Классификация элементарных функций
Мы помогаем студентам с дипломными, курсовыми, контрольными Узнать стоимость

Классификация элементарных функций

    Выделяют множество видов элементарных функций, каждый из которых обладает собственным набором свойств. Так, одни можно дифференцировать на определенном промежутке бесконечное число раз, другие являются непрерывными, ортогональными и др. В этой статье мы расскажем об общепринятой классификации элементарных функций.

    Что такое элементарные функции

    Начнем с базового определения.

    Определение 1

    Элементарные функции – это такие функции, которые получаются из основных функций с помощью сложения, вычитания, умножения и деления, а также посредством преобразования сложных функций.

    Пример 1

    Пример элементарной функции – y=arcsin2xx2-3+1-ln(x).

    Таким функции бывают:

    • алгебраическими;
    • трансцендентными.

    В свою очередь алгебраические функции можно разделить на иррациональные и рациональные (целые рациональные и дробные рациональные).

    Рассмотрим каждый вид функций отдельно.

    Понятие алгебраических функций

    Определение 2

    Алгебраические функции – это функции, которые состоят из цифр и букв, соединяющихся друг с другом при помощи знаков сложения, вычитания, умножения, деления, извлечения корня и возведения в целую степень.

    Иными словами, это те функции, которые можно получить из основных функций f(x)=x и f(x)=1 и любых чисел, проведя с ними необходимые алгебраические действия (вычитание, умножение, сложение, деление и др.)

    Пример 2

    Так, примером алгебраической функции является y=x2-34x.

    Выделяют рациональные и иррациональные алгебраические функции.

    Определение 3

    Рациональные функции – это те, в которых аргумент не находится под знаком корня (радикала). Они в свою очередь делятся на целые рациональные (т.е. многочлены) и дробные рациональные (выражения, составленные из многочленов).

    Пример 3

    Примером первого вида функций является y=12x4+x-1, второго – y=x-ax3+b.

    Важно отметить, что в рациональных функциях могут присутствовать иррациональные коэффициенты. Основное условие –– отсутствие аргумента функции под знаком радикала. Так, y=13x2-1 относится не к иррациональным, а к целым рациональным функциям.

    Определение 4

    Иррациональные функции – это те, которые содержат в себе аргумент под знаком корня (радикала).

    Пример 4

    Примером такой функции может быть y=x+13.

    Понятие трансцендентных функций

    Прочие функции, которые нельзя отнести к алгебраическим, относятся к виду трансцендентных.

    Определение 5

    Трансцендентные функции – это те, которые образуются при помощи логарифмирования, возведения в иррациональную степень или с помощью тригонометрических и обратных тригонометрических преобразований.

    Пример 6

    Пример такой функции – y=log2x3+23.

    При определении вида функции нужно учитывать один важный момент. Если исходная функция может быть упрощена, то определять вид мы будем уже у полученной в итоге преобразований, а не у исходной функции. Так, y=x3+3x2+3x+13 не относится к иррациональным функциям, поскольку при упрощении она становится рациональной y=x3+3x2+3x+13=x+1323=(x+1)2=x2+2x+1 .Функция y=arcsin(sin(3x2+1) является рационально алгебраической, а не трансцендентной, поскольку y=arcsin(sin(3x2+1)=3x2+1.

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter
    Средняя оценка статьи
    4,9 из 5 (12 голосов)