Возрастание и убывание функции на интервале, экстремумы

Определение 1

Функция $y = f (x)$ будет возрастать на интервале $x$ , когда при любых $x_{1} \in X$ и $x_{2} \in X$ , $x_{2} > x_{1}$ неравенство $f (x_{2}) > f (x_{1})$ будет выполнимо. Иначе говоря, большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

Определение 2

Функция $y = f (x)$ считается убывающей на интервале $x$ , когда при любых $x_{1} \in X$ , $x_{2} \in X$ , $x_{2} > x_{1}$ равенство $f (x_{2}) > f (x_{1})$ считается выполнимым. Иначе говоря, большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента. Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Определение 3

Точка $х_{0}$ называется точкой максимума для функции $y = f (x)$ , когда для всех значений $x$ неравенство $f (x_{0}) \geq f (x)$ является справедливым. Максимум функции – это значение функции в точке, причем обозначается $y_{m a x}$ .

Точка $х_{0}$ называется точкой минимума для функции $y = f (x)$ , когда для всех значений $x$ неравенство $f (x_{0}) \leq f (x)$ является справедливым. Минимум функции – это значение функции в точке, причем имеет обозначение вида $y_{m i n}$ .

Окрестностями точки $х_{0}$ считаются точки экстремума, а значение функции, которое соответствует точкам экстремума. Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

Определение 4

Пусть задана функция $y = f (x)$ , которая дифференцируема в $ε$ окрестности точки $x_{0}$ , причем имеет непрерывность в заданной точке $x_{0}$ . Отсюда получаем, что

когда $f' (x) > 0$ с $x \in (x_{0} - ε; x_{0})$ и $f' (x) < 0$ при $x \in (x_{0}; x_{0} + ε)$ , тогда $x_{0}$ является точкой максимума;
когда $f' (x) < 0$ с $x \in (x_{0} - ε; x_{0})$ и $f' (x) > 0$ при $x \in (x_{0}; x_{0} + ε)$ , тогда $x_{0}$ является точкой минимума.

Пример 1

Найти точки максимума и минимума заданной функции $y = \frac{2 (x + 1)^{2}}{x - 2}$ .

Решение

Область определения данной функции – это все действительные числа кроме $х = 2$ . Для начала найдем производную функции и получим:

$y' = {(\frac{2 {(x + 1)}^{2}}{x - 2})}^{'} = 2 \cdot \frac{{({(x + 1)}^{2})}^{'} \cdot (x - 2) - (x + 1)^{2} \cdot (x - 2)^{'}}{(x - 2)^{2}} = = 2 \cdot \frac{2 \cdot (x + 1) \cdot (x + 1)' \cdot (x - 2) - (x + 1)^{2} \cdot 1}{(x - 2)^{2}} = 2 \cdot \frac{2 \cdot (x + 1) \cdot (x - 2) - (x + 2)^{2}}{(x - 2)^{2}} = = 2 \cdot \frac{(x + 1) \cdot (x - 5)}{(x - 2)^{2}}$

Отсюда видим, что нули функции – это $х = - 1, х = 5, х = 2$ , то есть каждую скобку необходимо приравнять к нулю. Отметим на числовой оси и получим:

Алгоритм для нахождения точек экстремума

Теперь определим знаки производной из каждого интервала. Необходимо выбрать точку, входящую в интервал, подставить в выражение. Например, точки $х = - 2, х = 0, х = 3, х = 6$ .

Получаем, что

$y' (- 2) = 2 \cdot {\frac{(x + 1) \cdot (x - 5)}{(x - 2)^{2}}}_{x = - 2} = 2 \cdot \frac{(- 2 + 1) \cdot (- 2 - 5)}{(- 2 - 2)^{2}} = 2 \cdot \frac{7}{16} = \frac{7}{8} > 0$ , значит, интервал $(- \infty; - 1)$ имеет положительную производную. Аналогичным образом получаем, что

$y' (0) = 2 \cdot \frac{(0 + 1) \cdot (0 - 5)}{{(0 - 2)}^{2}} = 2 \cdot \frac{- 5}{4} = - \frac{5}{2} < 0 y' (3) = 2 \cdot \frac{(3 + 1) \cdot (3 - 5)}{(3 - 2)^{2}} = 2 \cdot \frac{- 8}{1} = - 16 < 0 y' (6) = 2 \cdot \frac{(6 + 1) \cdot (6 - 5)}{(6 - 2)^{2}} = 2 \cdot \frac{7}{16} = \frac{7}{8} > 0$

Так как второй интервал получился меньше нуля, значит, производная на отрезке будет отрицательной. Третий с минусом, четвертый с плюсом. Для определения непрерывности необходимо обратить внимание на знак производной, если он меняется, тогда это точка экстремума.

Получим, что в точке $х = - 1$ функция будет непрерывна, значит, производная изменит знак с $+$ на $-$ . По первому признаку имеем, что $х = - 1$ является точкой максимума, значит получаем

$y_{m a x} = y (- 1) = {\frac{2 \cdot (x + 1)^{2}}{x - 2}}_{x = - 1} = \frac{2 \cdot (- 1 + 1)^{2}}{- 1 - 2} = 0$

Точка $х = 5$ указывает на то, что функция является непрерывной, а производная поменяет знак с – на +. Значит, х=-1 является точкой минимума, причем ее нахождение имеет вид

$y_{m i n} = y (5) = {\frac{2 \cdot (x + 1)^{2}}{x - 2}}_{x = 5} = \frac{2 \cdot (5 + 1)^{2}}{5 - 2} = 24$

Графическое изображение

Алгоритм для нахождения точек экстремума

Ответ: $y_{m a x} = y (- 1) = 0, y_{m i n} = y (5) = 24$ .

Пример 2

Найти точки максимума и минимума функции $y = \frac{1}{6} {|x|}^{3} = 2 x^{2} + \frac{22}{3} |x| - 8$ .

Решение.

Область определения функции – это все действительные числа. Это можно записать в виде системы уравнений вида:

$\{\begin{cases} - \frac{1}{6} x^{3} - 2 x^{2} - \frac{22}{3} x - 8, x < 0 \\ \frac{1}{6} x^{3} - 2 x^{2} + \frac{22}{3} x - 8, x \geq 0 \end{cases}$

После чего необходимо найти производную:

$y' = \{\begin{cases} {(\frac{1}{6} x^{3} - 2 x^{2} - \frac{22}{3} x - 8)}^{'}, x < 0 \\ {(\frac{1}{6} x^{3} - 2 x^{2} + \frac{22}{3} x - 8)}^{'}, x > 0 \end{cases} y' = \{\begin{cases} - \frac{1}{2} x^{2} - 4 x - \frac{22}{3}, x < 0 \\ \frac{1}{2} x^{2} - 4 x + \frac{22}{3}, x > 0 \end{cases}$

Точка $х = 0$ не имеет производной, потому как значения односторонних пределов разные. Получим, что:

$\underset{x \to 0 - 0}{\lim y'} = \underset{x \to 0 - 0}{\lim y} (- \frac{1}{2} x^{2} - 4 x - \frac{22}{3}) = - \frac{1}{2} \cdot (0 - 0)^{2} - 4 \cdot (0 - 0) - \frac{22}{3} = - \frac{22}{3} \underset{x \to 0 + 0}{\lim y'} = \underset{x \to 0 - 0}{\lim y} (\frac{1}{2} x^{2} - 4 x + \frac{22}{3}) = \frac{1}{2} \cdot (0 + 0)^{2} - 4 \cdot (0 + 0) + \frac{22}{3} = + \frac{22}{3}$

Отсюда следует, что функция непрерывна в точке $х = 0$ , тогда вычисляем

$\underset{x \to 0 - 0}{\lim y} = \lim_{x \to 0 - 0} (- \frac{1}{6} x^{3} - 2 x^{2} - \frac{22}{3} x - 8) = = - \frac{1}{6} \cdot (0 - 0)^{3} - 2 \cdot (0 - 0)^{2} - \frac{22}{3} \cdot (0 - 0) - 8 = - 8 \underset{x \to 0 + 0}{\lim y} = \lim_{x \to 0 - 0} (\frac{1}{6} x^{3} - 2 x^{2} + \frac{22}{3} x - 8) = = \frac{1}{6} \cdot (0 + 0)^{3} - 2 \cdot (0 + 0)^{2} + \frac{22}{3} \cdot (0 + 0) - 8 = - 8 y (0) = {(\frac{1}{6} {|x|}^{3} - 2 x^{2} + \frac{22}{3} |x| - 8)}_{x = 0} = \frac{1}{6} \cdot {|0|}^{3} - 2 \cdot 0^{2} + \frac{22}{3} \cdot |0| - 8 = - 8$

Необходимо произвести вычисления для нахождения значения аргумента, когда производная становится равной нулю:

$- \frac{1}{2} x^{2} - 4 x - \frac{22}{3}, x < 0 D = (- 4)^{2} - 4 \cdot (- \frac{1}{2}) \cdot (- \frac{22}{3}) = \frac{4}{3} x_{1} = \frac{4 + \sqrt{\frac{4}{3}}}{2 \cdot (- \frac{1}{2})} = - 4 - \frac{2}{3} \sqrt{3} < 0 x_{2} = \frac{4 - \sqrt{\frac{4}{3}}}{2 \cdot (- \frac{1}{2})} = - 4 + \frac{2}{3} \sqrt{3} < 0$

$\frac{1}{2} x^{2} - 4 x + \frac{22}{3}, x > 0 D = (- 4)^{2} - 4 \cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{22}{3} = \frac{4}{3} x_{3} = \frac{4 + \sqrt{\frac{4}{3}}}{2 \cdot \frac{1}{2}} = 4 + \frac{2}{3} \sqrt{3} > 0 x_{4} = \frac{4 - \sqrt{\frac{4}{3}}}{2 \cdot \frac{1}{2}} = 4 - \frac{2}{3} \sqrt{3} > 0$

Все полученные точки нужно отметить на прямой для определения знака каждого интервала. Поэтому необходимо вычислить производную в произвольных точках у каждого интервала. Например, у нас можно взять точки со значениями $x = - 6, x = - 4, x = - 1, x = 1, x = 4, x = 6$ . Получим, что

$y' (- 6) = {(- \frac{1}{2} x^{2} - 4 x - \frac{22}{3})}_{x = - 6} = - \frac{1}{2} \cdot {(- 6)}^{2} - 4 \cdot (- 6) - \frac{22}{3} = - \frac{4}{3} < 0 y' (- 4) = {(- \frac{1}{2} x^{2} - 4 x - \frac{22}{3})}_{x = - 4} = - \frac{1}{2} \cdot (- 4)^{2} - 4 \cdot (- 4) - \frac{22}{3} = \frac{2}{3} > 0 y' (- 1) = {(- \frac{1}{2} x^{2} - 4 x - \frac{22}{3})}_{x = - 1} = - \frac{1}{2} \cdot (- 1)^{2} - 4 \cdot (- 1) - \frac{22}{3} = \frac{23}{6} < 0 y' (1) = {(\frac{1}{2} x^{2} - 4 x + \frac{22}{3})}_{x = 1} = \frac{1}{2} \cdot 1^{2} - 4 \cdot 1 + \frac{22}{3} = \frac{23}{6} > 0 y' (4) = {(\frac{1}{2} x^{2} - 4 x + \frac{22}{3})}_{x = 4} = \frac{1}{2} \cdot 4^{2} - 4 \cdot 4 + \frac{22}{3} = - \frac{2}{3} < 0 y' (6) = {(\frac{1}{2} x^{2} - 4 x + \frac{22}{3})}_{x = 6} = \frac{1}{2} \cdot 6^{2} - 4 \cdot 6 + \frac{22}{3} = \frac{4}{3} > 0$

Изображение на прямой имеет вид

Алгоритм для нахождения точек экстремума

Значит, приходим к тому, что необходимо прибегнуть к первому признаку экстремума. Вычислим и получим, что

$x = - 4 - \frac{2}{3} \sqrt{3}, x = 0, x = 4 + \frac{2}{3} \sqrt{3}$ , тогда отсюда точки максимума имеют значени $x = - 4 + \frac{2}{3} \sqrt{3}, x = 4 - \frac{2}{3} \sqrt{3}$

Перейдем к вычислению минимумов:

$y_{m i n} = y (- 4 - \frac{2}{3} \sqrt{3}) = {(\frac{1}{6} {|x|}^{3} - 2^{2} + \frac{22}{3} |x| - 8)}_{x = - 4 - \frac{2}{3} \sqrt{3}} = - \frac{8}{27} \sqrt{3} y_{m i n} = y (0) = {(\frac{1}{6} {|x|}^{3} - 2^{2} + \frac{22}{3} |x| - 8)}_{x = 0} = - 8 y_{m i n} = y (4 + \frac{2}{3} \sqrt{3}) = {(\frac{1}{6} {|x|}^{3} - 2^{2} + \frac{22}{3} |x| - 8)}_{x = 4 + \frac{2}{3} \sqrt{3}} = - \frac{8}{27} \sqrt{3}$

Произведем вычисления максимумов функции. Получим, что

$y_{m a x} = y (- 4 + \frac{2}{3} \sqrt{3}) = {(\frac{1}{6} {|x|}^{3} - 2^{2} + \frac{22}{3} |x| - 8)}_{x = - 4 + \frac{2}{3} \sqrt{3}} = \frac{8}{27} \sqrt{3} y_{m a x} = y (4 - \frac{2}{3} \sqrt{3}) = {(\frac{1}{6} {|x|}^{3} - 2^{2} + \frac{22}{3} |x| - 8)}_{x = 4 - \frac{2}{3} \sqrt{3}} = \frac{8}{27} \sqrt{3}$

Графическое изображение

Алгоритм для нахождения точек экстремума

Ответ:

$y_{m i n} = y (- 4 - \frac{2}{3} \sqrt{3}) = - \frac{8}{27} \sqrt{3} y_{m i n} = y (0) = - 8 y_{m i n} = y (4 + \frac{2}{3} \sqrt{3}) = - \frac{8}{27} \sqrt{3} y_{m a x} = y (- 4 + \frac{2}{3} \sqrt{3}) = \frac{8}{27} \sqrt{3} y_{m a x} = y (4 - \frac{2}{3} \sqrt{3}) = \frac{8}{27} \sqrt{3}$

Пример 3

Найти максимумы и минимумы функции $y = \frac{8 \sqrt{x}}{x + 1}$ .

Решение

Для начала находим область определения. Получаем, что

$D (y) : \{\begin{cases} x \geq 0 \\ x \neq - 1 \end{cases} \Leftrightarrow x \geq 0$

Необходимо продифференцировать функцию, после чего получим

$y' = {(\frac{8 \sqrt{x}}{x + 1})}^{'} = 8 \cdot \frac{{(\sqrt{x})}^{'} \cdot (x + 1) - \sqrt{x} \cdot (x + 1)^{'}}{(x + 1)^{2}} = = 8 \cdot \frac{\frac{1}{2 \sqrt{x}} \cdot (x + 1) - \sqrt{x} \cdot 1}{(x + 1)^{2}} = 4 \cdot \frac{x + 1 - 2 x}{(x + 1)^{2} \cdot \sqrt{x}} = 4 \cdot \frac{- x + 1}{(x + 1)^{2} \cdot \sqrt{x}}$

При $х = 1$ производная становится равной нулю, значит, точка является возможным экстремумом. Для уточнения необходимо найти вторую производную и вычислить значение при $х = 1$ . Получаем:

$y'' = {(4 \cdot \frac{- x + 1}{(x + 1)^{2} \cdot \sqrt{x}})}^{'} = = 4 \cdot \frac{(- x + 1)^{'} \cdot (x + 1)^{2} \cdot \sqrt{x} - (- x + 1) \cdot {({(x + 1)}^{2} \cdot \sqrt{x})}^{'}}{(x + 1)^{4} \cdot x} = = 4 \cdot \frac{(- 1) \cdot (x + 1)^{2} \cdot \sqrt{x} - (- x + 1) \cdot ({({(x + 1)}^{2})}^{'} \cdot \sqrt{x} + (x + 1)^{2} \cdot {(\sqrt{x})}^{'})}{(x + 1)^{4} \cdot x} = = 4 \cdot \frac{- (x + 1)^{2} \sqrt{x} - (- x + 1) \cdot (2 (x + 1) (x + 1)^{'} \sqrt{x} + \frac{(x + 1)^{2}}{2 \sqrt{x}})}{(x + 1)^{4} \cdot x} = = \frac{- (x + 1)^{2} \sqrt{x} - (- x + 1) \cdot (x + 1) \cdot (2 \sqrt{x} + \frac{x + 1}{2 \sqrt{x}})}{(x + 1)^{4} \cdot x} = = 2 \cdot \frac{3 x^{2} - 6 x - 1}{{(x + 1)}^{3} \cdot {(\sqrt{x})}^{3}} \Rightarrow y'' (1) = 2 \cdot \frac{3 \cdot 1^{2} - 6 \cdot 1 - 1}{(1 + 1)^{3} \cdot (\sqrt{1})^{3}} = 2 \cdot \frac{- 4}{8} = - 1 < 0$

Значит, использовав $2$ достаточное условие экстремума, получаем, что $х = 1$ является точкой максимума. Иначе запись имеет вид $y_{m a x} = y (1) = \frac{8 \sqrt{1}}{1 + 1} = 4$ .

Графическое изображение

Второй признак экстремума функции

Ответ: $y_{m a x} = y (1) = 4$ ..

Определение 5

Функция $y = f (x)$ имеет ее производную до $n$ -го порядка в $ε$ окрестности заданной точки $x_{0}$ и производную до $n + 1$ -го порядка в точке $x_{0}$ . Тогда $f' (x_{0}) = f'' (x_{0}) = f''' (x_{0}) = . . . = f^{n} (x_{0}) = 0$ .

Пример 4

Найти точки максимума и минимума функции y $y = \frac{1}{16} (x + 1)^{3} (x - 3)^{4}$ .

Решение

Исходная функция – целая рациональная, отсюда следует, что область определения – все действительные числа. Необходимо продифференцировать функцию. Получим, что

$y' = \frac{1}{16} ({({(x + 1)}^{3})}^{'} (x - 3)^{4} + (x + 1)^{3} {({(x - 3)}^{4})}^{'}) = = \frac{1}{16} (3 (x + 1)^{2} (x - 3)^{4} + (x + 1)^{3} 4 (x - 3)^{3}) = = \frac{1}{16} (x + 1)^{2} (x - 3)^{3} (3 x - 9 + 4 x + 4) = \frac{1}{16} (x + 1)^{2} (x - 3)^{3} (7 x - 5)$

Данная производная обратится в ноль при $x_{1} = - 1, x_{2} = \frac{5}{7}, x_{3} = 3$ . То есть точки могут быть точками возможного экстремума. Необходимо применить третье достаточное условие экстремума. Нахождение второй производной позволяет в точности определить наличие максимума и минимума функции. Вычисление второй производной производится в точках ее возможного экстремума. Получаем, что

$y'' = {(\frac{1}{16} {(x + 1)}^{2} (x - 3)^{3} (7 x - 5))}^{'} = \frac{1}{8} (x + 1) (x - 3)^{2} (21 x^{2} - 30 x - 3) y'' (- 1) = 0 y'' (\frac{5}{7}) = - \frac{36864}{2401} < 0 y'' (3) = 0$

Значит, что $x_{2} = \frac{5}{7}$ является точкой максимума. Применив $3$ достаточный признак, получаем, что при $n = 1$ и $f^{(n + 1)} (\frac{5}{7}) < 0$ .

Необходимо определить характер точек $x_{1} = - 1, x_{3} = 3$ . Для этого необходимо найти третью производную, вычислить значения в этих точках. Получаем, что

$y''' = {(\frac{1}{8} (x + 1) (x - 3)^{2} (21 x^{2} - 30 x - 3))}^{'} = = \frac{1}{8} (x - 3) (105 x^{3} - 225 x^{2} - 45 x + 93) y''' (- 1) = 96 \neq 0 y''' (3) = 0$

Значит, $x_{1} = - 1$ является точкой перегиба функции, так как при $n = 2$ и $f^{(n + 1)} (- 1) \neq 0$ . Необходимо исследовать точку $x_{3} = 3$ . Для этого находим $4$ производную и производим вычисления в этой точке:

$y^{(4)} = {(\frac{1}{8} (x - 3) (105 x^{3} - 225 x^{2} - 45 x + 93))}^{'} = = \frac{1}{2} (105 x^{3} - 405 x^{2} + 315 x + 57) y^{(4)} (3) = 96 > 0$

Из выше решенного делаем вывод, что $x_{3} = 3$ является точкой минимума функции.

Графическое изображение

Третье достаточное условие экстремума

Ответ: $x_{2} = \frac{5}{7}$ является точкой максимума, $x_{3} = 3$ - точкой минимума заданной функции.

Возрастание и убывание функции на интервале, экстремумы