Взаимно обратные функции, основные определения, свойства, графики

Понятие обратной функции и ее определение в алгебре

Допустим, что у нас есть некая функция $y=f\left(x\right)$, которая является строго монотонной (убывающей или возрастающей) и непрерывной на области определения $x\in \left(a; b\right)$; область ее значений $y\in \left(c; d\right)$, а на интервале $\left(c; d\right)$ при этом у нас будет определена функция $x=g\left(y\right)$ с областью значений $\left(a; b\right)$. Вторая функция также будет называться непрерывной и строго монотонной. По отношению к $y=f\left(x\right)$ она будет обратной функцией. То есть мы можем говорить об обратной функции $x=g\left(y\right)$ тогда, когда $y=f\left(x\right)$ на заданном интервале будет либо убывать, либо возрастать.

Две этих функции, $f$ и $g$, будут взаимно обратными.

Обратная функция – это что такое? Дадим определение взаимно обратимой функции (что такое обратимая функция - определение). 

Для чего вообще нам нужно понятие обратных функций?

Это нужно нам для решения уравнений $y=f\left(x\right)$, которые записываются как раз с помощью этих выражений. Также понятие особенностей обратных функций помогают в решении операций по извлечению n-ой степени (она обратна возведению в степень).

На самом деле это не является чем-то сложным. Онлайн, как и в нашем материале, вы можете найти много примеров обратной функции, которые помогут в этом убедиться. 

Важно знать, что любая функция y = y (x) – это определенное правило, которое определяет соответствие между двумя значениями: x и y. К примеру, функция y = x² ставит соответственно каждому действительному числу его в квадрат. Можно сделать определенную таблицу, в которой будут располагаться значения этой функции для целых аргументов.

Как найти функцию обратную данной

Как найти обратную функцию?

Допустим, нам нужно найти решение уравнения $\cos \left(x\right)=\frac{1}{3}$. Его решениями будут все точки: $x=\pm a\mathrm{rс}cos\left(\frac{1}{3}\right)+2\mathrm{\pi }·\mathrm{k}, \mathrm{k}\in \mathrm{Z}$ 

Обратными по отношению друг к другу будут, например, функции арккосинуса и косинуса.

Разберем несколько задач на нахождение функций, обратных заданным. Вот несколько примеров обратной функции. 

Обе взаимообратные функции можно отобразить на графике следующим образом:

На графике мы находим симметричность обоих графиков относительно $y=\mathrm{x\; (они\; отображаются\; симметрично)}$. Эта прямая является биссектрисой первого и третьего квадрантов. Что это позволило нам доказать? Получилось доказательство одного из свойств взаимно обратных функций, о котором мы поговорим далее.

Возьмем онлайн-пример, в котором нужно найти логарифмическую функцию, обратную заданной показательной.

Графически обе функции будут выглядеть или иметь следующее отображение:

Также взаимно обратные функции можно рассматривать на примере теорем.

Предположим, мы имеем определенную, с возрастающей или убывающей монотонностью, а также непрерывную в определенном промежутке x функцию y = f(x). Значит, в промежутке значений y этой функции существует и обратная функция. Она также монотонно убывает или возрастает. Также ее можно определить как непрерывную (в промежутке y).

Основные свойства взаимно обратных функций

В этом пункте мы перечислим основные свойства обратимых функций $y=f\left(x\right)$ и $x=g\left(y\right)$. Какими же свойствами обладают взаимообратные функции?

Советуем внимательно отнестись к понятиям области определения и области значения функций и никогда их не путать, так как это не одно и тоже даже исходя из названий. Допустим, что у нас есть две взаимно обратные функции $y=f\left(x\right)=a^x$ и $x=g\left(y\right)={\log }_{a}y$. Согласно первому свойству, $y=f\left(g\right(y\left)\right)=a^{{\log }_{a}y}$. Данное равенство будет верным только в случае положительных значений $y$, а для отрицательных логарифмов не определен, поэтому не спешите записывать, что $a^{{\log }_{a}y}=y$. Обязательно проверьте и добавьте характеристику, что это верно только при положительном $y$.

А вот равенство $x=f\left(g\right(x\left)\right)={\log }_a{a}^x=x$ будет верным при любых действительных значениях $x$.

Не забывайте про этот момент, особенно если приходится работать с  тригонометрическими и обратными тригонометрическими функциями.  Так, $arc\sin \left(\sin \left(\frac{7\mathrm{\pi }}{3}\right)\right)\ne \frac{7\mathrm{\pi }}{3}$, потому что область значений арксинуса $\left[-\frac{\mathrm{\pi }}{2}; \frac{\mathrm{\pi }}{2}\right]$ и $\frac{7\mathrm{\pi }}{3}$ в нее не входит. Верной будет запись

$$\begin{gathered} arc\sin \left(\sin \left(\frac{7\mathrm{\pi }}{3}\right)\right)=arc\sin \left(\sin \left(2\mathrm{\pi }+\frac{\mathrm{\pi }}{3}\right)\right)= \\ =\left\{по формул\mathrm{е } \\ привидения\right\}=arc\sin \left(\sin \frac{\mathrm{\pi }}{3}\right)=\frac{\mathrm{\pi }}{3} \end{gathered}$$

А вот $\sin \left(arc\sin \left(\frac{1}{3}\right)\right)=\frac{1}{3}$ – верное равенство, т.е. $\sin (arc\sin x)=x$ при $x\in \left[-1; 1\right]$ и $arc\sin (\sin x)=x$ при $x\in \left[-\frac{\mathrm{\pi }}{2}; \frac{\mathrm{\pi }}{2}\right]$. Всегда будьте внимательны с областью значений и областью определений обратных функций!

Графики взаимно обратных функций

• Основные взаимно обратные функции: степенные

Если у нас есть степенная функция $y=x^a$, то при $x>0$ степенная функция $x=y^{\frac{1}{a}}$ также будет обратной ей. Замена букв будет давать соответственно $y=x^a$ и $x=y^{\frac{1}{a}}$.

Сделаем график. На графике они будут выглядеть следующим образом (случаи с положительным и отрицательным коэффициентом a):

• Основные взаимно обратные функции: показательные и логарифмические

Возьмем a, которое будет положительным числом, не равным $1$.

Узнаем, какими будут графики для функций с $a>1$ и $a<\mathrm{1.\; Они }$будут выглядеть так:

• Основные взаимно обратные функции: тригонометрические и обратные тригонометрические

Если нам нужно построить график главной ветви синуса и арксинуса, он будет выглядеть следующим образом (показан выделенной светлой областью):

Если построить график главной ветви косинуса и арккосинуса, то он будет выглядеть так:

Если строить график главной ветви арктангенса и тангенса, то он будет таким:

График главной ветви арккотангенса и котангенса будет таким:

В случае построения обратных ветвей, отличные от главных, то обратную тригонометрическую функцию мы сдвигаем вдоль оси $Oy$ на нужное число периодов. Так, если требуется обратная функция для ветви тангенса на $\left(\frac{\mathrm{\pi }}{2}; \frac{3\mathrm{\pi }}{2}\right)$, то мы можем сдвинуть ее на величину $\mathrm{\pi }$ вдоль оси абсцисс. График будет представлять собой ветвь арктангенса, которая сдвинута на $\mathrm{\pi }$ вдоль оси ординат.

Это все свойства обратных функций, о которых мы хотели бы вам рассказать.