Преобразование графиков элементарных функций

Преобразование графиков элементарных функций

    Основные элементарные функции в чистом виде без преобразования встречаются редко, поэтому чаще всего приходится работать  с элементарными функциями, которые получили  из основных  с помощью добавления констант и коэффициентов.  Такие графики строятся при помощи геометрических преобразований заданных элементарных функций.

    Рассмотрим на примере квадратичной функции вида y=-13x+232+2, графиком которой является парабола y=x2, которая сжата втрое относительно Оу и симметрична относительно Ох, причем сдвинутую на 23 по Ох вправо, на 2 единицы по Оу вверх. На координатной прямой это выглядит так:

    Геометрические преобразования графика функции

    Применяя геометрические преобразования заданного графика получаем, что  график изображается функцией вида ±k1·f(±k2·(x+a))+b, когда k1>0, k2>0 являются коэффициентами сжатия при 0<k1<1, 0<k2<1 или растяжения при k1>1, k2>1 вдоль Оу и Ох. Знак перед коэффициентами k1 и k2 говорит о симметричном отображении графика относительно осей, a и b сдвигают ее по Ох и по Оу.

    Определение 1

    Существует 3 вида геометрических преобразований графика:

    • Масштабирование вдоль Ох и Оу. На это влияют коэффициенты k1 и k2 при условии не равности 1, когда 0<k1<1, 0<k2<1, то график сжимается по Оу, а растягивается по Ох, когда k1>1, k2>1, то график растягивается по Оу и сжимается по Ох.
    • Симметричное отображение относительно координатных осей. При наличии знака «-» перед k1 симметрия идет относительно Ох, перед k2 идет относительно Оу. Если «-» отсутствует, тогда пункт при решении пропускается;
    • Параллельный перенос (сдвиг) вдоль Ох и Оу. Преобразование производится  при  наличии коэффициентов a и b неравных 0. Если значение a положительное, до график сдвигается влево на |а|единиц, если отрицательное a, тогда в право на такое же расстояние. Значение b определяет движение по оси Оу, что значит при положительном b функция движется вверх, при отрицательном – вниз.

    Степенная функция

    Рассмотрим решения на примерах, начиная со степенной функции.

    Пример 1

    Преобразовать y=x23 и построить график функции y=-12·8x-423+3.

    Решение

    Представим функции таким образом:

    y=-12·8x-423+3=-12·8x-1223+3=-2x-1223+3

    Где k1=2, стоит обратить внимание на наличие «-», а=-12 , b=3. Отсюда получаем, что геометрические преобразования  производятся  с растяжения вдоль Оу вдвое, отображается симметрично относительно Ох, сдвигается вправо на 12 и вверх на 3 единицы.

    Если изобразить исходную степенную функцию, получим, что

    при растягивании вдвое вдоль Оу имеем, что

    Отображение, симметричное относительно Ох, имеет вид

    а движение вправо на 12

    движение на 3 единицы вверх имеет вид

    Показательная функция

    Преобразования показательной функции рассмотрим на примерах. 

    Пример 2

    Произвести построение графика показательной функции y=-1212(2-x)+8.

    Решение.

    Преобразуем функцию, исходя из свойств степенной функции. Тогда получим, что

    y=-1212(2-x)+8=-12-12x+1+8=-12·12-12x+8

    Отсюда видно, что получим цепочку преобразований y=12x:

    y=12xy=12·12xy=12·1212xy=-12·1212xy=-12·12-12xy=-12·12-12x+8

    Получаем, что исходная показательная функция имеет вид

    Сжимание вдвое вдоль Оу дает

    Растягивание вдоль Ох

    Симметричное отображение относительно Ох

    Отображение симметрично относительно Оу

    Сдвигание на 8 единиц вверх

    Логарифмическая функция

    Рассмотрим решение на примере логарифмической функции y=ln(x).

    Пример 3

    Построить функцию y=lne2·-12x3 при помощи преобразования y=ln(x).

    Решение

    Для решения необходимо использовать свойства логарифма, тогда получаем:

    y=lne2·-12x3=ln(e2)+ln-12x13=13ln-12x+2

    Преобразования логарифмической функции выглядят так:

    y=ln(x)y=13ln(x)y=13ln12xy=13ln-12xy=13ln-12x+2

    Изобразим график исходной логарифмической функции

    Производим сжимание строе по Оу

    Производим растягивание вдоль Ох

    Производим отображение относительно Оу

    Производим сдвигание вверх на 2 единицы, получаем

    Для преобразования графиков тригонометрической функции необходимо подгонять под схему решения вида ±k1·f(±k2·(x+a))+b. Необходимо , чтобы k2 приравнивался к Tk2. Отсюда получаем, что 0<k2<1 дает понять, что график функции увеличивает период по Ох, при k1 уменьшает его. От коэффициента k1 зависит амплитуда колебаний синусоиды и косинусоиды.

    Преобразования y = sin x

    Рассмотрим примеры решения заданий с преобразованиями y=sinx.

    Пример 4

    Построить график y=-3sin12x-32-2 с помощью преобразований функции y=sinx.

    Решение

    Необходимо привести функцию к виду ±k1·f±k2·x+a+b. Для этого:

    y=-3sin12x-32-2=-3sin12(x-3)-2

    Видно, что k1=3, k2=12, a=-3, b=-2. Так как перед k1 имеется «-», а перед k2 - нет, тогда получим цепочку преобразований вида:

    y=sin(x)y=3sin(x)y=3sin12xy=-3sin12xy=-3sin12x-3y=-3sin12(x-3)-2

    Подробное преобразование синусоиды. При построении графика исходной синусоиды y=sin(x) получаем, что наименьшим положительным периодом считается T=2π. Нахождение максимума в точках π2+2π·k; 1, а минимума - -π2+2π·k; -1, kZ.

    Производится растягивание по Оу втрое, значит возрастание амплитуды колебаний возрастет в 3 раза. T=2π - это наименьший положительный период. Максимумы переходят в π2+2π·k; 3, kZ , минимумы - -π2+2π·k; -3, kZ.

    При растягивании по Ох вдвое получаем, что наименьший положительный период увеличивается в 2 раза и равняется T=2πk2=4π. Максимумы переходят в π+4π·k; 3, kZ, минимумы – в -π+4π·k; -3, kZ.

    Изображение производится симметрично относительно Ох. Наименьший положительный период в данном случае не меняется и равняется T=2πk2=4π. Переход максимума выглядит как -π+4π·k; 3, kZ,  а минимума – π+4π·k; -3, kZ.

    Производится сдвижение графика вниз на 2 единицы. Изменение наименьшего общего периода не происходит. Нахождение максимумов с перехождением в точки -π+3+4π·k; 1, kZ, минимумов - π+3+4π·k; -5, kZ.

    На данном этапе график тригонометрической функции считается преобразованным.

    Преобразование функции y = cos x

    Рассмотрим подробное преобразование функции y=cosx.

    Пример 5

    Построить график функции y=32cos2-2x+1 при помощи преобразования функции вида y=cosx.

    Решение

    По алгоритму необходимо заданную функцию привести к виду ±k1·f±k2·x+a+b. Тогда получаем, что

    y=32cos2-2x+1=32cos(-2(x-1))+1

    Из условия видно, что k1=32, k2=2, a=-1, b=1, где k2 имеет «-», а перед k1 он отсутствует.

    Отсюда получаем, что получится график тригонометрической функции вида:

    y=cos(x)y=32cos(x)y=32cos(2x)y=32cos(-2x)y=32cos(-2(x-1))y=32cos-2(x-1)+1

    Пошаговое преобразование  косинусоиды с графической иллюстрацией.

    При заданной графике y=cos(x) видно, что наименьший общий период равняется T=2π. Нахождение максимумов в 2π·k; 1, kZ, а минимумов π+2π·k; -1, kZ.

    При растягивании вдоль Оу в 32 раза происходит возрастание амплитуды колебаний в 32 раза.T=2π является наименьшим положительным периодом. Нахождение максимумов в 2π·k; 32, kZ, минимумов в π+2π·k; -32, kZ.

    При сжатии вдоль Ох вдвое получаем, что наименьшим положительным периодом является число  T=2πk2=π. Производится переход  максимумов в π·k; 32, kZ,минимумов - π2+π·k; -32, kZ.

    Симметричное отображение относительно Оу. Так как график нечетный, то он не будет изменяться.

