Уравнения в полных дифференциалах: метод полных дифференциалов, примеры

Уравнения в полных дифференциалах

    В этой теме мы рассмотрим метод восстановления функции по ее полному дифференциалу, дадим примеры задач с полным разбором решения.

    Бывает так, что дифференциальные уравнения (ДУ) вида P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0 могут содержать в левых частях полные дифференциалы некоторых функций. Тогда мы можем найти общий интеграл ДУ, если предварительно восстановим функцию по ее полному дифференциалу.

    Пример 1

    Рассмотрим уравнение P(x,y)dx+Q(x,y)dy=0. В записи левой его части содержится дифференциал некоторой функции U(x, y) = 0. Для этого должно выполняться условие PyQx.

    Полный дифференциал функции U(x, y) = 0 имеет вид dU=Uxdx+Uydy. С учетом условия PyQx получаем:

    P(x,y)dx+Q(x,y)dy=Uxdx+Uydy

    Откуда: 

    Ux=P(x,y)Uy=Q(x,y)

    Преобразовав первое уравнение из полученной системы уравнений, мы можем получить:

    U(x,y)=P(x,y)dx+φ(y)

    Функцию φ(y) мы можем найти из второго уравнения полученной ранее системы:
    U(x,y)y=P(x,y)dxy+φy'(y)=Q(x,y)φ(y)=Q(x,y)-P(x,y)dxydy

    Так мы нашли искомую функцию U(x, y) = 0.

    Пример 2

    Найдите для ДУ (x2-y2)dx-2xydy=0 общее решение.

    Решение

    P(x,y)=x2-y2, Q(x,y)=-2xy

    Проверим, выполняется ли условие  PyQx:

    Py=(x2-y2)y=-2yQx=(-2xy)x=-2y

    Наше условие выполняется.

    На основе вычислений мы можем сделать вывод, что левая часть исходного ДУ является полным дифференциалом некоторой функции U(x, y) = 0. Нам нужно найти эту функцию.

    Так как (x2-y2)dx-2xydy является полным дифференциалом функции U(x, y) = 0, то

    Ux=x2-y2Uy=-2xy

    Интегрируем по x первое уравнение системы:

    U(x,y)=(x2-y2)dx+φ(y)=x33-xy2+φ(y)

    Теперь дифференцируем по y полученный результат:

    Uy=x33-xy2+φ(y)y=-2xy+φy'(y)

    Преобразовав второе уравнение системы, получаем: Uy=-2xy. Это значит, что
    -2xy+φy'(y)=-2xyφy'(y)=0φ(y)=0dx=C

    где С – произвольная постоянная.

    Получаем: U(x,y)=x33-xy2+φ(y)=x33-xy2+C. Общим интегралом исходного уравнения является  x33-xy2+C=0.

    Разберем еще один метод нахождения функции по известному полному дифференциалу. Он предполагает применение криволинейного интеграла от фиксированной точки (x0 , y0) до точки с переменными координатами (x, y)

    U(x,y)=(x0,y0)(x,y)P(x,y)dx+Q(x,y)dy+C

    В таких случаях значение интеграла никак не зависит от пути интегрирования. Мы можем взять в качестве пути интегрировании ломаную, звенья которой располагаются параллельно осям координат.

    Пример 3

    Найдите общее решение дифференциального уравнения (y-y2)dx+(x-2xy)dy=0.

    Решение

    Проведем проверку, выполняется ли условие PyQx:

    Py=(y-y2)y=1-2yQx=(x-2xy)x=1-2y

    Получается, что левая часть дифференциального уравнения представлена полным дифференциалом некоторой функции U(x, y)=0. Для того, чтобы найти эту функцию, необходимо вычислить криволинейный интеграл от точки (1; 1) до (x, y). Возьмем в качестве пути интегрирования ломаную, участки которой пройдут по прямой y = 1 от точки (1, 1) до (x, 1), а затем от точки (x, 1) до (x, y):

    (1,1)(x,y)y-y2dx+(x-2xy)dy==(1,1)(x,1)(y-y2)dx+(x-2xy)dy++(x,1)(x,y)(y-y2)dx+(x-2xy)dy==1x(1-12)dx+1y(x-2xy)dy=(xy-xy2)y1==xy-xy2-(x·1-x·12)=xy-xy2

    Мы получили общее решение дифференциального уравнения вида xy-xy2+C=0.

    Пример 4

    Определите общее решение дифференциального уравнения y·cosxdx+sin2xdy=0.

    Решение

    Проверим, выполняется ли условие PyQx.

    Так как (y·cosx)y=cosx, (sin2x)x=2sinx·cosx, то условие выполняться не будет. Это значит, что левая часть дифференциального уравнения не является полным дифференциалом функции. Это дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными и для его решения подходят другие способы решения.

    Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter