Интегрирование тригонометрических функций

Интегрирование тригонометрических функций

    На практике часто приходится вычислять интегралы трансцендентных функций, которые содержат тригонометрические функции. В рамках этого материала мы опишем основные виды подынтегральных функций и покажем, какие методы можно использовать для их интегрирования.

    Интегрирование синуса, косинуса, тангенса и котангенса

    Начнем с методов интегрирования основных тригонометрических функций – sin, cos, tg, ctg. Используя таблицу первообразных, сразу запишем, что sin xdx=-cos x+C, а cos xdx=sin x+C.

    Для вычисления неопределенных интегралов функций tg и ctg можно воспользоваться подведением под знак дифференциала:

    tg xdx=sin xcos xdx=d(cos x)=-sin xdx==-d(cos x)cos x=-lncos x+Cctg xdx=cos xsin xdx=d(sin x)=cos xdx==d(sin x)sin x=lnsin x+C

    Как же у нас получились формулы dxsin x=ln1-cos xsin x+C и dxcos x=ln1+sin xcos x+C, взятые из таблицы первообразных? Поясним только один случай, поскольку второй будет понятен по аналогии.

    Используя метод подстановки, запишем:

    dxsin x=sinx=tx=arcsin ydx=dt1-t2=dtt1-t2

    Здесь нам нужно интегрировать иррациональную функцию. Берем тот же метод подстановки:

    dtt1-t2=1-t2=z2t=1-z2dt=-zdz1-z2==-zdzz1-z2·1-z2=dzz2-1=dz(z-1)(z+)==12dzz-1-12dzz+1=12lnz-1-12z+1+C==12lnz-1z+1+C=lnz-1z+1+C

    Теперь производим обратную замену z=1-t2 и t = sin x:

    dxsin x=dtt1-t2=lnz-1z+1+C==ln1-t2-11-t2+1+C=ln1-sin2 x-11-sin2 x+1+C==lncos x-1cos x+1+C=ln(cos x-1)2sin2x+C==lncos x-1sin x+C

    Отдельно разберем случаи с интегралами, которые содержат степени тригонометрических функций, таких, как sinn xdx, cosn xdx, dxsinn x, dxcosn x.

    О том, как их правильно вычислять, можно прочесть в статье об интегрировании с использованием рекуррентных формул. Если вы знаете, каким образом выведены эти формулы, то легко сможете брать интегралы вроде sinn x·cosm xdx с натуральными m и n.

    Если у нас имеется комбинация тригонометрических функций с многочленами или показательными функциями, то их придется интегрировать по частям. Советуем прочесть статью, посвященную методам нахождения интегралов  Pn(x)·sin (ax)dx, Pn(x)·cos (ax)dx, ea·x·sin (ax)dx, ea·x·cos (ax)dx.

    Наиболее сложными являются задачи, в которых подынтегральная функция включает в себя тригонометрические функции с разными аргументами. Для этого нужно пользоваться основными формулами тригонометрии, так что желательно помнить их наизусть или держать запись под рукой.

    Пример 1

    Найдите множество первообразных функции y=sin (4x)+2cos2 (2x)sin x·cos (3x)+2cos2x2-1·sin (3x).

    Решение

    Воспользуемся формулами понижения степени и запишем, что cos2x2=1+cos x2, а cos22x=1+cos 4x2. Значит,

    y=sin (4x)+2cos2 (2x)sin x·cos (3x)+2cos2x2-1·sin (3x)=sin (4x)+2·1+cos 4x2sin x·cos (3x)+2·1+cos x2-1·sin (3x)==sin (4x)+cos(4x)+1sin x·cos (3x)+cos x·sin (3x)

    В знаменателе у нас стоит формула синуса суммы. Тогда можно записать так:

    y=sin (4x)+cos(4x)+1sin x·cos (3x)+cos x·sin (3x)=sin (4x)+cos(4x)+1sin(4x)==1+cos (4x)sin (4x)

    У нас получилась сумма 3-х интегралов.

    sin (4x)+cos(4x)+1sin x·cos (3x)+cos x·sin (3x)dx==dx+cos(4x)dxsin (4x)+dxsin (4x)==x+14lnd(sin(4x))sin(4x)+14lncos (4x)-1sin (4x)==14lnsin (4x)+14lncos (4x)-1sin (4x)+C=x+14·lncos4x-1+C

    В некоторых случаях тригонометрические  функции, находящиеся под интегралом, можно свести к дробно рациональным выражениям с использованием метода стандартной подстановки. Для начала возьмем формулы, которые выражают sin, cos и tg через тангенс половинного аргумента:

    sin x=2tgx21+tg2x2, sin x=1-tg2x21+tg2x2,  tg x=2tgx21-tg2x2

    Также нам нужно будет выразить дифференциал dx через тангенс половинного угла:

    Поскольку dtgx2=tgx2'dx=dx2cos2x2, то

    dx=2cos2x2dtgx2=2dtgx21cos2x2=2dtgx2cos2x2+sin2x2cos2x2=2dtgx21+tg2x2

    Таким образом, sin x=2z1+z2, cos x1-z21+z2, tg x2z1-z2, dx=2dz1+z2 при z=tgx2.

    Пример 2

    Найдите неопределенный интеграл dx2sin x+cos x+2.

    Решение

    Используем метод стандартной тригонометрической подстановки.

    2sin x+cos x+2=22z1+z2+1-z21+z2=z2+4z+31+z2dx2sin x+cos x+2=2dz1+z2z2+4z+31+z2=2dzz2+4z+3

    Получим, что dx2sin x+cos x+2=2dzz2+4z+3.

    Теперь мы можем разложить подынтегральную функцию на простейшие дроби и получить сумму двух интегралов:

    dx2sin x+cos x+2=22dzz2+4z+3=2121z+1-1z+3dz==dzz+1-Cz+3=lnz+1-lnz+3+C=lnz+1z+3+C

    Далее производим обратную замену z=tgx2:

    dx2sin x+cos x+2=lnz+1z+3+C=lntgx2+1tgx2+3+C

    Ответ: dx2sin x+cos x+2=lntgx2+1tgx2+3+C

    Важно отметить, что те формулы, которые выражают фукнции через тангенс половинного аргумента, не являются тождествами, следовательно, получившееся в итоге выражение lntgx2+1tgx2+3+C – это множество первообразных функции y=12sin x+cos x+2 только на области определения.

    Для решения других типов задач можно использовать основные методы интегрирования.

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
    Средняя оценка статьи
    5,0 из 5 (11 голосов)