Возрастание и убывание функции на интервале, экстремумы

Возрастание и убывание функции на интервале, экстремумы

    Чтобы определить характер функции  и говорить о ее поведении, необходимо находить промежутки возрастания и убывания. Этот процесс получил название исследования функции и построения графика. Точка экстремума используется при нахождении наибольшего и наименьшего значения функции, так как в них происходит возрастание или убывание функции из интервала.

    Данная статья раскрывает определения, формулируем достаточный признак возрастания и убывания на интервале и условие существования экстремума. Это применимо к решению примеров  и задач. Следует повторить раздел дифференцирования функций, потому как при решении необходимо будет использовать нахождение производной.

    Возрастание и убывание функции на интервале

    Определение 1

    Функция y=f(x) будет возрастать на интервале x, когда при любых x1X и x2X , x2>x1неравенство f(x2)>f(x1) будет выполнимо. Иначе говоря, большему значению аргумента соответствует большее значение функции.

    Определение 2

    Функция y=f(x) считается убывающей на интервале x, когда при любых x1Xx2X, x2>x1  равенство f(x2)>f(x1) считается выполнимым. Иначе говоря, большему значению функции соответствует меньшее значение аргумента. Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

    Замечание: Когда функция определенная и непрерывная в концах интервала возрастания и убывания, то есть (a;b), где х=а, х=b, точки включены в промежуток возрастания и убывания. Определению это не противоречит, значит, имеет место быть на промежутке x.

    Основные свойства элементарных функций типа y=sinx – определенность и непрерывность  при действительных значениях аргументах. Отсюда получаем, что возрастание синуса происходит на интервале -π2; π2, тогда возрастание на отрезке имеет вид -π2; π2.

    Точки экстремума, экстремумы функции

    Определение 3

    Точка х0 называется точкой максимума для функции y=f(x), когда для всех значений x неравенство f(x0)f(x) является справедливым. Максимум функции – это значение функции в точке, причем обозначается ymax.

    Точка х0 называется точкой минимума для функции y=f(x), когда для всех значений x неравенство f(x0)f(x) является справедливым. Минимум функции – это значение функции в точке, причем имеет обозначение вида ymin.

    Окрестностями точки х0 считаются точки экстремума, а значение функции, которое соответствует точкам экстремума. Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

    Экстремумы функции с набольшим и с наименьшим значением функции. Рассмотрим рисунок, приведенный ниже.

    Первый рисунок говорит о том, что необходимо найти наибольшее значение функции из отрезка [a;b]. Оно находится при помощи точек максимума и равняется максимальному значению функции, а второй рисунок больше походит на поиск точки максимума при х=b.

    Достаточные условия возрастания и убывания функции

    Чтобы найти максимумы и минимумы функции, необходимо применять признаки экстремума в том случае, когда функция удовлетворяет этим условиям. Самым часто используемым считается первый признак.

    Первое достаточное условие экстремума

    Определение 4

    Пусть задана функция y=f(x), которая дифференцируема в ε окрестности точки x0, причем имеет непрерывность в заданной точке x0. Отсюда получаем, что

    • когда f'(x)>0 с x(x0-ε; x0) и f'(x)<0 при x(x0; x0+ε), тогда x0 является точкой максимума;
    • когда f'(x)<0 с x(x0-ε; x0) и f'(x)>0 при x(x0; x0+ε), тогда x0 является точкой минимума.

    Иначе говоря, получим их условия постановки знака:

    • когда функция непрерывна в точке x0, тогда имеет производную с меняющимся знаком, то есть с + на -, значит, точка называется максимумом;
    • когда функция непрерывна в точке x0, тогда имеет производную с меняющимся знаком с - на +, значит, точка называется минимумом.

    Алгоритм для нахождения точек экстремума

    Чтобы верно определить точки максимума и минимума функции, необходимо следовать алгоритму их нахождения:

    • найти область определения;
    • найти производную функции на этой области;
    • определить нули и точки, где функция не существует;
    • определение знака производной на интервалах;
    • выбрать точки, где функция меняет знак.

    Рассмотрим алгоритм на примере решения нескольких примеров на нахождение экстремумов функции.

    Пример 1

    Найти точки максимума и минимума заданной функции y=2(x+1)2x-2.

    Решение

    Область определения данной функции – это все действительные числа кроме х=2. Для начала найдем производную функции и получим:

    y'=2x+12x-2'=2·x+12'·(x-2)-(x+1)2·(x-2)'(x-2)2==2·2·(x+1)·(x+1)'·(x-2)-(x+1)2·1(x-2)2=2·2·(x+1)·(x-2)-(x+2)2(x-2)2==2·(x+1)·(x-5)(x-2)2

    Отсюда видим, что нули функции – это х=-1, х=5, х=2, то есть каждую скобку необходимо приравнять к нулю. Отметим на числовой оси и получим:

    Теперь определим знаки производной из каждого интервала. Необходимо выбрать точку, входящую в интервал, подставить в выражение. Например, точки х=-2, х=0, х=3, х=6.

    Получаем, что

    y'(-2)=2·(x+1)·(x-5)(x-2)2x=-2=2·(-2+1)·(-2-5)(-2-2)2=2·716=78>0, значит, интервал -; -1 имеет положительную производную. Аналогичным образом получаем, что

    y'(0)=2·(0+1)·0-50-22=2·-54=-52<0y'(3)=2·(3+1)·(3-5)(3-2)2=2·-81=-16<0y'(6)=2·(6+1)·(6-5)(6-2)2=2·716=78>0

    Так как второй интервал получился меньше нуля, значит, производная на отрезке будет отрицательной. Третий  с минусом, четвертый с плюсом. Для определения непрерывности необходимо обратить внимание на знак производной, если он меняется, тогда это точка экстремума.

    Получим, что в точке х=-1 функция будет непрерывна, значит, производная изменит знак с + на -. По первому признаку имеем, что х=-1 является точкой максимума, значит получаем

    ymax=y(-1)=2·(x+1)2x-2x=-1=2·(-1+1)2-1-2=0

    Точка х=5 указывает на то, что функция является непрерывной, а производная поменяет знак с – на +. Значит, х=-1 является точкой минимума, причем ее нахождение имеет вид

    ymin=y(5)=2·(x+1)2x-2x=5=2·(5+1)25-2=24

    Графическое изображение

    Ответ: ymax=y(-1)=0, ymin=y(5)=24.

    Стоит обратить внимание на то, что использование первого достаточного признака экстремума не требует дифференцируемости функции с точке x0, этим и упрощает вычисление.

    Пример 2

    Найти точки максимума и минимума функции y=16x3=2x2+223x-8.

    Решение.

    Область определения функции – это все действительные числа. Это можно записать в виде системы уравнений вида:

    -16x3-2x2-223x-8, x<016x3-2x2+223x-8, x0

    После чего необходимо найти производную:

    y'=16x3-2x2-223x-8', x<016x3-2x2+223x-8', x>0y'=-12x2-4x-223, x<012x2-4x+223, x>0

    Точка х=0 не имеет производной, потому как значения односторонних пределов разные. Получим, что:

    lim y'x0-0=lim yx0-0-12x2-4x-223=-12·(0-0)2-4·(0-0)-223=-223lim y'x0+0=lim yx0-012x2-4x+223=12·(0+0)2-4·(0+0)+223=+223

    Отсюда следует, что функция непрерывна в точке х=0, тогда вычисляем

    lim yx0-0=limx0-0-16x3-2x2-223x-8==-16·(0-0)3-2·(0-0)2-223·(0-0)-8=-8lim yx0+0=limx0-016x3-2x2+223x-8==16·(0+0)3-2·(0+0)2+223·(0+0)-8=-8y(0)=16x3-2x2+223x-8x=0=16·03-2·02+223·0-8=-8

    Необходимо произвести вычисления для нахождения значения аргумента, когда производная становится равной нулю:

    -12x2-4x-223, x<0D=(-4)2-4·-12·-223=43x1=4+432·-12=-4-233<0x2=4-432·-12=-4+233<0

    12x2-4x+223, x>0D=(-4)2-4·12·223=43x3=4+432·12=4+233>0x4=4-432·12=4-233>0

    Все полученные точки нужно отметить на прямой для определения знака каждого интервала. Поэтому необходимо вычислить производную в произвольных точках у каждого интервала. Например, у нас можно взять точки со значениями x=-6, x=-4, x=-1, x=1, x=4, x=6. Получим, что

    y'(-6)=-12x2-4x-223x=-6=-12·-62-4·(-6)-223=-43<0y'(-4)=-12x2-4x-223x=-4=-12·(-4)2-4·(-4)-223=23>0y'(-1)=-12x2-4x-223x=-1=-12·(-1)2-4·(-1)-223=236<0y'(1)=12x2-4x+223x=1=12·12-4·1+223=236>0y'(4)=12x2-4x+223x=4=12·42-4·4+223=-23<0y'(6)=12x2-4x+223x=6=12·62-4·6+223=43>0

    Изображение на прямой имеет вид

    Значит, приходим к тому, что необходимо прибегнуть к первому признаку экстремума. Вычислим и получим, что

    x=-4-233, x=0, x=4+233, тогда отсюда точки максимума имеют значениx=-4+233, x=4-233

    Перейдем к вычислению минимумов:

    ymin=y-4-233=16x3-22+223x-8x=-4-233=-8273ymin=y(0)=16x3-22+223x-8x=0=-8ymin=y4+233=16x3-22+223x-8x=4+233=-8273

    Произведем вычисления максимумов функции. Получим, что

    ymax=y-4+233=16x3-22+223x-8x=-4+233=8273ymax=y4-233=16x3-22+223x-8x=4-233=8273

    Графическое изображение

    Ответ:

    ymin=y-4-233=-8273ymin=y(0)=-8ymin=y4+233=-8273ymax=y-4+233=8273ymax=y4-233=8273

    Второй признак экстремума функции

    Если задана функция f'(x0)=0, тогда при ее f''(x0)>0 получаем, что x0 является точкой минимума, если f''(x0)<0, то точкой максимума. Признак связан с нахождением производной в точке x0.

    Пример 3

    Найти максимумы и минимумы функции y=8xx+1.

    Решение

    Для начала находим область определения. Получаем, что

    D(y): x0x-1x0

    Необходимо продифференцировать функцию, после чего получим

    y'=8xx+1'=8·x'·(x+1)-x·(x+1)'(x+1)2==8·12x·(x+1)-x·1(x+1)2=4·x+1-2x(x+1)2·x=4·-x+1(x+1)2·x

    При х=1 производная становится равной нулю, значит, точка является возможным экстремумом. Для уточнения необходимо найти вторую производную и вычислить значение  при х=1. Получаем:

    y''=4·-x+1(x+1)2·x'==4·(-x+1)'·(x+1)2·x-(-x+1)·x+12·x'(x+1)4·x==4·(-1)·(x+1)2·x-(-x+1)·x+12'·x+(x+1)2·x'(x+1)4·x==4·-(x+1)2x-(-x+1)·2x+1(x+1)'x+(x+1)22x(x+1)4·x==-(x+1)2x-(-x+1)·x+1·2x+x+12x(x+1)4·x==2·3x2-6x-1x+13·x3y''(1)=2·3·12-6·1-1(1+1)3·(1)3=2·-48=-1<0

    Значит, использовав 2 достаточное условие экстремума, получаем, что х=1 является точкой максимума. Иначе запись имеет вид ymax=y(1)=811+1=4.

    Графическое изображение

    Ответ: ymax=y(1)=4..

    Третье достаточное условие экстремума

    Определение 5

    Функция y=f(x) имеет ее производную до n-го порядка  в ε окрестности заданной точки x0 и производную до n+1-го порядка в точке x0. Тогда f'(x0)=f''(x0)=f'''(x0)=...=fn(x0)=0.

    Отсюда следует, что когда n является четным числом, то x0 считается точкой перегиба, когда n является нечетным числом, то x0 точка экстремума, причем f(n+1)(x0)>0, тогда x0 является точкой минимума, f(n+1)(x0)<0, тогда x0 является точкой максимума.

    Пример 4

    Найти точки максимума и минимума функции yy=116(x+1)3(x-3)4.

    Решение

    Исходная функция – целая рациональная, отсюда следует, что область определения – все действительные числа. Необходимо продифференцировать функцию. Получим, что

    y'=116x+13'(x-3)4+(x+1)3x-34'==116(3(x+1)2(x-3)4+(x+1)34(x-3)3)==116(x+1)2(x-3)3(3x-9+4x+4)=116(x+1)2(x-3)3(7x-5)

    Данная производная обратится в ноль при x1=-1, x2=57, x3=3. То есть точки могут быть точками возможного экстремума. Необходимо применить третье достаточное условие экстремума. Нахождение второй производной позволяет в точности определить наличие максимума и минимума функции. Вычисление второй производной производится в точках ее возможного экстремума. Получаем, что

    y''=116x+12(x-3)3(7x-5)'=18(x+1)(x-3)2(21x2-30x-3)y''(-1)=0y''57=-368642401<0y''(3)=0

    Значит, что x2=57 является точкой максимума. Применив 3 достаточный признак, получаем, что при n=1 и f(n+1)57<0.

    Необходимо определить характер точек x1=-1, x3=3. Для этого необходимо найти третью производную, вычислить значения в этих точках. Получаем, что

    y'''=18(x+1)(x-3)2(21x2-30x-3)'==18(x-3)(105x3-225x2-45x+93)y'''(-1)=960y'''(3)=0

    Значит, x1=-1 является точкой перегиба функции, так как при n=2 и f(n+1)(-1)0. Необходимо исследовать точку x3=3. Для этого находим 4 производную и производим вычисления в этой точке:

    y(4)=18(x-3)(105x3-225x2-45x+93)'==12(105x3-405x2+315x+57)y(4)(3)=96>0

    Из выше решенного делаем вывод, что x3=3 является точкой минимума функции.

    Графическое изображение

    Ответ: x2=57 является точкой максимума, x3=3 - точкой минимума заданной функции.

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
    Средняя оценка статьи
    4,0 из 5 (20 голосов)