Полное исследование функции и построение графика

Содержание:

Преподаватель математики и информатики. Кафедра бизнес-информатики Российского университета транспорта

Если в задаче необходимо произвести полное исследование функции $f (x) = \frac{x^{2}}{4 x^{2} - 1}$ с построением его графика, тогда рассмотрим этот принцип подробно.

Для решения задачи данного типа следует использовать свойства и графики основных элементарных функций. Алгоритм исследования включает в себя шаги:

Нахождение области определения

Так как исследования проводятся на области определения функции, необходимо начинать с этого шага.

Пример 1

Заданный пример предполагает нахождение нулей знаменателя для того, чтобы исключить их из ОДЗ.

$4 x^{2} - 1 = 0 x = \pm \frac{1}{2} \Rightarrow x \in (- \infty; - \frac{1}{2}) \cup (- \frac{1}{2}; \frac{1}{2}) \cup (\frac{1}{2}; + \infty)$

В результате можно получить корни, логарифмы, и так далее. Тогда ОДЗ можно искать для корня четной степени типа $\sqrt[4]{g (x)}$ по неравенству $g (x) \geq 0$ , для логарифма $\log_{a} g (x)$ по неравенству $g (x) > 0$ .

Исследование границ ОДЗ и нахождение вертикальных асимптот

На границах функции имеются вертикальные асимптоты, когда односторонние пределы в таких точках бесконечны.

Пример 2

Для примера рассмотрим приграничные точки, равные $x = \pm \frac{1}{2}$ .

Тогда необходимо проводить исследование функции для нахождения одностороннего предела. Тогда получаем, что: $\lim_{x \to - \frac{1}{2} - 0} f (x) = \lim_{x \to - \frac{1}{2} - 0} \frac{x^{2}}{4 x^{2} - 1} = = \lim_{x \to - \frac{1}{2} - 0} \frac{x^{2}}{(2 x - 1) (2 x + 1)} = \frac{\frac{1}{4}}{(- 2) \cdot (- 0)} = + \infty \lim_{x \to - \frac{1}{2} + 0} f (x) = \lim_{x \to - \frac{1}{2} + 0} \frac{x^{2}}{4 x - 1} = = \lim_{x \to - \frac{1}{2} + 0} \frac{x^{2}}{(2 x - 1) (2 x + 1)} = \frac{\frac{1}{4}}{(- 2) \cdot (+ 0)} = - \infty \lim_{x \to \frac{1}{2} - 0} f (x) = \lim_{x \to \frac{1}{2} - 0} \frac{x^{2}}{4 x^{2} - 1} = = \lim_{x \to \frac{1}{2} - 0} \frac{x^{2}}{(2 x - 1) (2 x + 1)} = \frac{\frac{1}{4}}{(- 0) \cdot 2} = - \infty \lim_{x \to \frac{1}{2} - 0} f (x) = \lim_{x \to \frac{1}{2} - 0} \frac{x^{2}}{4 x^{2} - 1} = = \lim_{x \to \frac{1}{2} - 0} \frac{x^{2}}{(2 x - 1) (2 x + 1)} = \frac{\frac{1}{4}}{(+ 0) \cdot 2} = + \infty$

Отсюда видно, что односторонние пределы являются бесконечными, значит прямые $x = \pm \frac{1}{2}$ - вертикальные асимптоты графика.

Исследование функции и на четность или нечетность

Когда выполняется условие $y (- x) = y (x)$ , функция считается четной. Это говорит о том, что график располагается симметрично относительно $О у$ . Когда выполняется условие $y (- x) = - y (x)$ , функция считается нечетной. Значит, что симметрия идет относительно начала координат. При невыполнении хотя бы одного неравенства, получаем функцию общего вида.

Выполнение равенства $y (- x) = y (x)$ говорит о том, что функция четная. При построении необходимо учесть, что будет симметричность относительно $О у$ .

Нахождение возрастания и убывания, точек экстремума

Для решения неравенства применяются промежутки возрастания и убывания с условиями $f^{'} (x) \geq 0$ и $f^{'} (x) \leq 0$ соответственно.

Определение 1

Стационарные точки – это такие точки, которые обращают производную в ноль.

Критические точки - это внутренние точки из области определения, где производная функции равняется нулю или не существует.

При решении необходимо учитывать следующие замечания:

при имеющихся промежутках возрастания и убывания неравенства вида $f^{'} (x) > 0$ критические точки в решение не включаются;
точки, в которых функция определена без конечной производной , необходимо включать в промежутки возрастания и убывания (к примеру, $y = \sqrt[3]{x}$ , где точка $х = 0$ делает функцию определенной, производная имеет значение бесконечности в этой точке, $y^{'} = \frac{1}{3 \cdot x^{\frac{2}{3}}}, y^{'} (0) = \frac{1}{0} = \infty$ , $х = 0$ включается в промежуток возрастания);
во избежание разногласий рекомендовано пользоваться математической литературой, которая рекомендована министерством образования.

Включение критических точек в промежутки возрастания и убывания в том случае, если они удовлетворяют области определения функции.

Определение 2

Для определения промежутков возрастания и убывания функции необходимо найти:

производную;
критические точки;
разбить область определения при помощи критических точек на интервалы;
определить знак производной на каждом из промежутков, где $+$ является возрастанием, а $-$ является убыванием.

Нахождение возрастания и убывания, точек экстремума — Пример 3

На схеме при помощи $+$ и $-$ изображается положительность и отрицательность функции, а стрелочки – убывание и возрастание.

Точки экстремума функции – точки, где функция определена и через которые производная меняет знак.

Пример 4

Если рассмотреть пример, где $х = 0$ , тогда значение функции в ней равняется $f (0) = \frac{0^{2}}{4 \cdot 0^{2} - 1} = 0$ . При перемене знака производной с $+$ на $-$ и прохождении через точку $х = 0$ , тогда точка с координатами $(0; 0)$ считается точкой максимума. При перемене знака с $-$ на $+$ получаем точку минимума.

Нахождение промежутков выпуклости и вогнутости функции и точек перегиба

Выпуклость и вогнутость определяется при решении неравенств вида $f'' (x) \geq 0$ и $f'' (x) \leq 0$ . Реже используют название выпуклость вниз вместо вогнутости, а выпуклость вверх вместо выпуклости.

Определение 3

Для определения промежутков вогнутости и выпуклости необходимо:

найти вторую производную;
найти нули функции второй производной;
разбить область определения появившимися точками на интервалы;
определить знак промежутка.

Нахождение промежутков выпуклости и вогнутости функции и точек перегиба — Пример 5

Определение 4

Точка перегиба – это точка вида $(x_{0}; f (x_{0}))$ . Когда в ней имеется касательная к графику функции, то при ее прохождении через $x_{0}$ функция изменяет знак на противоположный.

Иначе говоря, это такая точка, через которую проходит вторая производная и меняет знак, а в самих точках равняется нулю или не существует. Все точки считаются областью определения функции.

В примере было видно, что точки перегиба отсутствуют, так как вторая производная изменяет знак во время прохождения через точки $x = \pm \frac{1}{2}$ . Они , в свою очередь, в область определения не входят.

Нахождение горизонтальных и наклонных асимптот

При определении функции на бесконечности нужно искать горизонтальные и наклонные асимптоты.

Определение 5

Наклонные асимптоты изображаются при помощи прямых, заданных уравнением $y = k x + b$ , где $k = \lim_{x \to \infty} \frac{f (x)}{x}$ и $b = \lim_{x \to \infty} (f (x) - k x)$ .

При $k = 0$ и $b$ , не равному бесконечности, получаем, что наклонная асимптота становится горизонтальной.

Иначе говоря, асимптотами считают линии, к которым приближается график функции на бесконечности. Это способствует быстрому построению графика функции.

Если асимптоты отсутствуют, но функция определяется на обеих бесконечностях, необходимо посчитать предел функции на этих бесконечностях, чтобы понять, как себя будет вести график функции.

Пример 6

На примере рассмотрим, что

$k = \lim_{x \to \infty} \frac{f (x)}{x} = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{x^{2}}{4 x^{2} - 1}}{x} = 0 b = \lim_{x \to \infty} (f (x) - k x) = \lim_{x \to \infty} \frac{x^{2}}{4 x^{2} - 1} = \frac{1}{4} \Rightarrow y = \frac{1}{4}$

является горизонтальной асимптотой. После исследования функции можно приступать к ее построению.

Вычисление значения функции в промежуточных точках

Чтобы построение графика было наиболее точным, рекомендовано находить несколько значений функции в промежуточных точках.

Пример 7

Из рассмотренного нами примера необходимо найти значения функции в точках $х = - 2, х = - 1, х = - \frac{3}{4}, х = - \frac{1}{4}$ . Так как функция четная, получим, что значения совпадут со значениями в этих точках, то есть получим $х = 2, х = 1, х = \frac{3}{4}, х = \frac{1}{4}$ .

Запишем и решим:

$f (- 2) = f (2) = \frac{2^{2}}{4 \cdot 2^{2} - 1} = \frac{4}{15} \approx 0, 27 f (- 1) - f (1) = \frac{1^{2}}{4 \cdot 1^{2} - 1} = \frac{1}{3} \approx 0, 33 f (- \frac{3}{4}) = f (\frac{3}{4}) = \frac{{(\frac{3}{4})}^{2}}{4 {(\frac{3}{4})}^{2} - 1} = \frac{9}{20} = 0, 45 f (- \frac{1}{4}) = f (\frac{1}{4}) = \frac{{(\frac{1}{4})}^{2}}{4 \cdot {(\frac{1}{4})}^{2} - 1} = - \frac{1}{12} \approx - 0, 08$

Построение графика

Для определения максимумов и минимумов функции, точек перегиба, промежуточных точек необходимо строить асимптоты. Для удобного обозначения фиксируются промежутки возрастания, убывания, выпуклость, вогнутость. Рассмотрим на рисунке, изображенном ниже.

Необходимо через отмеченные точки проводить линии графика, что позволит приблизить к асимптотам, следуя стрелочкам.

Построение графика

На этом заканчивается полное исследование функции. Встречаются случаи построения некоторых элементарных функций, для которых применяют геометрические преобразования.

Курсовая работа по математике

от 5 дней/ от 2160 р.

Реферат по математике

от 1 дня/ от 840 р.

Решение задач по математике

от 1 дня/ от 150 р.