Непрерывность функции в точке, разрывы первого и второго рода

Дана функция $f\left(x\right)=\frac{1}{6}(x-8{)}^2-8$. Необходимо доказать ее непрерывность в точке ${х}_0= 2$.

Решение 

В первую очередь, определим существование предела слева. Чтобы это сделать, используем последовательность аргументов ${х}_n$, сводящуюся к ${х}_0 =2·({х}_n<2)$. Например, такой последовательностью может быть:

$-2, 0, 1, 1\frac{1}{2}, 1\frac{3}{4}, 1\frac{7}{8}, 1\frac{15}{16},..., 1\frac{1023}{1024},...\to 2$

Соответствующая последовательность значений функций выглядит так:

$$\begin{gathered} f(-2); f\left(0\right); f\left(1\right); f\left(1\frac{1}{2}\right); f\left(1\frac{3}{4}\right); f\left(1\frac{7}{8}\right); f\left(1\frac{15}{16}\right);...; f\left(1\frac{1023}{1024}\right);...= \\ =8.667; 2.667; 0.167; -0.958; -1.489; -1.747; -1.874;...;-1.998;...\to -2 \end{gathered}$$

на чертеже они обозначены зеленым цветом.

Достаточно очевидно, что такая последовательность сводится к $-2$, значит $\underset{x\to 2-0}{\lim }\left(\frac{1}{6}(x-8{)}^2-8\right)=-2$.

Определим существование предела справа: используем последовательность аргументов ${х}_n$, сводящуюся к ${х}_0= 2 ({х}_n>2)$. Например, такой последовательностью может быть:

$6, 4, 3, 2\frac{1}{2}, 2\frac{1}{4}, 2\frac{1}{8}, 2\frac{1}{16},..., 2\frac{1}{1024},...\to 2$

Соответствующая последовательность функций:

$$\begin{gathered} f\left(6\right); f\left(4\right); f\left(3\right); f\left(2\frac{1}{2}\right); f\left(2\frac{1}{4}\right); f\left(2\frac{1}{8}\right); f\left(2\frac{1}{16}\right);...; f\left(2\frac{1}{1024}\right);...= \\ =-7.333; -5.333; -3.833; -2.958; -2.489; -2.247; -2.247; -2.124;...; -2.001;...\to -2 \end{gathered}$$

на рисунке обозначена синим цветом.

И эта последовательность сводится к $-2$, тогда $\underset{x\to 2+0}{\lim }\left(\frac{1}{6}(x-8{)}^2-8\right)=-2$.

Действиями выше было показано, что пределы справа и слева являются равными, а значит существует предел функции $f\left(x\right)=\frac{1}{6}{\left(x-8\right)}^2-8$ в точке ${х}_0= 2$, при этом $\underset{x\to 2}{\lim }\left(\frac{1}{6}(x-8{)}^2-8\right)=-2$.

После вычисления значения функции в заданной точке очевидно выполнение равенства:

$\underset{x\to 2-0}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 2+0}{\lim }f\left(x\right)=f\left(2\right)=\frac{1}{6}(2-8{)}^2-8=-2$ что свидетельствует о непрерывности заданной функции в заданной точке.

Покажем графически:

Ответ: Непрерывность функции $f\left(x\right)=\frac{1}{6}(x-8{)}^2-8$ в заданной части доказано.

Задана функция $f\left(x\right)=\frac{x^2-25}{x-5}$. Необходимо определить точки ее разрыва и определить их тип.

Решение

Сначала обозначим область определения функции: $D\left(f\right(x\left)\right)\iff D\left(\frac{x^2-25}{x-5}\right)\iff x-5\ne 0\iff x\in (-\infty ; 5)\cup (5; +\infty )$

В заданной функции точкой разрыва может служить только граничная точка области определения, т.е. ${х}_0= 5$. Исследуем функцию на непрерывность в этой точке.

Выражение $\frac{x^2-25}{x-5}$ упростим: $\frac{x^2-25}{x-5}=\frac{(x-5)(x+5)}{x-5}=x+5$.

Определим пределы справа и слева. Поскольку функция $g\left(x\right)=x+5$ является непрерывной при любом действительном $x$, тогда:

$$\begin{gathered} \underset{x\to 5-0}{\lim }(x+5)=5+5=10 \\ \underset{x\to 5+0}{\lim }(x+5)=5+5=10 \end{gathered}$$

Ответ: пределы справа и слева являются равными, а заданная функция в точке ${х}_0= 5$ не определена, т.е. в этой точке функция имеет устранимый разрыв первого рода.

Задана кусочно-непрерывная функция $$\begin{gathered} f\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}x+4, x<-1, \\ {x}^2+2, -1\le x<1\\ 2x, x\ge 1\end{array}\right. \end{gathered}$$. Необходимо изучить заданную функцию на предмет непрерывности, обозначить вид точек разрыва, составить чертеж.

Решение

Разрывы данной функции могут быть лишь в точке ${х}_0=-1$ или в точке ${х}_0=1$.

Определим пределы справа и слева от этих точек и значение заданной функции в этих точках:

• слева от точки ${х}_0=-1$ заданная функция есть $f\left(x\right)=x+4$, тогда в силу непрерывности линейной функции: $\underset{x\to -1-0}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to -1-0}{\lim }(x+4)=-1+4=3$;
• непосредственно в точке ${х}_0=-1$ функция принимает вид: $f\left(x\right)=x^2+2$, тогда: $f(-1)=(-1{)}^2+2=3$;
• на промежутке $(-1; 1)$ заданная функция есть: $f\left(x\right)=x^2+2$. Опираясь на свойство непрерывности квадратичной функции, имеем: $$\begin{gathered} \underset{x\to -1+0}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to -1+0}{\lim }(x^2+2)=(-1{)}^2+2=3 \\ \underset{x\to 1-0}{\lim }f(x)=\underset{x\to 1-0}{\lim }(x^2+2)=(1{)}^2+2=3 \end{gathered}$$
• в точке ${х}_0=-1$ функция имеет вид: $f\left(x\right)=2x$ и $f\left(1\right)=2·1=2$.
•  справа от точки ${х}_0$ заданная функция есть $f\left(x\right)=2x$. В силу непрерывности линейной функции: $\underset{x\to 1+0}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1+0}{\lim }\left(2x\right)=2·1=2$

Ответ: в конечном счете мы получили:

• $\underset{x\to -1-0}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to -1+0}{\lim }f\left(x\right)=f(-1)=3$ - это означает, что в точке ${х}_0=-1$ заданная кусочная функция непрерывна;
• $\underset{x\to -1-0}{\lim }f\left(x\right)=3, \underset{x\to 1+0}{\lim }f\left(x\right)=2$ - таким образом, в точке ${х}_0=1$ определён неустранимый разрыв первого рода (скачок).

Нам остается только подготовить чертеж данного задания.

Задана функция $f\left(x\right)=\frac{1}{x}$. Необходимо исследовать заданную функцию на непрерывность, определить вид точек разрыва, подготовить чертеж.

Решение 

Запишем область определения функции: $x\in (-\infty ; 0)\cup (0; +\infty )$.

Найдем пределы справа и слева от точки ${х}_0= 0$.

Зададим произвольную последовательность значений аргумента, сходящуюся к ${х}_0$ слева. К примеру:

$-8; -4; -2; -1; -\frac{1}{2}; -\frac{1}{4};...; -\frac{1}{1024};...$

Ей соответствует последовательность значений функции:

$$\begin{gathered} f(-8); f(-4); f(-2); f(-1); f\left(-\frac{1}{2}\right); f\left(-\frac{1}{4}\right);...; f\left(-\frac{1}{1024}\right);...= \\ =-\frac{1}{8};-\frac{1}{4}; -\frac{1}{2}; -1; -2; -4;...; -1024;... \end{gathered}$$

Очевидно, что эта последовательность является бесконечно большой отрицательной, тогда $\underset{x\to 0-0}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 0-0}{\lim }\frac{1}{x}=-\infty$.

Тепереь зададим произвольную последовательность значений аргумента, сходящуюся к ${х}_0$ справа. К примеру: $8; 4; 2; 1; \frac{1}{2}; \frac{1}{4};...; \frac{1}{1024};...$, и ей соответствует последовательность значений функции:

$$\begin{gathered} f\left(8\right); f\left(4\right); f\left(2\right); f\left(1\right); f\left(\frac{1}{2}\right); f\left(\frac{1}{4}\right);...; f\left(\frac{1}{1024}\right);...= \\ =\frac{1}{8}; \frac{1}{4}; \frac{1}{2}; 1; 2; 4;...; 1024;... \end{gathered}$$

Эта последовательность  - бесконечно большая положительная, а значит $\underset{x\to 0+0}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 0+0}{\lim }\frac{1}{x}=+\infty$.

Ответ: точка ${х}_0= 0$ - точка разрыва функции второго рода.

Проиллюстрируем: