Использование рекуррентных формул при интегрировании

Использование рекуррентных формул при интегрировании

    В этой статье мы расскажем, что такое рекуррентные формулы и как использовать их при интегрировании. Мы не будем перечислять все возможные варианты, а лишь сформулируем общий принцип их получения.

    Рекуррентные формулы выражают n-ный член последовательности через предыдущие члены. Их можно вывести путем преобразования подынтегральной функции с помощью метода интегрирования по частям.

    Допустим, мы вычисляем неопределенный интеграл с помощью рекуррентной формулы Jn(x)=cos x·sinn-1(x)n+n-1nJn-2(x).

    Расчет будет выглядеть следующим образом:

    J5(x)=sin5xdx=-cos x·sin4x5+45J3(x)==-cos x·sin4x5+45sin3xdx==-cos x·sin4x5+45-cos x·sin2x3+23sin xdx==-cos x·sin4x5-4cos x·sin2 x15-815cos x+C

    Теперь рассмотрим, как именно была выведена формула Jn(x)=sinnxdx=-cos x·sinn-1(x)n+n-1nJn-2(x). Вспомним основные тригонометрические формулы и запишем:

    Jn(x)=sinnxdx=sinn-2x·sin2xdx=sinn-2x·(1-cos2x)dx==sinn-2xdx-sinn-2x·cos2xdx=Jn-2(x)-sinn-2x·cos2xdx

    Получившийся в итоге интеграл можно взять, используя метод интегрирования по частям. Берем в качестве функции u(x)cos x, тогда dvx=sinn-2x·cos xdx.

    dux=-sin xdx, v(x)=sinn-2x·cos xdx=sinn-2xd(sin x)=sinn-1xn-1

    Значит,

    sinn-2x·cos2xdx=u(x)v(x)-v(x)d(u(x))==sinn-1x·cos xn-1+1n-1sinnxdx=sinn-1x·cos xn-1+1n-1Jn(x)

    Теперь вернемся к тому интегралу, что был у нас в начале:

    Jn(x)=sinnxdx=Jn-2(x)-sinn-2x·cos2xdx==Jn-2(x)-sinn-1x·cos xn-1+1n-1Jn(x)==Jn-2(x)-sinn-1x·cos xn-1-1n-1Jn(x)

    Таким образом, мы получим следующее:

    Jn(x)=Jn-2(x)-sinn-1x·cos xn-1-1n-1Jn(x)1+1n-1Jn(x)=Jn-2(x)-sinn-1x·cos xn-1Jn(x)=-cos x·sinn-1(x)n+n-1nJn-2(x)

    Это и есть то, что нам нужно было доказать.

    Другие рекуррентные формулы могут быть выведены точно таким же образом.

    Определение 1
    • Чтобы найти интеграл вида Jn(x)=sinnxdx, нужно использовать формулу Jn(x)=-cos x·sinn-1(x)n+n-1nJn-2(x), где n является натуральным числом.
    • Если нам надо вычислить интеграл вида Jn(x)=dxsinn(x), то для этого нам пригодится формула Jn(x)=cos x(n-1)·sinn-1x+n-2n-1Jn-2(x).
    • Для вычисления интеграла Kn(x)=cosn(x)dx применяется рекуррентная формула Kn(x)=sin x·cosn-1(x)n+n-1nKn-2(x).
    • Чтобы найти интеграл вида Kn(x)=sin x·cosn-1(x)n+n-1nKn-2(x), берем формулу Kn(x)=sin x(n-1)·cosn-1x+n-2n-1Kn-2(x).

    Пример 1

    Вычислите неопределенный интеграл cos-3xdx.

    Решение

    Нам потребуется рекуррентная формула, указанная в пункте 4. Значение n при этом будет равно трем.

    Из таблицы первообразных мы знаем, что cos-1xdx=ln1+sin xcos x+C1, следовательно,

    cos-3xdx=sin x2cos2x+12cos-1xdx==sin x2 cos2x+12ln1+sin xcos x+C

    Добавим к нашему списку формул еще одну. Она пригодится в том случае, если нужно выполнить интегрирование простейших дробей четвертого типа.

    Jn=dxx2+px+qn==2x+p(n-1)(4q-p2)(x2+px+q)n-1+2n-3n-1·24q-p2·Jn-1

    Она выводится путем преобразования подынтегральной функции с дальнейшим интегрированием по частям.

    dxx2+px+qn=dxx+p22+4q-p24n=z=x+p2==dzz2+4q-p24n=44q-p2z2+4q-p24-z2dzz2+4q-p24n==44q-p2dzz2+4q-p24n-1-44q-p2z2dzz2+4q-p24n-1

    Получившийся в итоге интеграл мы берем по частям.

    Ответы: dv(z)=zdzz2+4q-p24n-1

    Пример 2

    Найдите множество первообразных функции 1(x2+3x+8)3.

    Решение

    Из условия мы знаем, что q = 8, p = 3, а n = 3. Для вычисления берем рекуррентную формулу:

    dx(x2+3x+8)3==2x+3(3-1)(4·8-32)x2+3x+83-1+2·3-33-1·24·8-32·dx(x2+3x+8)2==2x+346(x2+3x+8)2+323·dx(x2+3x+8)2==применяем формулу вновь для n=2==2x+346(x2+3x+8)2++323·2x+3(2-1)(4·8-32)x2+3x+82-1+2·2-32-1·24·8-32·dxx2+3x+8==2x+346(x2+3x+8)2+3529·2x+3x2+3x+8+6529·dxx2+3x+8==выделяем полный квадрат в знаменателе==2x+346(x2+3x+8)2+3529·2x+3x2+3x+8+6529·dxx+322+234==2x+346(x2+3x+8)2+3529·2x+3x2+3x+8+6529·223·arctg2x+323+C==2x+346(x2+3x+8)2+3529·2x+3x2+3x+8+1252923·arctg2x+323+C

    Ответ: dx(x2+3x+8)3=2x+346(x2+3x+8)2+3529·2x+3x2+3x+8+1252923·arctg2x+323+C

    Подводя итоги статьи, отметим, что применение рекуррентных формул делает интегрирование более быстрым и простым, однако в некоторых случаях можно обойтись без них, воспользовавшись основными методами интегрирования.

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter