Метод подведения под знак дифференциала при интегрировании

Метод подведения под знак дифференциала при интегрировании

    Метод, описанный в этой статье, основывается на равенстве f(g(x))d(g(x))=F(g(x))+C. Его цель – свести подынтегральную функцию к виду f(g(x))d(g(x)). Для его применения важно иметь под рукой таблицу первообразных и таблицу производных основных элементарных функций, записанную в виде дифференциалов.

    Таблица первообразных

    d(C)=0d(xn)=nxn-1dxd(ln(x))=dxxd(lognx)=dxx ln(n)d(ex)=exdxd(ax)=axln(a)dx d(sin x)=cos xdxd(cos x)=-sin xdxd(tg x)=dx1+x2d(ctg) -dxsin2x darcsin x=dx1-x2darccos x=-dx1-x2darctg x=dx1-x2darctg x=-dx1-x2

    Таблица производных основных элементарных функций

    xp·dx=xp+1p+1+C, p-10·dx=Cax·dx=axln a+C, a1ex·dx=ex+Cdxx=lnx+Ccos x·dx=sin x+Csin x·dx=-cos x+Cdxcos2x=tg x+Cdxsin2 x=-ctg xdx1-x2=arcsin x+Cdx1+x2=arctg x+C dxa2+x2=1aarctgxa+Cdxa2-x2=arcsinxa+Cdxx2-a2=12alnx-ax+a+Cdxx2±a=lnx+x2±a+Cdxsin x=ln1-cos xsin x+Cdxcos x=ln1+sin xcos x+C
    Пример 1

    Найдите неопределенный интеграл sin(x2)d(x2).

    Решение

    Мы видим, что в условии подынтегральное выражение уже находится под знаком дифференциала. Согласно таблице первообразных, sin xdx=-cos x+C, значит, sin(x2)d(x2)=-cos(x2)+C.

    Ответ: sin(x2)d(x2)=-cos(x2)+C

    Пример 2

    Найдите множество первообразных функции y=ln3xx.

    Решение 

    Для того чтобы найти ответ, нам потребуется вычислить ln3xxdx. Решим задачу с помощью метода подведения под знак дифференциала. Согласно таблице производных, dxx=dln x, значит, ln3xxdx=ln3xd(ln x). Используя ту же таблицу, можем сразу записать ответ: ln3xxdx=ln3xd(ln x)=ln4 x4+C.

    Здесь требуется небольшое пояснение. Мы можем ввести еще одну переменную z=ln x и получить ln3xxdx=ln3xd(ln x)=ln x=z=z3dz. Тогда, используя таблицу первообразных для степенных функций, можно записать, что z3dz=z44+C. Теперь вернемся к исходной переменной и получим: z44+C=z=ln x=ln4x4+C.

    Ответ: ln3xxdx=ln4x4+C.

    С помощью метода подведения под знак дифференциала также можно вычислить первообразные для тангенса и котангенса.

    Пример 3

    Найдите интеграл тангенса tg xdx.

    Решение

    tg xdx=sin xdxcos x

    Поскольку sin xdx=-d(cos x), то можно подвести sin xdxcos x=-d(cos x)cos x. Берем таблицу первообразных и находим, что -d(cos x)cos x=-lncos x+C1=-lncos x+C, где C=-C1.

    Ответ: tg xdx=-lncos x+C.

    Самым сложным в применении этого метода является определение той части функции, которую нужно подвести под знак дифференциала.  Умение быстро делать это приходит с опытом.

    Пример 4

    Вычислите неопределенный интеграл x2dx1+x6.

    Решение

    Согласно таблице производных, d(x3)=3x2dx, значит, x2dx=13d(x3). Используем таблицу основных интегралов и находим, что dx1+x2=arcrg x+C. Значит, решить задачу методом подведения под знак дифференциала можно так:

    x2dx1+x6=13d(x3)1+x32=x3=t==13dt1+t2=13arctg (t)+C=x3=t=13arctg(x3)+C

    Ответ: x2dx1+x6=13arctg(x3)+C

    Пример 5

    Вычислите неопределенный интеграл dxx2+2x+4.

    Решение

    Начнем с преобразования подкоренного выражения.

    x2+2x+4=x2+2x+1-1+4=x2+2x+1+3=x+12+3

    После этого можно записать, что dxx2+2x+4=dxx+12+3.

    Поскольку d(x+1) = dx, то dxx+12+3=dx(x+1)x+12+3=x+1=z=dzz2+3.

    Посмотрим в таблицу первообразных и найдем ответ:

    dzz2+3=lnz+z2+3+C=z=x+1=lnx+1+(x+1)2+3+C==lnx+1+x2+2x+4+C

    Ответ: dxx2+2x+4=lnx+1+x2+2x+4+C

    Зачастую предварительные преобразования подынтегрального выражения бывают весьма сложными.

    Пример 6

    Найдите множество первообразных функции xdx4x2+2x+1.

    Решение

    Начнем также с преобразования выражения под интегралом.

    xdx4x2+2x+1=xdx4x212x+14=xdx2x2+12x+14==12xdxx2+12x+116-116+14=12xdxx+142+316

    Теперь подведем то, что получилось, под знак дифференциала.

    Поскольку dx+142+316=x+142+316'dx=2·x+142dx=2xdx+dx2,то:

    2xdx=dx+142+316-dx2xdx=12dx+142+316-dx4

    Следовательно, мы можем записать, что:

    12xdxx+142+316=1212dx+142+316-dx4x+142+316==14dx+142+316x+142+316-18dxx+142+316

    Исходя из dx=dx+14, можно преобразовать выражение так:

    14dx+142+316x+142+316-18dxx+142+316==14dx+142+316x+142+316-18dx+14x+142+316==x+142+316=zx+14=t=14z-12dz-18dtt2+316

    В итоге у нас получились два интеграла, значения которых можно взять из таблицы.

    14z-12dz-18dtt2+316=14·1-12+1z-12+1-18lnt+t2+316+C==12z12-18lnt+t2+316+C==12x+142+31612-18lnx+14+x+142+316+C==12x2+12x+14-18lnx+14+x2+12x+14+C

    Ответ: xdx4x2+2x+1=12x2+12x+14-18lnx+14+x2+12x+14+C

    Советуем вам также прочесть статью про другие методы интегрирования.

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter