Основные элементарные функции: их свойства и графики

Основные элементарные функции: их свойства и графики

    Основные элементарные функции, присущие им свойства и соответствующие графики – одни из азов математических знаний, схожих по степени важности с таблицей умножения. Элементарные функции являются базой, опорой для изучения всех теоретических вопросов.

    Статья ниже дает ключевой материал по теме основных элементарных функций. Мы введем термины, дадим им определения; подробно изучим каждый вид элементарных функций, разберем их свойства.

    Выделяют следующие виды основных элементарных функций:

    Определение 1
    • постоянная функция (константа);
    • корень n-ой степени;
    • степенная функция;
    • показательная функция;
    • логарифмическая функция;
    • тригонометрические функции;
    • братные тригонометрические функции.

    Постоянная функция

    Постоянная функция определяется формулой: y=C (C – некое действительное число) и имеет также название: константа. Данная функция определяет соответствие любому действительному значению независимой переменной x одного и того же значения переменной y – значение C.

    График константы – это прямая, которая параллельна оси абсцисс и проходит через точку, имеющую координаты (0, С). Для наглядности приведем графики постоянных функций y=5, y=-2, y=3, y=3 (на чертеже обозначено черным, красным и синим цветами соответственно).

    Определение 2

    Свойства постоянных функций:

    • область определения – все множество действительных чисел;
    • постоянная функция – четная;
    • область значений – множество, составленное из единственного числа C;
    • постоянная функция является невозрастающей и неубывающей;
    • постоянная функция – прямая линия, о выпуклости или вогнутости здесь речи быть не может;
    • асимптоты отсутствуют;
    • точка прохождения функции на координатной плоскости – (0; С).

    Корень n-й степени

    Данная элементарная функция определяется формулой y=xn (n – натуральное число больше единицы).

    Рассмотрим две вариации функции.

    1. Корень n-й степени, n – четное число

    Для наглядности укажем чертеж , на котором изображены графики таких функций: y=x, y=x4 и y=x8. Эти функции отмечены цветом: черный, красный и синий соответственно.

    Похожий вид у графиков функции четной степени при иных значениях показателя.

    Определение 3

    Свойства функции корень n-ой степени, n – четное число

    • область определения – множество всех неотрицательных действительных чисел [0, +);
    • когда x=0, функция y=xn имеет значение, равное нулю;
    • данная функция- функция общего вида (не является ни четной, ни нечетной);
    • область значений: [0, +);
    • данная функция y=xn при четных показателях корня возрастает на всей области определения;
    • функция обладает выпуклостью с направлением вверх на всей области определения;
    • отсутствуют точки перегиба;
    • асимптоты отсутствуют;
    • график функции при четных n проходит через точки (0; 0) и (1; 1).
    1. Корень n-й степени, n – нечетное число

    Такая функция определена на всем множестве действительных чисел. Для наглядности рассмотрим графики функций y=x3, y=x5 и x9. На чертеже они обозначены цветами: черный, красный и синий цвета кривых соответственно.

    Иные нечетные значения показателя корня функции y=xn дадут график аналогичного вида.

    Определение 4

    Свойства функции корень n-ой степени, n – нечетное число

    • область определения – множество всех действительных чисел;
    • данная функция – нечетная;
    • область значений – множество всех действительных чисел;
    • функция y=xn при нечетных показателях корня возрастает на всей области определения;
    • функция имеет вогнутость на промежутке (-; 0] и выпуклость на промежутке [0, +);
    • точка перегиба имеет координаты (0; 0);
    • асимптоты отсутствуют;
    • график функции при нечетных n проходит через точки (-1; -1), (0; 0) и (1; 1).

    Степенная функция

    Определение 5

    Степенная функция определяется формулой y=xa.

    Вид графиков и свойства функции зависят от значения показателя степени.

    • когда степенная функция имеет целый показатель a, то вид графика степенной функции и ее свойства зависят от того, четный или нечетный показатель степени, а также того, какой знак имеет показатель степени. Рассмотрим все эти частные случаи подробнее ниже;
    • показатель степени  может быть дробным или иррациональным – в зависимости от этого также варьируется вид графиков и свойства функции. Мы разберем частные случаи, задав несколько условий: 0<a<1; a>1; -1<a<0 и a<-1;
    • степенная функция может иметь нулевой показатель, этот случай также ниже разберем подробнее.

    Степенная функция при нечетном положительном показателе

    Разберем степенную функцию y=xa, когда a – нечетное положительное число, например, a=1, 3, 5

    Для наглядности укажем графики таких степенных функций: y=x (черный цвет графика), y=x3 (синий цвет графика), y=x5 (красный цвет графика),  y=x7 (зеленый цвет графика). Когда a=1, получаем линейную функцию y=x.

    Определение 6

    Свойства степенной функции, когда показатель степени – нечетный положительный

    • область определения: x-; +;
    • область значений: y-; +;
    • функция является нечетной, поскольку y(-x)=-y(x);
    • функция является возрастающей при x(-; +);
    • функция имеет выпуклость при x(-; 0] и вогнутость при x[0; +) (исключая линейную функцию);
    • точка перегиба имеет координаты (0; 0) (исключая линейную функцию);
    • асимптоты отсутствуют;
    • точки прохождения функции: (-1; -1), (0; 0), (1;1).

    Степенная функция при четном положительном показателе

    Разберем степенную функцию y=xa, когда a – четное положительное число, например, a=2, 4, 6

    Для наглядности укажем графики таких степенных функций: y=x2 (черный цвет графика), y=x4 (синий цвет графика),  y=x8 (красный цвет графика). Когда a=2, получаем квадратичную функцию, график которой – квадратичная парабола.

    Определение 7

    Свойства степенной функции, когда показатель степени – четный положительный:

    • область определения: x(-; +);
    • область значений: y[0; +);
    • функция является четной, поскольку y(-x)=y(x);
    • функция является возрастающей при x[0; +); убывающей при x(-; 0];
    • функция имеет вогнутость при x(-; +);
    • очки перегиба отсутствуют;
    • асимптоты отсутствуют;
    • точки прохождения функции: (-1; 1), (0; 0), (1;1).

    Степенная функция при нечетном отрицательном показателе

    На рисунке ниже приведены примеры графиков степенной функции y=xa, когда a – нечетное отрицательное число: y=x-9 (черный цвет графика); y=x-5 (синий цвет графика); y=x-3 (красный цвет графика); y=x-1 (зеленый цвет графика). Когда a=-1, получаем обратную пропорциональность, график которой – гипербола.

    Определение 8

    Свойства степенной функции, когда показатель степени – нечетный отрицательный:

    • область определения: x(-; 0)(0; +);

    Когда х=0, получаем разрыв второго рода, поскольку limx0-0xa=-, limx0+0xa=+ при a=-1, -3, -5, . Таким образом, прямая х=0 – вертикальная асимптота;

    • область значений: y(-; 0)(0; +);
    • функция является нечетной, поскольку y(-x)=-y(x);
    • функция является убывающей при x-; 0(0; +);
    • функция имеет выпуклость при x(-; 0) и вогнутость при x(0; +);
    • точки перегиба отсутствуют;
    • горизонтальная асимптота – прямая y=0, поскольку:

    k=limxxax=0, b=limx(xa-kx)=0y=kx+b=0, когда а=-1, -3, -5, ... .

    • точки прохождения функции: (-1; -1), (1; 1).

    Степенная функция при четном отрицательном показателе степени

    На рисунке ниже приведены примеры графиков степенной функцииy=xa, когда a – четное отрицательное число: y=x-8 (черный цвет графика); y=x-4 (синий цвет графика); y=x-2 (красный цвет графика).

    Определение 9

    Свойства степенной функции, когда показатель степени – четный отрицательный:

    • область определения: x(-; 0)(0; +);

    Когда х=0, получаем разрыв второго рода, поскольку limx0-0xa=+, limx0+0xa=+ при a=-2, -4, -6, . Таким образом, прямая х=0 – вертикальная асимптота;

    • область значений: y(0; +);
    • функция является четной, поскольку y(-x)=y(x);
    • функция является возрастающей при x(-; 0) и убывающей при x0; +;
    • функция имеет вогнутость при x(-; 0)(0; +);
    • точки перегиба отсутствуют;
    • горизонтальная асимптота – прямая y=0, поскольку:

    k=limxxax=0, b=limx(xa-kx)=0y=kx+b=0, когда a=-2, -4, -6, ... .

    • точки прохождения функции: (-1; 1), (1; 1).

    Степенная функция при рациональном или иррациональном показателе (значение больше нуля и меньше единицы)

    С самого начала обратите внимание на следующий аспект: в случае, когда a – положительная дробь с нечетным знаменателем, некоторые авторы принимают за область определения этой степенной функции интервал -; +, оговаривая при этом, что показатель a – несократимая дробь. На данный момент авторы многих учебных изданий по алгебре и началам анализа НЕ ОПРЕДЕЛЯЮТ степенные функции, где показатель – дробь с нечетным знаменателем при отрицательных значениях аргумента. Далее мы придержемся именно такой позиции: возьмем за область определения степенных функций с дробными положительными показателями степени множество [0; +). Рекомендация для учащихся: выяснить взгляд преподавателя на этот момент во избежание разногласий.

    Итак, разберем степенную функцию y=xa, когда показатель  степени – рациональное или иррациональное число при условии, что 0<a<1.

    Проиллюстрируем графиками степенные функции y=xa, когда a=1112 (черный цвет графика); a=57 (красный цвет графика); a=13 (синий цвет графика); a=25 (зеленый цвет графика).

      

    Иные значения показателя степени a (при условии 0<a<1) дадут аналогичный вид графика.

    Определение 10

    Свойства степенной функции при 0<a<1:

    • область определения: x[0; +);
    • область значений: y[0; +);
    • данная функция – функция общего вида (не является ни нечетной, ни четной);
    • функция является возрастающей при x[0; +);
    • функция имеет выпуклость при x(0; +);
    • точки перегиба отсутствуют;
    • асимптоты отсутствуют;
    • точки прохождения функции: (0; 0), (1; 1).

    Степенная функция при нецелом рациональном или иррациональном показателе степени (больше единицы)

    Разберем степенную функцию y=xa, когда показатель  степени – нецелое рациональное или иррациональное число при условии, что a>1.

    Проиллюстрируем графиками степенную функцию y=xa в заданных условиях на примере таких функций: y=x54, y=x43, y=x73, y=x3π(черный, красный, синий, зеленый цвет графиков соответственно).

    Иные значения показателя степени а при условии a>1 дадут похожий вид графика.

    Определение 11

    Свойства степенной функции при a>1:

    • область определения: x[0; +);
    • область значений: y[0; +);
    • данная функция – функция общего вида (не является ни нечетной, ни четной);
    • функция является возрастающей при x[0; +);
    • функция имеет вогнутость при x(0; +) (когда 1<a<2) и выпуклость при x[0; +) (когда a>2);
    • точки перегиба отсутствуют;
    • асимптоты отсутствуют;
    • точки прохождения функции: (0; 0), (1; 1).

    Степенная функция при действительном показателе степени (больше минус единицы и меньше нуля)

    Обращаем ваше внимание! Когда a – отрицательная дробь с нечетным знаменателем, в работах некоторых авторов встречается взгляд, что область определения в данном случае – интервал -; 0(0; +) с оговоркой, что показатель степени a – несократимая дробь. На данный момент авторы учебных материалов по алгебре и началам анализа НЕ ОПРЕДЕЛЯЮТ степенные функции с показателем в виде дроби с нечетным знаменателем при отрицательных значениях аргумента. Далее мы придерживаемся именно такого взгляда: возьмем за область определения степенных функций с дробными отрицательными показателями множество (0; +). Рекомендация для учащихся: уточните видение вашего преподавателя на этот момент во избежание разногласий.

    Продолжаем тему и разбираем степенную функцию y=xa при условии: -1<a<0.

    Приведем чертеж графиков следующий функций: y=x-56, y=x-23, y=x-122, y=x-17 (черный, красный, синий, зеленый цвет линий соответственно).

    Определение 12

    Свойства степенной функции при -1<a<0:

    • область определения: x0; +;

    limx0+0xa=+, когда -1<a<0, т.е. х=0 – вертикальная асимптота;

    • область значений: y0; +;
    • данная функция – функция общего вида (не является ни нечетной, ни четной);
    • функция является убывающей при x0; +;
    • функция имеет вогнутость при x0; +;
    • точки перегиба отсутствуют;
    • горизонтальная асимптота – прямая y=0;
    • точка прохождения функции: (1; 1).

    Степенная функция при нецелом действительном показателе степени (меньше минус единицы)

    На чертеже ниже приведены графики степенных функций y=x-54, y=x-53, y=x-6, y=x-247 (черный, красный, синий, зеленый цвета кривых соответственно).

    Определение 13

    Свойства степенной функции при a<-1:

    • область определения: x0; +;

    limx0+0xa=+, когда a<-1, т.е. х=0 – вертикальная асимптота;

    • область значений: y(0; +);
    • данная функция – функция общего вида (не является ни нечетной, ни четной);
    • функция является убывающей при x0; +;
    • функция имеет вогнутость при x0; +;
    • точки перегиба отсутствуют;
    • горизонтальная асимптота – прямая y=0;
    • точка прохождения функции: (1; 1).

    Когда a=0 и х0, получим функцию y=x0=1, определяющую прямую, из которой исключена точка (0; 1) (условились, что выражению 00 не будет придаваться никакого значения).

    Показательная функция

    Показательная функция имеет вид y=ax, где а>0 и а 1, и график этой функции выглядит различно, исходя из значения основания a. Рассмотрим частные случаи.

    Сначала разберем ситуацию, когда основание показательной функции имеет значение от нуля до единицы (0<a<1). Наглядным примером послужат графики функций при a=12 (синий цвет кривой) и a=56 (красный цвет кривой).

    Подобный же вид будут иметь графики показательной функции при иных значениях основания при условии 0<a<1.

    Определение 14

    Свойства показательной функции, когда основание меньше единицы:

    • область определения – все множество действительных чисел;
    • область значений: y(0; +);
    • данная функция – функция общего вида (не является ни нечетной, ни четной);
    • показательная функция, у которой основание меньше единицы, является убывающей на всей области определения;
    • функция имеет вогнутость при x-; +;
    • точки перегиба отсутствуют;
    • горизонтальная асимптота – прямая y=0 при переменной x, стремящейся к +;
    • точка прохождения функции: (0; 1).

    Теперь рассмотрим случай, когда основание показательной функции больше, чем единица (а>1).

    Проиллюстрируем этот частный случай графиком показательных функций y=32x(синий цвет кривой) и y=ex (красный цвет графика).

    Иные значения основания, большие единицы, дадут аналогичный вид графика показательной функции.

    Определение 15

    Свойства показательной функции, когда основание больше единицы:

    • область определения – все множество действительных чисел;
    • область значений: y(0; +);
    • данная функция – функция общего вида (не является ни нечетной, ни четной);
    • показательная функция, у которой основание больше единицы, является возрастающей при x-; +;
    • функция имеет вогнутость при x-; +;
    • точки перегиба отсутствуют;
    • горизонтальная асимптота – прямая y=0 при переменной x, стремящейся к -;
    • точка прохождения функции: (0; 1).

    Логарифмическая функция

    Логарифмическая функция имеет вид y=loga(x), где a>0, a1.

    Такая функция определена только при положительных значениях аргумента: при x0; +.

    График логарифмической функции имеет различный вид, исходя из значения основания а.

    Рассмотрим сначала ситуацию, когда 0<a<1. Продемонстрируем этот частный случай графиком логарифмической функции при a=12 (синий цвет кривой) и а=56 (красный цвет кривой).

    Иные значения основания, не большие единицы, дадут аналогичный вид графика.

    Определение 16

    Свойства логарифмической функции, когда основание меньше единицы:

    • область определения: x0; +.  Когда х стремится к нулю справа, значения функции стремятся к +;
    • область значений: y-; +;
    • данная функция – функция общего вида (не является ни нечетной, ни четной);
    • логарифмическая функция является убывающей на всей области определения;
    • функция имеет вогнутость при x0; +;
    • точки перегиба отсутствуют;
    • асимптоты отсутствуют;
    • точка прохождения функции: (1; 0).

    Теперь разберем частный случай, когда основание логарифмической функции больше единицы: а>1. На чертеже ниже – графики логарифмических функций y=log32x и y=ln x (синий и красный цвета графиков соответственно).

    Иные значения основания больше единицы дадут аналогичный вид графика.

    Определение 17

    Свойства логарифмической функции, когда основание больше единицы:

    • область определения: x0; +.  Когда х стремится к нулю справа, значения функции стремятся к -;
    • область значений: y-; + (все множество действительных чисел);
    • данная функция – функция общего вида (не является ни нечетной, ни четной);
    • логарифмическая функция является возрастающей при x0; +;
    • функция имеет выпуклость при x0; +;
    • точки перегиба отсутствуют;
    • асимптоты отсутствуют;
    • точка прохождения функции: (1; 0).

    Тригонометрические функции, их свойства и графики

    Тригонометрические функции – это синус, косинус, тангенс и котангенс. Разберем свойства каждой из них и соответствующие графики.

    В общем для всех тригонометрических функций характерно свойство периодичности, т.е. когда значения функций повторяются при разных значениях аргумента, отличающихся друг от друга на величину периода f(x+T)=f(x) (T – период). Таким образом, в списке свойств тригонометрических функций добавляется пункт «наименьший положительный период». Помимо этого, будем указывать такие значения аргумента, при которых соответствующая функция обращается в нуль.

    1. Функция синус: y=sin(х)

    График данной функции называется синусоида.

    Определение 18

    Свойства функции синус:

    • область определения: все множество действительных чисел x-; +;
    • наименьший положительный период: Т=2π;
    • функция обращается в нуль, когда x=π·k, где kZ (Z – множество целых чисел);
    • область значений: y-1; 1;
    • данная функция – нечетная, поскольку y(-x)=-y(x);
    • функция является возрастающей при x-π2+2π·k; π2+2π·k, kZ и убывающей при xπ2+2π·k; 3π2+2π·k, kZ;
    • функция синус имеет локальные максимумы в точках π2+2π·k; 1 и локальные минимумы в точках -π2+2π·k; -1, kZ;
    • функция синус вогнутая, когда x-π+2π·k; 2π·k, kZ и выпуклая, когда x2π·k; π+2π·k, kZ;
    • точки перегиба имеют координаты π·k; 0, kZ;
    • асимптоты отсутствуют.
    1. Функция косинус: y=cos(х)

    График данной функции называется косинусоида.

    Определение 19

    Свойства функции косинус:

    • область определения:  x-; +;
    • наименьший положительный период: Т=2π;
    • функция обращается в нуль, когда x=π2+π·k при kZ (Z – множество целых чисел);
    • область значений: y-1; 1;
    • данная функция – четная, поскольку y(-x)=y(x);
    • функция является возрастающей при x-π+2π·k; 2π·k, kZ и убывающей при x2π·k; π+2π·k, kZ;
    • функция косинус имеет локальные максимумы в точках 2π·k; 1, kZ и локальные минимумы в точках π+2π·k; -1, kz;
    • функция косинус вогнутая, когда xπ2+2π·k; 3π2+2π·k, kZ и выпуклая, когдаx-π2+2π·k; π2+2π·k, kZ ;
    • точки перегиба имеют координаты π2+π·k; 0, kZ
    • асимптоты отсутствуют.
    1. Функция тангенс: y=tg(х)

    График данной функции называется тангенсоида.

    Определение 20

    Свойства функции тангенс:

    • область определения:  x-π2+π·k; π2+π·k, где kZ (Z – множество целых чисел);
    • Поведение функции тангенс на границе области определения limxπ2+π·k+0tg(x)=-, limxπ2+π·k-0tg(x)=+. Таким образом, прямые x=π2+π·k kZ – вертикальные асимптоты;
    • наименьший положительный период: Т=π;
    • функция обращается в нуль, когда x=π·k при kZ (Z – множество целых чисел);
    • область значений: y-; +;
    • данная функция – нечетная, поскольку y(-x)=-y(x);
    • функция является возрастающей при -π2+π·k;π2+π·k, kZ ;
    • функция тангенс является вогнутой при x[π·k; π2+π·k), kZ и выпуклой при x(-π2+π·k; π·k], kZ;
    • точки перегиба имеют координаты π·k; 0, kZ;
    • наклонные и горизонтальные асимптоты отсутствуют.
    1. Функция котангенс: y=ctg(х)

    График данной функции называется котангенсоида.

    Определение 21

    Свойства функции котангенс:

    • область определения:  x(π·k; π+π·k), где kZ (Z – множество целых чисел);

    Поведение функции котангенс на границе области определения limxπ·k+0tg(x)=+, limxπ·k-0tg(x)=-. Таким образом, прямые x=π·k kZ – вертикальные асимптоты;

    • наименьший положительный период: Т=π;
    • функция обращается в нуль, когда x=π2+π·k при kZ (Z – множество целых чисел);
    • область значений: y-; +;
    • данная функция – нечетная, поскольку y(-x)=-y(x);
    • функция является убывающей при xπ·k; π+π·k, kZ ;
    • функция котангенс является вогнутой при x(π·k; π2+π·k], kZ и выпуклой при x[-π2+π·k; π·k), kZ;
    • точки перегиба имеют координаты π2+π·k; 0, kZ;
    • наклонные и горизонтальные асимптоты отсутствуют.

    Обратные тригонометрические функции, их свойства и графики

    Обратные тригонометрические функции – это арксинус, арккосинус, арктангенс и арккотангенс. Зачастую, в связи с наличием приставки «арк» в названии, обратные тригонометрические функции называют аркфункциями.

    1. Функция арксинус: y=arcsin(х)

    Определение 22

    Свойства функции арксинус:

    • область определения: x-1; 1;
    • область значений: y-π2; π2 ;
    • данная функция – нечетная, поскольку y(-x)=-y(x);
    • функция является возрастающей на всей области определения;
    • функция арксинус имеет вогнутость при x0; 1 и выпуклость при x-1; 0;
    • точки перегиба имеют координаты (0; 0), она же – нуль функции;
    • асимптоты отсутствуют.
    1. Функция арккосинус: y=arccos(х)

    Определение 23

    Свойства функции арккосинус:

    • область определения: x-1; 1;
    • область значений:  y0; π;
    • данная функция - общего вида (ни четная, ни нечетная);
    • функция является убывающей на всей области определения;
    • функция арккосинус имеет вогнутость при x-1; 0 и выпуклость при x0; 1;
    • точки перегиба имеют координаты 0; π2;
    • асимптоты отсутствуют.
    1. Функция арктангенс: y=arctg(х)

    Определение 24

    Свойства функции арктангенс:

    • область определения: x-; +;
    • область значений: y-π2; π2 ;
    • данная функция – нечетная, поскольку y(-x)=-y(x);
    • функция является возрастающей на всей области определения;
    • функция арктангенс имеет вогнутость при x(-; 0] и выпуклость при x[0; +);
    • точка перегиба имеет координаты (0; 0), она же – нуль функции;
    • горизонтальные асимптоты – прямые y=-π2 при x- и y=π2 при x+ (на рисунке асимптоты – это линии зеленого цвета).
    1. Функция арккотангенс: y=arcctg(х)

    Определение 25

    Свойства функции арккотангенс:

    • область определения: x-; +;
    • область значений: y(0; π) ;
    • данная функция – общего вида;
    • функция является убывающей на всей области определения;
    • функция арккотангенс имеет вогнутость при x[0; +) и выпуклость при x(-; 0];
    • точка перегиба имеет координаты 0; π2;
    • горизонтальные асимптоты – прямые y=π при x- (на чертеже – линия зеленого цвета) и y=0 при x+.
    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter