Непрерывность функции в точке, разрывы первого и второго рода
Мы помогаем студентам с дипломными, курсовыми, контрольными Узнать стоимость

Непрерывность функции в точке, разрывы первого и второго рода

    Процесс исследования функции на непрерывность неразрывно связан с навыком нахождения односторонних пределов функции. Поэтому, чтобы приступить к изучению материала данной статьи, желательно предварительно разобрать тему предела функции.

    Непрерывность функции в точке

    Определение 1

    Функция f(x) является непрерывной в точке x0, если предел слева равен пределу справа и совпадает со значением функции в точке x0, т.е.: limxx0-0f(x)=limxx0+0f(x)=f(x0)

    Данное определение позволяет вывести следствие: значение предела функции в точках непрерывности совпадает со значением функции в этих точках.

    Пример 1

    Дана функция f(x)=16(x-8)2-8. Необходимо доказать ее непрерывность в точке х0= 2.

    Решение 

    В первую очередь, определим существование предела слева. Чтобы это сделать, используем последовательность аргументов хn, сводящуюся к х0 =2·(хn<2). Например, такой последовательностью может быть:

    -2, 0, 1, 112, 134, 178, 11516,..., 110231024,...2

    Соответствующая последовательность значений функций выглядит так:

    f(-2); f(0); f(1); f112; f134; f178; f11516;...; f110231024;...==8.667; 2.667; 0.167; -0.958; -1.489; -1.747; -1.874;...;-1.998;...-2

    на чертеже они обозначены зеленым цветом.

    Достаточно очевидно, что такая последовательность сводится к -2, значит limx2-016(x-8)2-8=-2.

    Определим существование предела справа: используем последовательность аргументов хn, сводящуюся к х0= 2 (хn>2). Например, такой последовательностью может быть:

    6, 4, 3, 212, 214, 218, 2116,..., 211024,...2

    Соответствующая последовательность функций:

    f(6); f(4); f(3); f212; f214; f218; f2116;...; f211024;...==-7.333; -5.333; -3.833; -2.958; -2.489; -2.247; -2.247; -2.124;...; -2.001;...-2

    на рисунке обозначена синим цветом.

    И эта последовательность сводится к -2, тогда limx2+016(x-8)2-8=-2.

    Действиями выше было показано, что пределы справа и слева являются равными, а значит существует предел функции f(x)=16x-82-8 в точке х0= 2, при этом limx216(x-8)2-8=-2.

    После вычисления значения функции в заданной точке очевидно выполнение равенства:

    limx2-0f(x)=limx2+0f(x)=f(2)=16(2-8)2-8=-2 что свидетельствует о непрерывности заданной функции в заданной точке.

    Покажем графически:

    Ответ: Непрерывность функции f(x)=16(x-8)2-8 в заданной части доказано.

    Устранимый разрыв первого рода

    Определение 2

    Функция имеет устранимый разрыв первого рода в точке х0, когда пределы справа и слева равны, но не равны значению функции в точке, т.е.:

    limxx0-0f(x)=limxx0+0f(x)f(x0)

    Пример 2

    Задана функция f(x)=x2-25x-5. Необходимо определить точки ее разрыва и определить их тип.

    Решение

    Сначала обозначим область определения функции: D(f(x))Dx2-25x-5x-50x(-; 5)(5; +)

    В заданной функции точкой разрыва может служить только граничная точка области определения, т.е. х0= 5. Исследуем функцию на непрерывность в этой точке.

    Выражение x2-25x-5 упростим: x2-25x-5=(x-5)(x+5)x-5=x+5.

    Определим пределы справа и слева. Поскольку функция g(x)=x+5 является непрерывной при любом действительном x, тогда:

    limx5-0(x+5)=5+5=10limx5+0(x+5)=5+5=10

    Ответ: пределы справа и слева являются равными, а заданная функция в точке х0= 5 не определена, т.е. в этой точке функция имеет устранимый разрыв первого рода.

    Неустранимый разрыв первого рода

    Неустранимый разрыв первого рода также определяется точкой скачка функции.

    Определение 3

    Функция имеет неустранимый разрыв первого рода в точке х0, когда пределы справа и слева не являются равными, т.е.: limxx0-0f(x)limxx0+0f(x). Точка х0 здесь – точка скачка функции.

     

    Пример 3

    Задана кусочно-непрерывная функция f(x)=x+4, x<-1,x2+2, -1x<12x, x1. Необходимо изучить заданную функцию на предмет непрерывности, обозначить вид точек разрыва, составить чертеж.

    Решение

    Разрывы данной функции могут быть лишь в точке х0=-1 или в точке х0=1.

    Определим пределы справа и слева от этих точек и значение заданной функции в этих точках:

    • слева от точки х0=-1 заданная функция есть f(x)=x+4, тогда в силу непрерывности линейной функции: limx-1-0f(x)=limx-1-0(x+4)=-1+4=3;
    • непосредственно в точке х0=-1 функция принимает вид: f(x)=x2+2, тогда: f(-1)=(-1)2+2=3;
    • на промежутке (-1; 1) заданная функция есть: f(x)=x2+2. Опираясь на свойство непрерывности квадратичной функции, имеем: limx-1+0f(x)=limx-1+0(x2+2)=(-1)2+2=3limx1-0f(x)=limx1-0(x2+2)=(1)2+2=3
    • в точке х0=-1 функция имеет вид: f(x)=2x и f(1)=2·1=2.
    •  справа от точки х0 заданная функция есть f(x)=2x. В силу непрерывности линейной функции: limx1+0f(x)=limx1+0(2x)=2·1=2

    Ответ: в конечном счете мы получили:

    • limx-1-0f(x)=limx-1+0f(x)=f(-1)=3 - это означает, что в точке х0=-1 заданная кусочная функция непрерывна;
    • limx-1-0f(x)=3, limx1+0f(x)=2 - таким образом, в точке х0=1 определён неустранимый разрыв первого рода (скачок).

    Нам остается только подготовить чертеж данного задания.

    Разрыв второго рода (бесконечный разрыв)

    Определение 4

    Функция имеет разрыв второго рода в точке х0, когда какой-либо из пределов слева limxx0-0f(x) или справа limxx0+0f(x) не существует или бесконечен.

    Пример 4

    Задана функция f(x)=1x. Необходимо исследовать заданную функцию на непрерывность, определить вид точек разрыва, подготовить чертеж.

    Решение 

    Запишем область определения функции: x(-; 0)(0; +).

    Найдем пределы справа и слева от точки х0= 0.

    Зададим произвольную последовательность значений аргумента, сходящуюся к х0 слева. К примеру:

    -8; -4; -2; -1; -12; -14;...; -11024;...

    Ей соответствует последовательность значений функции:

    f(-8); f(-4); f(-2); f(-1); f-12; f-14;...; f-11024;...==-18;-14; -12; -1; -2; -4;...; -1024;...

    Очевидно, что эта последовательность является бесконечно большой отрицательной, тогда limx0-0f(x)=limx0-01x=-.

    Тепереь зададим произвольную последовательность значений аргумента, сходящуюся к х0 справа. К примеру: 8; 4; 2; 1; 12; 14;...; 11024;..., и ей соответствует последовательность значений функции:

    f(8); f(4); f(2); f(1); f12; f14;...; f11024;...==18; 14; 12; 1; 2; 4;...; 1024;...

    Эта последовательность  - бесконечно большая положительная, а значит limx0+0f(x)=limx0+01x=+.

    Ответ: точка х0= 0 - точка разрыва функции второго рода.

    Проиллюстрируем:

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
    Средняя оценка статьи
    4,0 из 5 (15 голосов)