Взаимно обратные функции, основные определения, свойства, графики

Взаимно обратные функции, основные определения, свойства, графики

    Понятие обратной функции

    Допустим, что у нас есть некая функция y=f(x), которая является строго монотонной (убывающей или возрастающей) и непрерывной на области определения xa; b; область ее значений yc; d, а на интервале c; d при этом у нас будет определена функция x=g(y) с областью значений a; b. Вторая функция также будет непрерывной и строго монотонной. По отношению к y=f(x) она будет обратной функцией. То есть мы можем говорить об обратной функции x=g(y) тогда, когда y=f(x) на заданном интервале будет либо убывать, либо возрастать.

    Две этих функции, f и g, будут взаимно обратными.

    Для чего вообще нам нужно понятие обратных функций?

    Это нужно нам для решения уравнений y=f(x), которые записываются как раз с помощью этих выражений.

    Нахождение взаимно обратных функций

    Допустим, нам нужно найти решение уравнения cos(x)=13. Его решениями будут две точки: x=±arcocs13+2π·k, kZ 

    Обратными по отношению друг к другу будут, например, функции арккосинуса и косинуса.

    Разберем несколько задач на нахождение функций, обратных заданным.

    Пример 1

    Условие: какая функция будет обратной для y=3x+2?

    Решение

    Область определений и область значений функции, заданной в условии, – это множество всех действительных чисел. Попробуем решить данное уравнение через x, то есть выразив  x через y.

    Мы получим x=13y-23. Это и есть нужная нам обратная функция, но y здесь будет аргументом, а x - функцией. Переставим их, чтобы получить более привычную форму записи:

    y=13x-23 

    Ответ: функция y=13x-23 будет обратной для y=3x+2.

    Обе взаимно обратные функции можно отобразить на графике следующим образом:

    Мы видим симметричность обоих графиков относительно y=x. Эта прямая является биссектрисой первого и третьего квадрантов. Получилось доказательство одного из свойств взаимно обратных функций, о котором мы поговорим далее.

    Возьмем пример, в котором нужно найти логарифмическую функцию, обратную заданной показательной.

    Пример 2

    Условие: определите, какая функция будет обратной для y=2x.

    Решение

    Для заданной функции областью определения являются все действительные числа. Область значений лежит в интервале 0; +. Теперь нам нужно выразить x через y, то есть решить указанное уравнение через x. Мы получаем x=log2y. Переставим переменные и получим y=log2x.

    В итоге у нас вышли показательная и логарифмическая функции, которые будут взаимно обратными друг другу на всей области определения.

    Ответ: y=log2x.

    На графике обе функции будут выглядеть так:

    Основные свойства взаимно обратных функций

    В этом пункте мы перечислим основные свойства функций y=f(x) и x=g(y), являющихся взаимно обратными.

    Определение 1
    1. Первое свойство мы уже вывели ранее: y=f(g(y)) и x=g(f(x)).
    2. Второе свойство вытекает из первого: область определения y=f(x) будет совпадать с областью значений обратной функции x=g(y), и наоборот.
    3. Графики функций, являющихся обратными, будут симметричными относительно y=x.
    4. Если y=f(x) является возрастающей, то и x=g(y) будет возрастать, а если y=f(x) убывает, то убывает и x=g(y).

    Советуем внимательно отнестись к понятиям области определения и области значения функций и никогда их не путать. Допустим, что у нас есть две взаимно обратные функции y=f(x)=ax и x=g(y)=logay. Согласно первому свойству, y=f(g(y))=alogay. Данное равенство будет верным только в случае положительных значений y, а для отрицательных логарифм не определен, поэтому не спешите записывать, что alogay=y. Обязательно проверьте и добавьте, что это верно только при положительном y.

    А вот равенство x=f(g(x))=logaax=x будет верным при любых действительных значениях x.

    Не забывайте про этот момент, особенно если приходится работать с  тригонометрическими и обратными тригонометрическими функциями.  Так, arcsinsin7π37π3, потому что область значений арксинуса -π2; π2 и 7π3 в нее не входит. Верной будет запись

    arcsinsin7π3=arcsinsin2π+π3==по формулепривидения=arcsinsinπ3=π3

    А вот sinarcsin13=13 – верное равенство, т.е. sin(arcsin x)=x при x-1; 1 и arcsin(sin x)=x при x-π2; π2. Всегда будьте внимательны с областью значений и областью определений обратных функций!

    Графики взаимно обратных функций

    • Основные взаимно обратные функции: степенные

    Если у нас есть степенная функция y=xa, то при x>0 степенная функция x=y1a также будет обратной ей. Заменим буквы и получим соответственно y=xa и x=y1a.

    На графике они будут выглядеть следующим образом (случаи с положительным и отрицательным коэффициентом a):

    • Основные взаимно обратные функции: показательные и логарифмические

    Возьмем a,которое будет положительным числом, не равным 1.

    Графики для функций с a>1 и a<1 будут выглядеть так:

    • Основные взаимно обратные функции: тригонометрические и обратные тригонометрические

    Если нам нужно построить график главной ветви синуса и арксинуса, он будет выглядеть следующим образом (показан выделенной светлой областью):

    График главной ветви косинуса и арккосинуса выглядит так:

    График главной ветви арктангенса и тангенса:

    График главной ветви арккотангенса и котангенса будет таким:

    Если же вам требуется построить обратные ветви, отличные от главных, то обратную тригонометрическую функцию при этом мы сдвигаем вдоль оси Oy на нужное число периодов. Так, если требуется обратная функция для ветви тангенса на π2; 3π2, то мы можем сдвинуть ее на величину π вдоль оси абсцисс. График будет представлять собой ветвь арктангенса, которая сдвинута на π вдоль оси ординат.

    Это все свойства обратных функций, о которых мы хотели бы вам рассказать.

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
    Средняя оценка статьи
    4,9 из 5 (19 голосов)