    При сдвигании графика на 1. Отсутствуют изменения наименьшего положительного периода T=π. Нахождение максимумов в π·k+1; 32, kZ, минимумов - π2+1+π·k; -32, kZ.

    При сдвигании на 1 наименьший положительный период равняется T=π и не изменен. Нахождение максимумов в π·k+1; 52, kZ, минимумов в π2+1+π·k; -12, kZ.

    Преобразования функции косинуса завершено.

    Преобразования y = tgx

    Рассмотрим преобразования на примере y=tgx.

    Пример 6

    Построить график функции y=-12tgπ3-23x+π3 при помощи преобразований функции y=tg(x).

    Решение

    Для начала необходимо привести заданную функцию к виду ±k1·f±k2·x+a+b, после чего получаем, что

    y=-12tgπ3-23x+π3=-12tg-23x-π2+π3

    Отчетливо видно, что k1=12, k2=23, a=-π2, b=π3, а перед коэффициентами k1 и k2 имеется «-». Значит, после преобразования тангенсоиды получаем

    y=tg(x)y=12tg(x)y=12tg23xy=-12tg23xy=-12tg-23xy=-12tg-23x-π2y=-12tg-23x-π2+π3

    Поэтапное преобразование тангенсоиды с графическим изображением.

     Имеем, что исходный график – это y=tg(x). Изменение положительного периода равняется T=π. Областью определения считается -π2+π·k; π2+π·k, kZ.

    Сжимаем  в 2 раза вдоль ОуT=π считается наименьшим положительным периодом, где область определения имеет вид -π2+π·k; π2+π·k, kZ.

    Растягиваем вдоль Ох в 32 раза. Вычислим наименьший положительный период, причем равнялся T=πk2=32π. А область определения функции с координатами -3π4+32π·k; 3π4+32π·k, kZ , меняется только область определения.

    Симметрия идет по сторону Ох. Период не изменится  в этот момент.

    Необходимо симметрично отображать оси координат. Область определения в данном случае неизменна. График совпадает с предыдущим. Это говорит о том, что функция тангенса нечетная. Если к нечетной функции задать симметричное отображение Ох и Оу, тогда преобразуем до исходной функции.

    При движении вправо на π2 видим, что наименьшим положительным периодом является  T=32π. А изменения происходят внутри области определения -π4+32π·k; 5π4+32π·k, kZ.

    При сдвигании графика на π3 получаем, что изменение области определения отсутствует.

    Преобразование тангенса завершено.

    Тригонометрическая функция вида y=arccosx

    Рассмотрим на примере тригонометрической функции вида y=arccosx.

    Пример 7

    Построить график функции y=2arcsin13(x-1) при помощи преобразования y=arccosx.

    Решение

    Для начала необходимо перейти от арккосинуса к арксинусу при помощи обратных тригонометрических функций arcsin x+arcocos x=π2. Значит, получим, что arcsinx=π2-arccosx.

    Видно, что y=arccosxy=-arccosxy=-arccosx+π2.

    Поэтапное преобразование арккосинуса и графическое изображение.

    График, данный по условию

    Производим отображение относительно Ох

    Производим движение вверх на π2.

    Таким образом, осуществляется переход от арккосинуса к косинусу. Необходимо произвести геометрические преобразования арксинуса и его графика.

    Видно, что k1=2, k2=13, a=-1, b=0, где отсутствует знак «-» у  k1 и k2.

    Отсюда получаем, что преобразования y=arcsinx примет вид:

    y=arcsin(x)y=2arcsin(x)y=2arcsin13xy=2arcsin13(x-1)

    Поэтапное преобразование графика арксинуса и графическое изображение.

    График y=arcsinx имеет область определения  вида x-1; 1, тогда интервал y-π2; π2 относится к области значений.

    Необходимо растянуть вдвое по Оу, причем область определения останется неизменной x-1; 1, а область значений y-π; π.

    Растягивание по Ох строе. Происходит расширение области определения x-3; 3, но область значений остается неизменной y-π; π.

    Производим сдвигание вправо на 1, причем область определения становится равной x-2; 4. Без изменений остается область значений y-π; π.

    Задача преобразования графика обратной тригонометрической функции завершена. Если по условию имеются сложные функции, тогда необходимо прибегнуть к полному исследованию функция.

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter