Метод трапеций

Метод трапеций

    Сегодня мы познакомимся с еще одним методом численного интегрирования, методом трапеций. С его помощью мы будем вычислять определенные интегралы с заданной степенью точности. В статье мы опишем суть метода трапеций, разберем, как выводится формула, сравним метод трапеции с методом прямоугольника, запишем оценку абсолютной погрешности метода. Каждый из разделов мы проиллюстрируем примерами для более глубокого понимания материала.

    Метод трапеций

    Предположим, что нам нужно приближенно вычислить определенный интеграл abf(x)dx, подынтегральная функция которого y=f(x) непрерывна на отрезке [a;b]. Для этого разделим отрезок [a;b] на несколько равных интервалов длины h точками  a=x0<x1<x2<...<xn-1<xn=b. Обозначим количество полученных интервалов как n.

    Найдем шаг разбиения: h=b-an. Определим узлы из равенства xi=a+i·h, i=0, 1,..., n.

    На элементарных отрезках рассмотрим подынтегральную функцию xi-1; xi, i=1, 2,.., n.

    При бесконечном увеличении n сведем все случаи к четырем простейшим вариантам:

    Выделим отрезки xi-1; xi, i=1, 2,..., n. Заменим на каждом из графиков функцию y=f(x) отрезком прямой, который проходит через точки с координатами xi-1; fxi-1 и xi; fxi. Отметим их на рисунках синим цветом.

    Возьмем выражение f(xi-1)+f(xi)2·h в качестве приближенного значения интеграла xi-1xif(x)dx. Т.е. примем xi-1xif(x)dxf(xi-1)+f(xi)2·h.

    Давайте посмотрим, почему метод численного интегрирования, который мы изучаем, носит название метода трапеций. Для этого нам нужно выяснить, что с точки зрения геометрии означает записанное приближенное равенство.

    Для того, чтобы вычислить площадь трапеции, необходимо умножить полусуммы ее оснований на высоту. В первом случае площадь криволинейной трапеции примерно равна трапеции с основаниями  f(xi-1), f(xi) высотой h. В четвертом из рассматриваемых нами случаев заданный интеграл xi-1xf(x)dx приближенно равен площади трапеции с основаниями -f(xi-1), -f(xi)  и высотой h, которую необходимо взять со знаком «-». Для того, чтобы вычислить приближенное значение определенного интеграла xi-1xif(x)dx во втором и третьем из рассмотренных случаев, нам необходимо найти разность площадей красной и синей областей, которые мы отметили штриховкой на расположенном ниже рисунке.

    Подведем итоги. Суть метода трапеций заключается в следующем: мы можем представить определенный интеграл abf(x)dx  в виде суммы интегралов вида xi-1xif(x)dx на каждом элементарном отрезке и в последующей приближенной замене xi-1xif(x)dxf(xi-1)+f(xi)2·h.

    Формула метода трапеций

    Вспомним пятое свойство определенного интеграла: abf(x)dx=i=1nxi-1xif(x)dx. Для того, чтобы получить формулу метода трапеций, необходимо вместо интегралов xi-1xif(x)dx подставить их приближенные значения: xi-1xif(x)dx=i=1nxi-1xif(x)dxi=1nf(xi-1)+f(xi)2·h==h2·(f(x0)+f(x1)+f(x1)+f(x2)+f(x2)+f(x3)+...+f(xn))==h2·f(x0)+2i=1n-1f(xi)+f(xn)xi-1xif(x)dxh2·f(x0)+2i=1n-1f(xi)+f(xn)

    Определение 1

    Формула метода трапеций: xi-1xif(x)dxh2·f(x0)+2i=1n-1f(xi)+f(xn)

    Оценка абсолютной погрешности метода трапеций

    Оценим абсолютную погрешность метода трапеций следующим образом:

    Определение 2

    δnmaxx[a;b]f''(x)·n·h312=maxx[a;b]f''(x)·b-a312n2

    Графическая иллюстрация метода трапеций

    Графическая иллюстрация метода трапеций приведена на рисунке:

    Примеры вычислений

    Разберем примеры использования метода трапеций для приближенного вычисления определенных интегралов. Особое внимание уделим двум разновидностям заданий:

    • вычисление определенного интеграла методом трапеций для данного числа разбиения отрезка n;
    • нахождение приближенного значения определенного интеграла с оговоренной точностью.

    При заданном n все промежуточные вычисления необходимо проводить с достаточно высокой степенью точности. Точность вычислений должна быть те выше, чем больше n.

    Если мы имеем заданную точность вычисления определенного интеграла, то все промежуточные вычисления необходимо проводить на два и более порядков точнее. Например, если задана точность до 0,01, то промежуточные вычисления мы проводим с точностью до 0,0001 или 0,00001. При больших n промежуточные вычисления необходимо проводить с еще более высокой точностью.

    Рассмотрим приведенное выше правило на примере. Для этого сравним значения определенного интеграла, вычисленного по формуле Ньютона-Лейбница и полученного по методу трапеций.

    Итак, 057dxx2+1=7arctg(x)05=7arctg 59,613805.

    Пример 1

    Вычислим по методу трапеций определенный интеграл 057x2+1dx для n равным 10.

    Решение

    Формула метода трапеций имеет вид xi-1xif(x)dxh2·f(x0)+2i=1n-1f(xi)+f(xn)

    Для того, чтобы применить формулу, нам необходимо вычислить шаг h по формуле h=b-an , определить узлы xi=a+i·h, i=0, 1,..., n, вычислить значения подынтегральной функции f(x)=7x2+1.

    Шаг разбиения вычисляется следующим образом: h=b-an=5-010=0.5. Для вычисления подынтегральной функции в узлах xi=a+i·h, i=0, 1,..., n будем брать четыре знака после запятой:

    i=0: x0=0+0·0.5=0f(x0)=f(0)=702+1=7i=1: x1=0+1·0.5=0.5f(x1)=f(0.5)=70,52+1=5,6...i=10: x10=0+10·0.5=5f(x10)=f(5)=752+10,2692

    Внесем результаты вычислений в таблицу:

    i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
    xi 0 0.5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5
    f(xi) 7 5,6 3,5 2,1538 1,4 0,9655 0,7 0,5283 0,4117 0,3294 0,2692

    Подставим полученные значения в формулу метода трапеций: 057dxx2+1h2·f(x0)+2i=1n-1f(xi)+f(xn)==0,52·7+2·5,6+3,5+2,1538+1,4+0,9655+0,7+0,5283+0,4117+0,3294+0,2692=9,6117

    Сравним наши результаты с результатами, вычисленными по формуле Ньютона-Лейбница. Полученные значения совпадают до сотых.

    Ответ: 057dxx2+1=9,6117

    Пример 2

    Вычислим по методу трапеций значение определенного интеграла 12112x4+13x-160dx с точностью до 0,01.

    Решение

    Согласно условию задачи a = 1; b = 2, f(x)=112x4+13x-160; δn0,01.

    Найдем n, которое равно количеству точек разбиения отрезка интегрирования, с помощью неравенства для оценки абсолютной погрешности δnmaxx[a;b]f''(x)·(b-a)312n2. Сделаем мы это следующим образом: мы найдем значения n, для которых будет выполняться неравенство maxx[a;b]f''(x)·(b-a)312n20,01. При данных n формула трапеций даст нам приближенное значение определенного интеграла с заданной точностью.

    Для начала найдем наибольшее значение модуля второй производной функции на отрезке [1; 2].

    f'(x)=112x4+13x-160'=13x3+13f''(x)=13x3+13'=x2

    Вторая производная функция является квадратичной параболой f''(x)=x2. Из ее свойств мы знаем, что она положительная и возрастает на отрезке [1; 2]. В связи с этим maxx[a;b]f''(x)=f''(2)=22=4.

    В приведенном примере процесс нахождения maxx[a;b]f''(x) оказался достаточно простым. В сложных случаях для проведения вычислений можно обратиться к наибольшим и наименьшим значениям функции. После рассмотрения данного примера мы приведем альтернативный метод нахождения maxx[a;b]f''(x).

    Подставим полученное значение в неравенство maxx[a;b]f''(x)·(b-a)312n20,01

    4·(2-1)312n20,01n21003n5,7735

    Количество элементарных интервалов, на которые разбивается отрезок интегрирования n является натуральным числом. Для поведения вычислений возьмем n равное шести. Такое значение n позволит нам достичь заданной точности метода трапеций при минимуме расчетов.

    Вычислим шаг: h=b-an=2-16=16.

    Найдем узлы xi=a+i·h, i=1, 0,..., n, определим значения подынтегральной функции в этих узлах:

    i=0: x0=1+0·16=1f(x0)=f(1)=112·14+13·1-160=0,4i=1: x1=1+1·16=76f(x1)=f76=112·764+13·76-1600,5266...i=6: x10=1+6·16=2f(x6)=f(2)=112·24+13·2-1601,9833

    Результаты вычислений запишем в виде таблицы:

    i 0 1 2 3 4 5 6
    xi 1 76 43 32 53 116 2
    fxi 0,4 0,5266 0,6911 0,9052 1,1819 1,5359 1,9833

    Подставим полученные результаты в формулу трапеций:

    12112x4+13x-160dxh2·f(x0)+2i=1n-1f(xi)+f(xn)==112·0,4+2·0,5266+0,6911+0,9052+1,1819+1,5359+1,98331,0054

    Для проведения сравнения вычислим исходный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница:

    12112x4+13x-160dx=x560+x26-x6012=1

    Как видим, полученной точности вычислений мы достигли.

    Ответ: 12112x4+13x-160dx1,0054

    Для подынтегральных функций сложного вида нахождение числа n из неравенства для оценки абсолютной погрешности не всегда просто. В этом случае будет уместен следующий метод.

    Обозначим приближенное значение определенного интеграла, которое было получено по методу трапеций для n узлов, как In. Выберем произвольное число n. По формуле метода трапеций вычислим исходный интеграл при одинарном (n=10) и удвоенном (n=20) числе узлов и найдем абсолютную величину разности двух полученных приближенных значений I20-I10.

    Если абсолютная величина разности двух полученных приближенных значений меньше требуемой точности I20-I10<δn, то мы прекращаем вычисления и выбираем значение  I20 , которое можно округлить до требуемого порядка точности.

    Если абсолютная величина разности двух полученных приближенных значений больше требуемой точности, то необходимо повторить действия с удвоенным количеством узлов (n=40).

    Такой метод требует проведения большого объема вычислений, поэтому разумно использовать вычислительную технику для экономии времени.

    Решим с помощью приведенного выше алгоритма задачу. С целью экономии времени опустим промежуточные вычисления по методу трапеций.

    Пример 3

    Необходимо вычислить определенный интеграл 02xexdx по методу трапеций с точностью до 0,001.

    Решение

    Возьмем n равное 10 и 20. По формуле трапеций получим  I10=8,4595380, I20=8,4066906.

    I20-I10=8,4066906-8,4595380=0,0528474>0,001, что требует продолжения вычислений.

    Возьмем n равное 40: I40=8,3934656.

    I40-I20=8,3934656-8,4066906=0,013225>0,001, что также требует продолжения вычислений.

    Возьмем n равное 80: I80=8,3901585.

    I80-I40=8,3901585-8,3934656=0,0033071>0,001, что требует проведения еще одного удвоения числа узлов.

    Возьмем n равное 160: I160=8,3893317.

    I160-I80=8,3893317-8,3901585=0,0008268<0,001

    Получить приближенное значение исходного интеграла можно округлив I160=8,3893317 до тысячных: 02xexdx8,389.

    Для сравнения вычислим исходный определенный интеграл по формуле Ньютона-Лейбница: 02xexdx=ex·(x-1)02=e2+18,3890561. Требуемая точность достигнута.

    Ответ: 02xexdx8,389

    Погрешности

    Промежуточные вычисления для определения значения определенного интеграла проводят в большинстве своем приближенно. Это значит, что при увеличении n начинает накапливаться вычислительная погрешность.

    Сравним оценки абсолютных погрешностей метода трапеций и метода средних прямоугольников:

    δnmaxx[a;b]f''(x)n·h312=maxx[a;b]f''(x)·b-a312n2δnmaxx[a;b]f''(x)n·h324=maxx[a;b]f''(x)·b-a324n2.

    Метод прямоугольников для заданного n при одинаковом объеме вычислительной работы дает вдвое меньшую погрешность. Это делает метод более предпочтительным в тех случаях, когда известны значения функции в средних отрезках элементарных отрезков.

    В тех случаях, когда интегрируемые функции задаются не аналитически, а в виде множества значений в узлах, мы можем использовать метод трапеций.

    Если сравнивать точность метода трапеций и метода правых и левых прямоугольников, то первый метод превосходит второй в точности результата.

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter