Интегрирование простейших дробей

Интегрирование простейших дробей

    Прежде, чем приступить к интегрированию простейших дробей для нахождения неопределенного интеграла дробно рациональной функции, рекомендуется освежить в памяти раздел «Разложение дроби на простейшие».

    Пример 1

    Найдем неопределенный интеграл 2x3+3x3+xdx .

    Решение

    Выделим целую часть, проведя деление столбиком многочлена на многочлен, учитывая тот факт, что степень числителя подынтегральной функции равна степени знаменателя:

    Поэтому 2x3+3x3+x=2+-2x+3x3+x . Мы получили правильную рациональную дробь -2x+3x3+x , которую теперь разложим на простейшие дроби -2x+3x3+x=3x-3x+2x2+1 . Следовательно,

    2x3+3x3+xdx=2+3x-3x+2x2+1dx=2dx+3xdx-3x+2x2+1dx=2x+3lnx-3x+2x2+1dx

    Мы получили интеграл простейшей дроби третьего типа. Взять его можно методом подведения под знак дифференциала.

    Так как dx2+1=2xdx , то 3xdx=32dx2+1 . Поэтому 
    3x+2x2+1dx=3xx2+1dx+2x2+1=32dx2+1x2+1+2dxx2+1=32lnx2+1+2arctg x+C1

    Следовательно, 
    2x3+3x3+xdx=2x+3lnx-3x+2x2+1dx=2x+3lnx-32lnx2+1-2arctan x+C, где С=-С1

    Опишем методы интегрирования простейших дробей каждого из четырех типов.

    Интегрирование простейших дробей первого типа Ax-a

    Используем для решения этой задачи метод непосредственного инетгрирования:

    Ax-adx=Adxx-a=A·lnx-a+C

    Пример 2

    Найдите множество первообразных функции y=32x-1.

    Решение

    Испльзуя правило интегрирования, свойства первообразной и таблицу первообразных, найдем неопределенный интеграл 3dx2x-1: fk·x+bdx=1k·Fk·x+b+C

    3dx2x-1=3dx2x-12=32dxx-12=32lnx-12+C 

    Ответ: 3dx2x-1=32lnx-12+C

    Интегрирование простейших дробей второго типа Ax-an

    Здесь также применим метод непосредственного интегрирования:Ax-andx=Ax-a-ndx=A-n+1x-a-n+1+C=A1-nx-an-1+C

    Пример 3

    Необходимо найти неопределенный интеграл dx2x-37 .

    Решение

      dx2x-37=dx2x-327=127x-32-7dx==127·1-7+1·x-32-7+1+C=127·-6·x-326+C==12·-6·26·x-326+C=-112·12x-36+C

    Ответ: dx2x-37=-112·12x-36+C

    Интегрирование простейших дробей третьего типа Mx+Nx2+px+q, D=p2-4q<0

    Первым шагом представим неопределенный интеграл Mx+Nx2+px+q в виде суммы:

    Mx+Nx2+px+qdx=Mxx2+px+qdx+Ndxx2+px+q

    Для того, чтобы взять первый интеграл, используем метод подведения под знак дифференциала:

    Mxx2+px+qdx=dx2+px+q=2x+pdx=2xdx+pdx2xdx=dx2+px+q-pdxMxdx=M2dx2+px+q-pM2dx==M2dx2+px+q-pM2dxx2+px+q==M2dx2+px+qx2+px+q-pM2dxx2+px+q==M2lnx2+px+q-pM2dxx2+px+q

    Поэтому, 
    Mx+Nx2+px+qdx=Mxx2+px+qdx+Ndxx2+px+q==M2lnx2+px+q-pM2dxx2+px+q+Ndxx2+px+q==M2lnx2+px+q+2N-pM2·dxx2+px+q

    Мы получили интеграл dxx2+px+q.  Проведем преобразование его знаменателя: 

    dxx2+px+q=dxx2+px+p22-p22+q==dxx+p22-p24+q=dxx+p22-p24+q==dxx+p22+4q-p24=24q-p2·arctg2x+p24q-p2+C1

    Следовательно, 

    Mx+Nx2+px+qdx=M2lnx2+px+q+2N-pM2·dxx2+px+q==M2lnx2+px+q+2N-pM2·24q-p2·arctg2x+p24q-p2+C1

    Формула интегрирования простейших дробей третьего типа принимает вид: 
    Mx+Nx2+px+qdx=M2lnx2+px+q+2N-pM4q-p2·arctg2x+p24q-p2+C

    Пример 4

    Необходимо найти неопределенный интеграл 2x+13x2+6x+30dx.

    Решение

    Применим формулу:

    2x+13x2+6x+30dx=132x+1x2+2x+10dx=M=2,N=1,p=2,q=10==1322lnx2+2x+10+2·1-2·24·10-22arctg2x+224·10-22+C==13lnx2+2x+10-19arctgx+13+C

    Второй вариант решения выглядит следующим образом:

    2x+13x2+6x+30dx=132x+1x2+2x+10dx=d(x2+2x+10=(2x+2)dx==132x+2-1x2+2x+10dx=13d(x2+2x+10)x2+2x+10=13dxx2+2x+10==преобразуем знаменатель=13lnx2+2x+10-13d(x)x+12+9==13lnx2+2x+10-19arctgx+13+C

    Ответ: 2x+13x2+6x+30dx=13lnx2+2x+10-19arctgx+13+C

    Интегрирование простейших дробей четвертого типа Mx+N(x2+px+q)n, D=p2-4q<0

    Первым делом выполняем подведение под знак дифференциала:

    Mx+Nx2+px+qdx=d(x2+px+q)=(2x+p)dx==M2d(x2+px+q)(x2+px+q)n+N-pM2dx(x2+px+q)n==M2(-n+1)·1(x2+px+q)n-1+N-pM2dx(x2+px+q)n

    Затем находим интеграл вида Jn=dx(x2+px+q)n  с использованием рекуррентных формул. Информацию о рекуррентных формулах можно посмотреть в теме «Интегрирование с использованием рекуррентных формул».

    Для решения нашей задачи подходит рекуррентная формула вида Jn=2x+p(n-1)(4q-p2)(x2+px+q)n-1+2n-3n-1·24q-p2·Jn-1.

    Пример 5

    Необходимо найти неопределенный интеграл dxx5x2-1 .

    Решение

    dxx5x2-1=x-5(x2-1)-12dx

    Мы будем использовать для этого вида подынтегральной функции метод подстановки. Введем новую переменную x2-1=z2x=(z2+1)12dx=z(z2+1)-12dx 

    Получаем:

    dxx5x2-1=x-5(x2-1)-12dx==(z2+1)-52·z-1·z·(z2+1)-12dz=dz(z2+1)3

    Пришли к нахождению интеграла дроби четвертого типа. В нашем случае имеем коэффициенты М = 0, р = 0, q = 1, N = 1 и n = 3. Применяем рекуррентную формулу: 

    J3=dz(z2+1)3=2z+0(3-1)·(4·1-0)·z2+13-1+2·3-33-1·24·1-0·dz(z2+1)2==z4(z2+1)2+342z(2-1)·(4·1-0)·(z2+1)2-1+2·2-32-11·24·1-0·dzz2+1==z4(z2+1)2+38zz2+1+38arctg(z)+C

    После обратной замены z=x2-1 получаем результат: 
    dxx5x2-1=x2-14x4+38x2-1x2+38arctgx2-1+C

    Ответ: dxx5x2-1=x2-14x4+38x2-1x2+38arctgx2-1+C

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter