, можете изучить раздел об основных элементарных функциях, геометрическом преобразовании графиков функций, а также построению графиков во время исследования функции.

    Пример 1

    Необходимо определить площадь фигуры, которая ограничена параболой y=-x2+6x-5 и прямыми линиями y=-13x-12, x=1, x=4.

    Решение

    Изобразим линии на графике в декартовой системе координат.

    На отрезке [1;4] график параболы y=-x2+6x-5 расположен выше прямой y=-13x-12. В связи с этим, для получения ответа используем формулу, полученную ранее, а также способ вычисления определенного интеграла по  формуле Ньютона-Лейбница:

    S(G)=14-x2+6x-5--13x-12dx==14-x2+193x-92dx=-13x3+196x2-92x14==-13·43+196·42-92·4--13·13+196·12-92·1==-643+1523-18+13-196+92=13

    Ответ: S(G)=13

    Рассмотрим более сложный пример.

    Пример 2

    Необходимо вычислить площадь фигуры, которая ограничена линиями y=x+2, y=x, x=7.

    Решение

    В данном случае мы имеем только одну прямую линию, расположенную параллельно оси абсцисс. Это x=7. Это требует от нас найти второй предел интегрирования самостоятельно.

    Построим график и нанесем на него линии, данные в условии задачи.

    Имея график перед глазами, мы легко можем определить, что нижним пределом интегрирования будет абсцисса точки пересечения графика прямой y=x и полу параболы y=x+2. Для нахождения абсциссы используем равенства:

    y=x+2ОДЗ: x-2x2=x+22x2-x-2=0D=(-1)2-4·1·(-2)=9x1=1+92=2ОДЗx2=1-92=-1ОДЗ

    Получается, что абсциссой точки пересечения является x=2.

    Обращаем ваше внимание на тот факт, что в общем примере на чертеже линии y=x+2 , y=x пересекаются в точке (2;2), поэтому такие подробные вычисления могут показаться излишними. Мы привели здесь такое подробное решение только потому, что в более сложных случаях решение может быть не таким очевидным. Это значит, что координаты пересечения линий лучше всегда вычислять аналитически.

    На интервале [2;7] график функции y=x расположен выше графика функции y=x+2 . Применим формулу для вычисления площади:

    S(G)=27(x-x+2)dx=x22-23·(x+2)3227==722-23·(7+2)32-222-23·2+232==492-18-2+163=596

    Ответ: S(G)=596

    Пример 3

    Необходимо вычислить площадь фигуры, которая ограничена графиками функций y=1x и y=-x2+4x-2.

    Решение

    Нанесем линии на график.

    Определимся с пределами интегрирования. Для этого определим координаты точек пересечения линий, приравняв выражения 1x  и -x2+4x-2. При условии, что x не равно нулю, равенство 1x=-x2+4x-2становится эквивалентным уравнению третьей степени -x3+4x2-2x-1=0 с целыми коэффициентами. Освежить в памяти алгоритм по решению таких уравнений мы можете, обратившись к разделу «Решение кубических уравнений».

    Корнем этого уравнения является х=1-13+4·12-2·1-1=0.

    Разделив выражение -x3+4x2-2x-1 на двучлен x-1, получаем: -x3+4x2-2x-1-(x-1)(x2-3x-1)=0

    Оставшиеся корни мы можем найти из уравнения x2-3x-1=0:

    x2-3x-1=0D=(-3)2-4·1·(-1)=13x1=3+1323.3 ; x2=3-132-0.3

    Мы нашли интервал x1; 3+132, на котором фигура G заключена выше синей и ниже красной линии. Это помогает нам определить площадь фигуры:

    S(G)=13+132-x2+4x-2-1xdx=-x33+2x2-2x-ln x13+132==-3+13233+2·3+1322-2·3+132-ln3+132---133+2·12-2·1-ln 1=7+133-ln3+132

    Ответ: S(G)=7+133-ln3+132

    Пример 4

    Необходимо вычислить площадь фигуры, которая ограничена кривыми y=x3, y=-log2x+1 и осью абсцисс.

    Решение

    Нанесем все линии на график. Мы можем получить график функции y=-log2x+1 из графика y=log2x, если расположим его симметрично относительно оси абсцисс и поднимем на одну единицу вверх. Уравнение оси абсцисс у=0.

    Обозначим точки пересечения линий.

    Как видно из рисунка, графики функций y=x3 и y=0 пересекаются в точке (0;0). Так получается потому, что х=0 является единственным действительным корнем уравнения x3=0.

    x=2 является единственным корнем уравнения -log2x+1=0, поэтому графики функций y=-log2x+1  и y=0 пересекаются в точке (2;0).

    x=1 является единственным корнем уравнения x3=-log2x+1. В связи с этим графики функций y=x3 и y=-log2x+1 пересекаются в точке (1;1). Последнее утверждение может быть неочевидным, но уравнение x3=-log2x+1 не может иметь более одного корня, так как функция y=x3 является строго возрастающей, а функция y=-log2x+1 строго убывающей.

    Дальнейшее решение предполагает несколько вариантов.

    Вариант №1

    Фигуру G мы можем представить как сумму двух криволинейных трапеций, расположенных выше оси абсцисс, первая из которых располагается ниже средней линии на отрезке x0; 1, а вторая ниже красной линии на отрезке x1;2. Это значит, что площадь будет равна S(G)=01x3dx+12(-log2x+1)dx.

    Вариант №2

    Фигуру G можно представить как разность двух фигур, первая из которых расположена выше оси абсцисс и ниже синей линии на отрезке x0; 2, а вторая между красной и синей линиями на отрезке x1; 2. Это позволяет нам найти площадь следующим образом:

    S(G)=02x3dx-12x3-(-log2x+1)dx

    В этом случае для нахождения площади придется использовать формулу вида S(G)=cd(g2(y)-g1(y))dy.  Фактически, линии, которые ограничивают фигуру, можно представить в виде функций от аргумента y.

    Разрешим уравнения y=x3 и -log2x+1 относительно x

    y=x3x=y3y=-log2x+1log2x=1-yx=21-y

    Получим искомую площадь:

    S(G)=01(21-y-y3)dy=-21-yln 2-y4401==-21-1ln 2-144--21-0ln 2-044=-1ln 2-14+2ln 2=1ln 2-14

    Ответ: S(G)=1ln 2-14

    Пример 5

    Необходимо вычислить площадь фигуры, которая ограничена линиями y=x, y=23x-3, y=-12x+4.

    Решение

    Красной линией нанесем на график линию, заданную функцией y=x. Синим цветом нанесем линию y=-12x+4, черным цветом обозначим линию y=23x-3.

    Отметим точки пересечения.

    Найдем точки пересечения графиков функций y=x и y=-12x+4 :

    x=-12x+4ОДЗ: x0x=-12x+42x=14x2-4x+16x2-20x+64=0D=(-20)2-4·1·64=144x1=20+1442=16; x2=20-1442=4Проверка:x1=16=4, -12x1+4=-12·16+4=-4x1=16 не является решением уравненияx2=4=2, -12x2+4=-12·4+4=2x2=4 является решением уравниния (4; 2) точка пересечения y=x и y=-12x+4

    Найдем точку пересечения графиков функций y=x  и y=23x-3:

    x=23x-3ОДЗ: x0x=23x-32x=49x2-4x+94x2-45x+81=0D=(-45)2-4·4·81=729x1=45+7298=9, x245-7298=94Проверка:x1=9=3, 23x1-3=23·9-3=3x1=9 является решением уравнения (9; 3) точка пересечания y=x и y=23x-3x2=94=32, 23x1-3=23·94-3=-32x2=94 не является решением уравнения

    Найдем точку пересечения линий y=-12x+4  и y=23x-3:

    -12x+4=23x-3-3x+24=4x-187x=42x=6-12·6+4=23·6-3=1(6; 1) точка пересечения y=-12x+4 и y=23x-3

    Дальше мы можем продолжить вычисления двумя способами.

    Способ №1

    Представим площадь искомой фигуры как сумму площадей отдельных фигур.

    Тогда площадь фигуры равна:

    S(G)=46x--12x+4dx+69x-23x-3dx==23x32+x24-4x46+23x32-x23+3x69==23·632+624-4·6-23·432+424-4·4++23·932-923+3·9-23·632-623+3·6==-253+46+-46+12=113

    Способ №2

    Площадь исходной фигуры можно представить как сумму двух других фигур.

    Тогда решим уравнение линии относительно x, а только после этого применим формулу вычисления площади фигуры.

    y=xx=y2 красная линияy=23x-3x=32y+92 черная линияy=-12x+4x=-2y+8 синяя линия

    Таким образом, площадь равна:

    S(G)=1232y+92--2y+8dy+2332y+92-y2dy==1272y-72dy+2332y+92-y2dy==74y2-74y12+-y33+3y24+92y23=74·22-74·2-74·12-74·1++-333+3·324+92·3--233+3·224+92·2==74+2312=113

    Как видите, значения совпадают.

    Ответ: S(G)=113

    Итоги

    Для нахождения площади фигуры, которая ограничена заданными линиями нам необходимо построить линии на плоскости, найти точки их пересечения, применить формулу для нахождения площади. В данном разделе мы рассмотрели наиболее часто встречающиеся варианты задач.

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
    Средняя оценка статьи
    4,9 из 5 (20 голосов)